7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 （1）复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积______________． 【答案】 （2）复数乘法的运算律 对于任意，有 交换律 ____________ 结合律 ________ 乘法对加法的分配律 ______ 【答案】 2．怎样进行复数的除法运算 【答案】在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简得结果． 通常先把写成的形式，即， 再把分子、分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化， 3. 几个常用结论 __________，__________，__________，__________． 【答案】 ，，，， 故答案为：,,,1 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若复数，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【详解】，所以 2．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】由题意可得： ， 而 故. 3．若，则的虚部与实部的比值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据相等条件求参数 【详解】设，，则， 则，解得或， 所以的虚部与实部的比值为. 4．若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】先确定满足关系，，，，再证明，由此求结论. 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 5．多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根、复数范围内分解因式 【分析】首先求出方程的复数根，即可得解； 【详解】解：对于方程，因为， 所以有两个虚根，即，， 所以； 故选：A 6．已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 【答案】A 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、求复数的实部与虚部 【分析】设，则，由，列出方程求解即可. 【详解】由题意，设，则， 所以， 即，所以或， 即或， 所以复数的虚部为或. 故选：A. 7．已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、复数的相等 【分析】将代入原方程并化简，进而解出p,q，最后求得答案. 【详解】根据题意，，所以，所以. 故选：C. 8．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求共轭复数的复数特征、复数范围内方程的根、复数的分类及辨析 【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确. 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 二、多选题 9．若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可. 【详解】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 10．设复数，则（    ） A． B．的虚部是 C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】化简为形式，根据复数加法法则，及复数模的求法判断A；由复数的定义判断B；利用共轭复数的概念判断C；根据复数的几何意义判断D. 【详解】. 因为，所以，所以A正确； 的虚部为1，所以B错误； 因为，所以C正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，所以D错误. 故选:AC. 11．已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意，是共轭复数，即可得，，再由根与系数的关系求解. 【详解】因为（）是实系数一元二次方程的两个根， 所以，是共轭复数， 则，，即实系数一元二次方程的两个根是， 所以，． 故选：AB 三、填空题 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 13．__________． 【答案】0 【知识点】复数的乘方 【分析】根据给定条件，利用复数乘方运算计算得解. 【详解】，. 故答案为：0 14．如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据题意，得到，，结合复数乘法的运算法则，即可求解. 【详解】由题意得，复数，， 则． 故答案为： 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）利用复数的乘法运算求解即可； （2）利用复数的乘方以及除法运算求解即可. 【详解】（1）原式． （2）因为， 所以， 原式 16．复数（i是虚数单位，）是纯虚数，求的虚部． 【答案】1 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的除法和乘法可得复数，根据其为纯虚数得到的值，再确定的虚部即可． 【详解】解：是纯虚数， ，解得，则， 的虚部为1． 17．（1）计算：； （2）已知，求复数z． 【答案】（1）；（2）或. 【知识点】复数的相等、复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用复数的四则运算法则计算求解即可； （2）设，利用复数的运算、共轭复数的概念以及复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】（1） ； （2）设，由得，，即， 所以，解得或， 所以或. 18．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据除法运算结果求参数、复数的除法运算、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 19．已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【详解】（1）解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. （2）解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 （1）复数的乘法法则 设是任意两个复数，那么它们的积______________． （2）复数乘法的运算律 对于任意，有 交换律 ____________ 结合律 ________ 乘法对加法的分配律 ______ 2．怎样进行复数的除法运算 3. 几个常用结论 __________，__________，__________，__________． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．若复数，则（   ） A． B． C．5 D． 2．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则的虚部与实部的比值为（   ） A． B．3 C． D．2 4．若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 5．多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（    ） A．或 B．或 C．或1 D．或 7．已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 8．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 二、多选题 9．若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．设复数，则（    ） A． B．的虚部是 C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限 11．已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若复数是纯虚数，则实数___________． 13．__________． 14．如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则____________． 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．复数（i是虚数单位，）是纯虚数，求的虚部． 17．（1）计算：； （2）已知，求复数z． 18．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 19．已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $