专题10.4 二倍角的三角函数（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦二倍角的三角函数核心知识点，以两角和公式为基础，通过β=α的特殊化推导正弦、余弦、正切二倍角公式，构建“公式推导-变形应用-题型训练”学习支架，涵盖逆用、降幂升幂等变形及化简、求值、证明等应用。 该资料以核心素养为导向，通过自主推导培养逻辑推理能力（数学思维），分层题型设计提升数学运算素养，应用题与向量、几何等融合体现数学眼光，课中典例变式辅助教学，课后练习助力学生查漏补缺。

专题10.4 二倍角的三角函数 教学目标 1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式． 2.理解二倍角公式，并能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及证明． 3.通过让学生自主探索、发现并推导二倍角公式，培养学生用联系的观点分析问题、解决问题的能力，体会由一般到特殊的数学思想及类比、化归的思想方法． 4.通过二倍角公式的推导和应用，引导学生领悟寻找数学规律的方法，提升学生的逻辑推理素养；依托例题教学，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导及应用． 2.难点 利用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及证明. 知识点01 二倍角的正弦公式 1.二倍角的正弦公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 2.二倍角的正弦公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 S2α：，，，. (2)配方变形 . 拓展： 【即学即练】 1．若为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解. 【解析】由为第二象限角，且，可得， 再由正弦的二倍角公式得， 故选：C. 2． （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值. 【解析】因为 . 故选：A. 知识点02 二倍角的余弦公式 1.二倍角的余弦公式： 函数 公式 β=α 简记符号 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 2.二倍角的余弦公式的变形应用： (1)倍角公式的逆用 C2α： (2)因式分解变形 . (4)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α. (4)升幂公式 ；. 拓展： 【即学即练】 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解析】由二倍角公式得. 故选：D. 2．_________ 【答案】 【分析】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【解析】由． 故答案为： 知识点03 二倍角的正切公式 1.二倍角的正切公式： 函数 公式 β=α 简记符号 正切 T(α+β) T2α 2.二倍角的正切公式的变形应用： (1)倍角公式的逆用 T2α：（α≠kπ+且α≠+，k∈Z） 【即学即练】 1．若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正切公式及两角差的正切公式求解即可. 【解析】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 2．已知，则为第二象限角，则的值等于_________ 【答案】 【分析】由题意，根据诱导公式，求得正切值，利用正切函数的二倍角公式，可得答案. 【解析】由题意可得，，，故. 故答案为： 题型01 二倍角的正弦公式 【典例1】（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【解析】 . 故选：A. 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，要利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【变式1】若则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用平方关系求解. 【解析】因为 所以，又 所以， 故选：D 【变式2】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】注意到，后由可得答案. 【解析】. 因，则. 故选：A 【变式3】如果，且是第四象限的角，那么______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值. 【解析】由于，且是第四象限的角，则， 所以. 故答案为： 【变式3】sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 【答案】　 【分析】根据二倍角公式求值. 【解析】原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝ ＝＝＝. 题型02 二倍角的余弦公式 【典例1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解析】. 故选：D. (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 【变式1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【解析】由两边平方得：，而，，则， 因此， 所以. 故选：D 【变式2】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【解析】. 故选：B. 【变式3】已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 【变式4】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件、平方关系先算出的值，再由二倍角公式、两角差的正弦公式计算即可得解. 【解析】由题意，解得或（舍去）， 从而，， 所以. 故选：C. 【变式5】已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 题型03 二倍角的正切公式 【典例1】若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解析】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 【变式1】设，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可 【解析】因为，所以，且，所以，则 故选：A． 【变式2】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可. 【解析】由，得，则. 故选：A 【变式3】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根据同角三角函数关系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可. 【解析】因为，所以， 即，解方程得或（舍）. 因为，所以，， 所以. 故选：D 【变式4】已知（），则____________ 【答案】 【分析】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【解析】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故答案为：. 题型04 利用二倍角公式化简、求值 【典例1】已知，则 的值为 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为， 所以， ， 故. 故选：C 三角函数化简“三看”原则： 解决条件求值问题的方法： 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的关系，有两个观察方向: （1）有方向地将已知式或未知式化简，是关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 【变式1】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式2】已知，则_________． 【答案】. 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】注意到， 则. 故答案为：. 【变式3】已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【解析】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 【变式4】已知、，且，，则的值为________ 【答案】 【分析】由、，可计算出、、的值，利用计算即可得. 【解析】由，，则， 则，， 由，则， 又、，则， 故， . 