精品解析：江西省南昌市2026届高三下学期三月（一模）测试数学试题

2026届高三年级三月测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 若，则所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，即，所以 . 4. 某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理和圆锥的侧面积公式求解. 【详解】圆锥的轴截面为 ，，， 则，， 圆锥的侧面积为. 故选：A. 5. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可. 【详解】当时，原不等式可化为，解得，此时解集为 . 当 时，原不等式可化为，即，解得或. 又 ，所以 或. 综上，不等式的解集为. 6. 已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得. 【详解】由点在圆：外，可得，此时，圆心到直线的距离为， 即直线与圆相交，故充分性成立； 由直线与圆有两个公共点，可得圆心到直线的距离为， 则有，即点在圆：外，故必要性成立. 故是的充分必要条件. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图得 求，再由求，进而得到解析式，即可求函数值. 【详解】由图知，则，得， 由，则，， 所以，则，故. 8. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，所以 ，故A错误； 对B：因为 ，所以，故B正确； 对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. 10. 在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】设，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面的法向量，根据数量积公式，可判断A、C的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误. 【详解】取AC中点O，中点，连接，设， 因为正三棱柱，所以两两垂直， 以O为原点，为轴正方向建系，如图所示， 则 ， 所以 ， 选项A：设平面的法向量 ， 则，即， 令，则，即， 则，所以与平面不平行，故A错误； 选项B：连接，因为正三角形ABC，所以 ， 又正三棱柱，所以平面ABC， 因为 平面ABC，所以， 因为 ， 平面 ，所以平面 ， 因为 平面，所以平面平面 ，故B正确； 选项C：，所以，则，故C正确； 选项D：因为，所以与不平行， 所以与平面不垂直，故D错误. 11. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义得到点是以，为焦点的双曲线，且求出点的轨迹方程，选项A，由求解；选项B，利用渐近线和直线的关系得到的范围；选项C，利用渐近线和直线的关系得到的范围；选项D，利用点斜式设出过点的切线方程，利用点斜式求出点到直线的距离，利用的范围求出的范围. 【详解】设圆与线段交于点，圆与线段交于点，圆与线段交于点， 动圆：，圆心为，半径为， ， ，，，为圆的切线， 为圆的切线， ， ， ，， 点是以，为焦点的双曲线，且， ，， 点的轨迹方程为， 选项A，在上，为焦点， ，故选项A正确； 选项B，的渐近线方程为 ， ，故选项B正确； 选项C， 直线的倾斜角可以是钝角，故错误，故选项C错误； 选项D，设过点的切线方程为，即， ，点到直线的距离为， ，，，，， ，，，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数是________. 【答案】80 【解析】 【详解】，令，解得 ， 故的系数为. 13. 已知向量，， ，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 14. 已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况， 所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）若的面积为2，求和 . 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可. （2）根据同角三角函数关系求出， ，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又 所以，. 所以，即，所以， 所以，解得， 所以. 因此，. 16. 近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 （1）从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； （2）利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），，有关联，理由： 在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得， 在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为， 用频率估计概率，得， 使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异. 因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高. （2）12.531，有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，即可得和的值，并根据其数值大小，分析可得是否有关. （2）根据数据，求出的值，分析比较，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，，，， 则， 由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 17. 已知等比数列的公比为整数，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式； （2）求出数列的通项，再根据错位相减法即可求得. 【小问1详解】 由题意，， 两式相除可得，即，解得 ， 故，所以； 【小问2详解】 因， 则① 所以② 则② ①得： 所以. 18. 已知函数 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： （3）当 时，设，且满足 ，求证：. 【答案】（1） 在为增函数； 在为减函数； （2）由 ，解得 ， 又因为 ，则 ， 所以切线方程为 ， 设 ，则 ， 令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 可知 在 为增函数， 在 为减函数， 故 ，所以 ； （3）由（1）可知 ， ①若 ，则 ， 不符合题意； 所以 ， ②若 ，则， ③若 ， ，又因为 在为减函数， 所以 ，所以， 综上所述， 又因为 ，由， 所以 ， 即 ，即， 设， 所以 ， 方法一：设 ，所以， 因为 在为单调递增， 当时， ，， ， 所以存在，使得 ，即 ， 又因为 ， ，即 在 为减函数； 又因为 ， ，即 在 为增函数； 所以 ， 又因为，则有 ， 又因为 ， ， 所以 ，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设 ，因为在单调递增， 又因为 所以 所以 ，即在为增函数， 又因为，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间； （2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证； （3）分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后，利用不同方法证明在为增函数，即可得证. 【小问1详解】 ， 由 ， 当时， ，即 在为增函数； 当时， ，即 在为减函数. 所以 的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点. （i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长； （ii）若点在点上方，且，， 与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）12 （ii）平面与平面的夹角为定值，余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据平面与平面的夹角得到点到直线的距离等于到点的距离，从而得到点的轨迹，然后结合锥体的体积公式得到点在抛物线的顶点处时体积最小，最后求体积即可； （2）（i）根据平面与平面的交线为得到为与曲线的交点，然后联立与曲线的方程，结合抛物线定义求即可； （ii）根据得到的坐标，根据与平面所成角相等得到斜率相反，从而得到，然后通过计算斜率得到的方向向量，然后利用空间向量的方法求面面角即可. 【小问1详解】 设点到平面和直线的距离分别为，， 因为点在平面内，且平面与平面的夹角为， 因此，得， 所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线， 当点在抛物线的顶点处时，最小， 最小值为，此时， 所以四棱锥体积的最小值为； 【小问2详解】 设的中点为，则 ，如图1，以的中点为原点，所在直线为 轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则， （i）平面与平面的交线为， 因此，是直线与抛物线的交点，如图2， 在平面中，可以设：， 与抛物线方程联立，得：， 因此，； （ii）如图3，在平面中，点在点上方，且， 得到点坐标为，因为， 与平面所成角相等， 所以， 与所成角相等， 因此，， 的斜率互为相反数， 设，，则， 得， 因此，， 因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为， 又， 设平面的法向量， 由，由， 令，则， 又平面的法向量，， 所以平面与平面的夹角为定值，其余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级三月测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 3. 若，则所在的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 平面 11. 在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数是________. 13. 已知向量，， ，若向量满足，则的最大值为________. 14. 已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）若的面积为2，求和 . 16. 近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表： 使用手机时间 近视 不近视 总计 少于1小时 40 60 100 1小时及以上 65 35 100 总计 105 95 200 （1）从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由； （2）利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关. 附：公式，独立性检验临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知等比数列的公比为整数，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： （3）当 时，设，且满足 ，求证：. 19. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点. （i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长； （ii）若点在点上方，且，， 与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $