第2章 导数及其应用 章末复习课（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 章末复习课 知识整合·思维导图 瞬时变化率一瞬时速度 导数的概念 平均变化率 平均速度 导数的几何意义 曲线的切线斜率 导 基本初等函数求导 及其应 导数的运算 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 导数的应用 函数的极值与最大（小）值 最优化问题 题型梳理·素养聚焦 [考点一]数学抽象、直观想象一 导数的定义及其 [考点二]数学运算，数学抽象一导数的计算 几何意义 [例3]已知函数f(x)的导数为f(x),且满足关系 [例1] 设函数f(x)为可导函数，且满足 式f)=+2r0.则f0D-f-1D 1imf1)-f1-2)=-1,则过曲线y=f(x)上 2x 点(1，f(1))处的切线斜率为 ( A.1 B.-1 C.0 D.2 A.2 B.-1 C.1 D.-2 [解析] 由f)是+2xf,得了)=-月 [解析]根据导数的定义可知limf1)-f-2z） +2f(1),则f(1)=-1+2f'(1),解得f(1)=1. 2*0 2.2 imf1-2）f0D=-1,即y11=-1,而由导教 则f(x)=- +2则f(-1)=-1+2=1.故 f'(1)-f(-1)=0. 的几何意义可知y=f(x),点(1，f(1)处的斜率为一1. [答案]C [答案]B [例4幻求下列函数的导数： [例2]已知函数f()=2x3十ax与g(x)=bx2十c Dy=E+x+sin工，2y=r'sinx 的图像都过点P(2,0),且在点P处有公共切线，则 2 f(x)= g（x)= 解 )因为y=+士+m2=文十+x [解析]因为f(x)=2x3十ax的图像过，点P(2, 0),所以a=一8，所以f(x)=2x3一8.x,所以f（x) sin =6x2-8.因为g(x)=bz2十c的图像过，点P(2, 所以y=(ey+y+(smxr=一是x 0),所以4h十c=0.又g'(x)=2bx,g'(2)=4b +322-2xsin x+xcos 2. f'(2)=16,所以b=4,所以c=-16,所以g(x)= (2)y'=(22)'sin +2 sin )'2zsin z+ 4x2-16.综上可知，f(x)=2x3-8x,g(x)=4z2 xcos -16. 规律方法 [答案]2x3-8x4z2-16 导数运算法则的应用的注意点 规律方法 1.准确理解记忆运算法则，四个运算法则中除法 的法则较为复杂，特别注意分子的连接符号是 1.利用导数定义时，注意导数是平均变化率的极 减号，容易错记为加号. 限值. 2.先化简变形再求导数，对于较为复杂的函数式， 2.利用导数的几何意义时，注意某点处的导数值 则遵循先化简后求导的原则，化简为基本初等 即为曲线在该点处切线的斜率， 函数的基本运算后求导， ·140 第二章导数及其应用 五维课堂兰 [考点三]逻辑推理、直观想象一函数的单调性与 [考点四]逻辑推理、数学抽象一函数的极值、最 导数 值与导数 [例5](1)f(x)是定义在(0，十∞)上的非负可导函 [例6](2022·全国乙卷（文）已知函数f()=ax 数，且满足xf(x)一f(x)≤0，对任意正数a,b,若 1-(a十1)lnx a<b,则必有 (1)当a=0时，求f(x)的最大值： A.af(b)<bf(a) B.bf(a)af(b) (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. C.af(a)<bf(b) D.bf(b)<af(a) 解：(1)当a=0时，f(x)=一1-1n,>0,则 [解析] 令F(x)= f,则F(x） _xf(x)-f(z) r子 当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 又当x>0时，xf(x)-f(x)≤0，.F(x)≤0， 当x∈(1，十∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减； .F(x)在(0，十∞)上单调递减. 所以f(x）mx=f(1)=一1； abF(a)),:fa>bf(a) a b (2))=ax-a+Din,>0,则f） >af(b),故选：A. a+1-a+1-ax-1D(x-1) 22x [答案]A 当a≤0时，ax-1≤0，所以当x∈(0,1)时，f'(x) (2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)=ax2+ax >0,f(x)单调递增； 3lnx+1,其中a>0. 当x∈(1，十∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减； (1)讨论f(x)的单调性； 所以f(x)mx=f(1)=a一1<0，此时函数无零点， (2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的 不合题意； 取值范围. 当0<a<1时，>1，在0,1)，（日+∞）上 [解](1)函数的定义域为(0，十∞)，又f(x)= f(x)>0,f(x)单调递增； (2ax十3)(a-1D,因为>0，x>0,故2aa+3> 在〔2)上，r00调送成：又1)= 0,当0<时，u)<0:当>时fa)> a-1<0, 0;所以f(x)的减区间为 增区间 由1)得+n≥1，即m>≥1-所以1nx< x,ln√E<E,lnx<2√E, 为（日+） 当x>1时，f()=ax-1-(a+1)lnx>ar (2)因为f(1)=a2+a十1>0且y=f(x)的图象与 -2(a+1)>a.x-(2a+3)WE, x轴没有公共点，所以y=f(x)的图像在x轴的上 方，由1)中画数的单调性可得f)=f(日)月 则存在m= 所以f(x)仅在 1,十∞有唯一零，点，特合题意： 3-3n日-3+3na,故3+3na>0,即a>号 e 当a=1时，f()=二1D≥0，所以f)单调递 规律方法 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 增，又f(1)=a-1=0, f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合 所以f(x)有唯一零点，符合题意： 函数的单调性等知识求解，求解参数范围的步 当a>1时合<1，在0》1+)上f) 骤为： >0,f(x)单调递增； (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x); (2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f(x)≥ 在〔合，小上了)<0，单调说减：此时1 0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调递减， =a-1>0, 则f(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式， 由(1)得当0<x<1时，lnx>1- 解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f'(x) 0.若f'(x)=0恒成立，则函数f(x)在(a,b) 上为常函数，舍去此参数值 此时f(x)=ax- -(a+1)Inz<az- ·141 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 2(a 2(a+1) [考点六]数学建模，数学运算一导数在实际生活 中的应用 1 存在n= 1.最优化问题 4(a+1)2 a使得f(n)<0, 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 所以f)在0)有-个零点，在 等问题，这些问题通常称为最优化问题， 2.用导数解决最优化问题的基本思路 零点， 所以f()有唯一零点，符合题意； 最优化问题一→用函数表示数学问题 综上，a的取值范围为(0，十∞). 规律方法… 最优化问题的答案←一用导数解决数学问题 1.求极值时一般需确定f'(x)=0的点和单调性， [例8]某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行 对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点， 自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点 投人固定成本2万元，每生产x万件，需另投人流 必为函数的最值点 动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x) 2.求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是 极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与 子+2（万元），当年产量不小于7万件时，C() 端点的函数值比较即可获得. =6x+1nx+e-17(万元).已知每件产品售价为 [考点五]逻辑推理、数学抽象一利用导数解决与 函数相关的问题 6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完。 [例7]已知函数f(x)=e-1,g(x)=√十x,其 (1)写出年利润P(x)(万年)关于年产量x(万件) 中e是自然对数的底数，e=2.71828…, 的函数解析式：（注：年利润=年销售收人一固定成 (1)证明：函数h(x)=f(x)一g(x)在区间(1,2)上 本一流动成本) 有零点； (2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品 (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由. 所获年利润最大？最大年利润是多少？（取é= [解](1)证明：由题意可得h(x)=f(x)-g(x) 20). =e2-1-V-x, [解](1)产品售价为6元，则万件产品销售收入 所以h(1)=e-3<0,h(2)=e-3-√2>0.所以 为6x万元. h(1)h(2)0. 所以函数h(x)在区间(1,2)上有零，点。 依题意得，当0<x<7时，P(x)=6.x 32-2x (2)由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=e-1-√ 2= 3女+4红-2 T. 由g(x)=√E+x知x∈[0，+∞)， 当x≥7时，P(x)=6x- 6.x+1 -17-2 而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点 又h(x)在(1,2)内有零，点，因此h(x)在[0，十∞)上 =15-lnx- 至少有两个零点. W)=e-2十-1，记gc)=e-合十-1，则 32+4红-2.0K<7 ∴.P(x)= g()=e+子x. 15-In 2- ,x≥1 当x∈(0，十o∞)时，(x)>0,因此g(x)在(0，十∞)上 单调递增 (2)当0<<7时，P)=-专(-6+10， 易知(x)在(0，十∞)内至多有一个零点，即h(x) .当x=6时，P(x)的最大值为P(6)=10(万元) 在[0，十∞)内至多有两个零点， 则h(x)在[0，十∞)上有且只有两个零点， 当x≥7时，P(x)=15-1nx-g 所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2. ∴.P'(x)=- 1+e-e-x」 规律方法 22 讨论方程根的个数，研究函数图像与x轴或 .当7≤x<e3时，P(x)单调递增，当x≥e3,P(x) 某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就 单调递减， 是函数的单调性与函数极（最）值的应用.问题破 .当x=e3时，P(x)取最大值P(e3)=15-lne3 解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的 1=11(万元)， 单调性与极（最）值列出，然后再借助单调性和极 .11>10,.当x=e3≈20时，P(x)取得最大值11 (最)值情况，画出函数图像的草图，数形结合求 万元，即当年产量约为20万件时，该同学的这一产 解. 品所获年利润最大，最大年利润为11万元. ·142·