第2章 导数及其应用 章末复习课（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

由(1)及图可得，当x=-2时，有最小值f(-2)=一1 e2’ 所以方程f(.x)=a的解的个数有如下结论： 当aK-时，解为0个， 当a=一 或。>0时，部为1个 当-<a<0时，解为2个了 变式训练 3.解：f(x)的定义域为(0,1)U(1,十∞). 国为f)=+a>0… 所以f(x)在(0,1)和(1，十o∞)上单调递增. 因为f(e)=1- 号0，rey-2告o… 所以f(x)在(1，十o∞)上有唯一零点x1(e<x1<e2),即 f(x1)=0. x1-1 =-f(x1)=0,故 f)在0,1)上有学一李点六 综上，f(x)有且仅有两个零，点. 当堂达标 1.D[根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y= f(x)的大致图像如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1<a< 2,所以y=f(x)一a的零，点个数为4. 5 5-4-3-2-1012345x 2 -3 -4 2.D [f'(x)=2x+sin x,f'(-x)=-2x-sin x=-f' (x),.导数f(x)是奇函数.令g(x)=f(x)=2x十sin x.∴g'(x)=2十cosx>0,g(x)在[-1,1]上单调递 增，即f(x)在[-1,1]上单调递增.∴f(x)mim=f(- 1),f(x)max=f(1).∴.f(x)既有最大值又有最小值.] 3.解析：函数f(x)的定义域为(0，十∞)，因为函数f(x)= 名十ln上-1a>0)在定义线内有零点，所以a=-xn x有解.令h(x)=x-xlnx.所以h'(x)=-lnx.所以h (x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，十∞)， 所以h(x)max=h(1)=1.又h(e)=0,所以0<a≤1. 答案：(0,1] 4.解：(1)若k=1,则f(x)=x-lnx,定义域为(0，十∞)，则 f(x)=1-,由fx)>0,得x>1:由f(x)<0,得0 <x<1,'.f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间 为(1，十∞). ·10 参考答案 (2)由题意知，方程kx一nx=0仅有一个实根，由kx lnr=0,得k=n(r>0). x 令g(x)=(x>0),则g(x)=1-h工，当0<<e x 时，g'(x)>0;当x>e时，g'(x)<0. ∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， 小g(x)nx=g(e)=L e' 当x→十o∞时，g(x)→0. 又：>0，要使fx)仅有一个零点，则6=已 章末复习课 [例1】[解析]根据导数的定义可知1imf)-二f1-2- 2.x imf1-2）f①=-1，即y1,-1=-1,而由导教的几何 上*0 -2x 意义可知y=f(x)点(1，f(1)处的斜率为一1. [答案]B [例2][解析]因为f(x)=2.x3+a.x的图像过点P(2, 0),所以a=-8,所以f(x)=2x3-8.x,所以f(x)=6.x2 -8.因为g(x)=bx2十c的图像过点P(2,0),所以4b+c =0.又g'(x)=2bx,g'(2)=4b=f(2)=16,所以b=4, 所以c=-16,所以g(x)=4x2-16.综上可知，f(x)= 2x3-8xg(x)=4x2-16. [答案]2.x3-8x4x2-16 [例3][解析]由fx)=+2af),得f(x)=- 十2f(1),则f(1)=-1+2f(1),解得f'(1)=1.则 f)=-}+2.则f(-1)=-1+2=.故r0) f(-1)=0. [答案]C [例4们[解]QD因为y=立+十n艺=x十+2十2 sin 所以)=(x)y+(xy+x2in)=-号x+ 3x2-2x3sin x+x2cos x. (2)y'=(x2)'sin x+x2 (sin r)'=2xsin r+x2cos t. [例5](1)[解析]令F(x)=fD,则F'(r) -zf(z)-f(z) T2 又当x>0时，xf(x)-f(x)≤0，'.F'(x)≤0， '.F(x)在(0，十∞)上单调递减. za..Fa)-F).i...bF-aF a 故选：A. [答案]A (2)[解](1)函数的定义域为(0，十∞)，又f(x)= (2ax+3)(at-D,因为a>0,x>0,故2ax+3>0,当0 <日时，f)0:当>时fu)>0:所以f) 的减区间为(0，日)增区同为（合+∞）月 9 数学(BS)·选择性必修第二册 (2)因为f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图象与x轴没 有公共点，所以y=f(x)的图像在x轴的上方，由(1)中 函教的单羽性可得f(xm=f(日） =3-31n=3+3 lna,故3+3lna>0即a>1 e [例6]解：(1)当a=0时，f(x)= -lnx,x>0,则 当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(1，十∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减； 所以f(.x)max=f(1)=-1; (2)f)=ar--a+1nx>0,则了)=a+ a十1=(a.x-1)(x-1) 当a≤0时，a.x-1≤0，所以当x∈(0,1)时，f(x)>0, f(x)单调递增； 当x∈(1，十o∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减； 所以f(x)x=f(1)=a-1<0,此时函数无零点，不合 题意； 当0<a<1时，>1，在01D,(日+∞）上f)> 0,f(x)单调递增： 在(，）上，f(x)<0fx)单调逅减：又f1)=a-1< 0, 由1)得子+n≥1，即n>1-,所以1n<2 ln√x<√x,lnx<2√x, 当>1时，fx)=ar--(a+1lnx>ar-子-2a +1)wx>a.x-(2a+3)√x, 则存在m= (侣+2)士使得>0， 所以)收在（日，+∞）有唯一零点，特合题意： 当a=1时，()=1)≥0，所以f()单测递增，又 f(1)=a-1=0, 所以f(x)有唯一零点，符合题意： 当a>1时，<1，在(0，）1，+∞)上fx)>0. f(.x)单调递增； 在（合，）上，f(x)<0,)单调递减：此时1=a-l >0, 由()得当0<x<1时，ln>1-1,ln>1-上，所以 n>-》 此时f(x)=ax一 x -(a+1lnx<ar-是-2a+1D 〔水1+2 ·1 存在1= 4十1区<使得f(m)<0, 所以f)在(0，日)有一个零点，在（日，+∞）无零点， a 所以f(x)有唯一零点，符合题意： 综上，a的取值范围为(0，十o). [例7][解](1)证明：由题意可得h(x)=f(x)-g(x)= e:-1-/x -x, 所以h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3-√2>0.所以 h(1)h(2)<0. 所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点. (2)由(1)可知h(x)=f(x)-g(x)=e-1-√元-x. 由g(x)=√反十x知x∈[0，十o), 而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点. 又h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在[0，十∞)上至少 有两个零点 )=e-7-1,记g以)=g-7-1,则g -e'+ 当x∈(0，十o∞)时，9(x)>0,因此g(x)在(0，十o∞)上单调递 增. 易知(x)在(0，十∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0， 十∞)内至多有两个零点， 则h(x)在[0，十∞)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2. [例8][解](1)产品售价为6元，则万件产品销售收入 为6x万元. 依题意得，当0<<7时，p(x)=6x-了r2-2x-2 2+4-2 当≥7时.Pr)=6g-(6z+n+号-1）2=15 e In x- x 3x2+4x-2,0<x<7 .P(x) 15-In z- (2)当0<<7时，P)=-子x-6)2+10. ∴.当x=6时，P(x)的最大值为P(6)=10(万元)， 当≥7时，P(z)=15-nx- x .当7≤x<e3时，P(x)单调递增，当x≥e3,P(x)单调 递减， ∴.当x=e3时，P(x)取最大值P(e3)=15-lne3-1=11 (万元)， 11>10,.当x=e3≈20时，P(x)取得最大值11万元， 即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利 润最大，最大年利润为11万元. 0第二章导数及其应用 五维课堂兰 章末复习课 知识整合·思维导图 瞬时变化率一瞬时速度 导数的概念 平均变化率 平均速度 导数的几何意义 曲线的切线斜率 导数及其应 基本初等函数求导 导数的运算 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 导数的应用 函数的极值与最大（小）值 最优化问题 题型梳理·素养聚焦 [考点一] 数学抽象、直观想象一导数的定义及其[例4幻求下列函数的导数： 几何意义 (1ysin(2)y=sin t [例1] 设函数f(x)为可导函数，且满足 imf0)-f0-2)）=-1,则过曲线y=fx)上 2a 点(1，f(1))处的切线斜率为 ) A.2 B.-1 c.1 D.-2 [例2]已知函数f(.x)=2x3+ax与g(.x)=bz2+c 的图像都过点P(2,0),且在点P处有公共切线，则 f(x)= 'g(x)= 规律方法 1.利用导数定义时，注意导数是平均变化率的极 限值. 2.利用导数的几何意义时，注意某点处的导数值 即为曲线在该点处切线的斜率。 规律方法 导数运算法则的应用的注意点 [考点二]数学运算、数学抽象一导数的计算 1.准确理解记忆运算法则，四个运算法则中除法 [例3]已知函数f(x)的导数为f(x),且满足关系 的法则较为复杂，特别注意分子的连接符号是 式f(x)=1+2xf(1),则f(1)-f(-1)= 减号，容易错记为加号 2.先化简变形再求导数，对于较为复杂的函数式， A.1 B.-1 则遵循先化简后求导的原则，化简为基本初等 C.0 D.2 函数的基本运算后求导. ·73· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [考点三]逻辑推理、直观想象一函数的单调性与 [考点四]逻辑推理、数学抽象一函数的极值、最 导数 值与导数 [例5](1)f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函 [例6](2022·全国乙卷（文）已知函数f(x)=a.x 数，且满足xf'(x)一f(x)≤0，对任意正数a,b,若 1-(a+1)lnx. a<b,则必有 ( (1)当a=0时，求f(.x)的最大值； A.af(b)bf(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)<bf(b) D.bf(b)<af(a) (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. (2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)=ax2十a.x 3lnx+1,其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的 取值范围. 规律方法 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 f(x)与其导数子(x)之间的对应关系，然后结合 函数的单调性等知识求解，求解参数范围的步 骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x); 规律方法 (2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则f(x)≥ 1.求极值时一般需确定f(x)=0的点和单调性， 0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调递减， 对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点， 则f(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式， 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点 解出参数范围； 必为函数的最值点. (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f'(x) 2.求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是 0.若f'(x)=0恒成立，则函数f(x)在(a,b) 极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与 上为常函数，舍去此参数值， 端点的函数值比较即可获得. 第二章导数及其应用 五维课堂乡 [考点五]逻辑推理、数学抽象—利用导数解决与 [考点六]数学建模，数学运算一导数在实际生活 函数相关的问题 中的应用 [例7]已知函数f(x)=e-1,g(x)=√+x,其 1.最优化问题 中e是自然对数的底数，e=2.71828…. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 (1)证明：函数h(x)=f(x)一g(x)在区间(1,2)上 等问题，这些问题通常称为最优化问题， 有零点： 2.用导数解决最优化问题的基本思路 (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数，并说明理由. 最优化问题一→用函数表示数学问题 最优化问题的答案←用导数解决数学问题 [例8]某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行 自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需 投人固定成本2万元，每生产x万件，需另投人流 动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)= 号+2x(万元)：当年产量不小于7万件时，C) =6x+1nx+号一17（万元）.已知每件产品售价为 6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完， (1)写出年利润p(x)(万年)关于年产量x(万件) 的函数解析式：（注：年利润=年销售收人一固定成 本一流动成本) (2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品 所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3=20). 规律方法 讨论方程根的个数，研究函数图像与x轴或 某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就 是函数的单调性与函数极（最）值的应用.问题破 解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的 单调性与极（最）值列出，然后再借助单调性和极 (最)值情况，画出函数图像的草图，数形结合 求解 ·75·