故答案为：. 【变式5】已知α，β为锐角，，则______. 【答案】 【分析】利用二倍角公式及两角和与差的正切公式计算即可. 【解析】因为， 所以， 因为β为锐角，所以. 故答案为：. 题型05 利用二倍角公式证明恒等式 【典例1】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【解析】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而，所以． 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化． (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等． (5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等． 【变式1】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证. 【解析】证明：左边＝ ＝右边． 【变式2】求证： (1). (2). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对分子、分母分别化简约分，即可证明； （2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系及完全平方公式即可证明. 【解析】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：右边 =左边. 【变式3】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证. 【解析】证明：左边＝＝右边． 题型06 利用二倍角公式解决应用问题 【典例1】如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值. 【解析】连接，.设，， 在中，， 由得，. 在中，， ， . 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 【变式1】如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可. 【解析】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 中，，则， 所以， 所以 （2）若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. 【变式2】如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】（1）;（2） 当A在弧MN的四等分点处时，． 【解析】（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB， ， ， （2）设 则， ， 即时， ，此时A在弧MN的四等分点处 答：当A在弧MN的四等分点处时， 题型07 二倍角公式与其他章节的融合 【典例1】已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果； （2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域. 【解析】（1） 与共线 即 （2） 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减 又 所以函数的值域为 【变式1】（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】由三角恒等变换得，根据图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，求得，根据正弦函数的性质逐一判断即可． 【解析】， 将图象向左平移个单位长度得，， 因为图象恰好关于轴对称， 所以，即， 又，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，， 因为在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 则，所以，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，， 设， 若在区间上至少存在5个零点，则与在有五个交点， 所以，解得，故D错误； 故选：BC． 【变式2】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【解析】由题设有， 令，则有，即， 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或. 故答案为：. 【变式3】已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点． （1）已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标； （2）已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意，求得后，得到坐标，根据平面向量的坐标表示，即可求解； （2）求得的坐标后，利用，得到方程，求解后，利用二倍角公式计算即可 【解析】（1）由题意知， ， 又， 所以点P的坐标为． （2）由题意得：． 因为，所以， 所以， 整理得：①，则， 又，② 因为，所以， 由①②解得：，，或，， 【变式4】所以． 已知函数． （1）求的对称中心； （2）若，求的值； （3）记，集合，试判断集合Q中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）最多有5个正整数元素，实数取值范围是 【分析】（1）先把化简成.因为正弦函数对称中心纵坐标为，令，解出，就得到对称中心坐标. （2）已知，代入化简得.结合范围确定范围，进而求出.再把变形为，用公式计算. （3）对函数进行化简，得出其在给定区间上的值域，然后通过换元法将问题转化为关于的函数，再根据的单调性以及正整数解的个数来确定的取值范围. 【解析】（1） 由可得，所以的对称中心为． （2） 又，所以，即 （3）先化简,利用立方和公式得到，因为，所以. 又因为，所以. 再根据二倍角公式，则， 所以. 利用辅助角公式得到. 再求的值域，已知，则，. 根据正弦函数的性质，，所以. 通过换元并分析的单调性,设，则，. 因为，一次函数单调递减，而函数在时单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，在上单调递减. 所以. 最后根据正整数解的个数确定的取值范围， 若区间中包含个整数解： 要使区间包含个正整数解，则且. 解，两边平方得，即，； 解，两边平方得，即，，此时无解. 若区间中包含个整数解： 有两种情况： 情况一：且. 解，两边平方得，则； 解，两边平方得，即，，取交集得. 情况二：且. 解，两边平方得，即，； 解，两边平方得，即，此时无解. 故集合中最多个正整数解，此时的取值范围为. 1．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦的二倍角公式计算可得结果. 【解析】易知. 故选：A. 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弦切互化，以及二倍角公式即可求解. 【解析】， 故． 故选：A 3．若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正弦和余弦公式以及二倍角公式化简条件可得，从而求出，结合特殊角的正切值即可求解. 【解析】由于，所以， 即，即，所以，即， 则. 故选：C 4．已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式可得，由平方关系可求，由商数关系可得：，利用正切的二倍角公式求解即可. 【解析】由题可得：，则， 因为在第二象限，所以， 则， 所以. 故选：D 5．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可. 【解析】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，通过化解计算可得，然后利用齐次式可计算. 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 即，解得或， 因为，所以， 所以． 故选：C. 7．（多选）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【解析】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 8．（多选）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：利用余弦的倍角公式可得答案；对于B：利用正切的诱导公式可得答案；对于C：利用正弦的诱导公式与倍角公式化简可得答案；对于D：利用正切的和角公式可得答案. 【解析】对于A：，故A 正确； 对于 B： ，故B 正确； 对于 C：， ，故C 错误； 对于 D： 由两角和的正切公式：， 代入，， 则，故D 正确. 故选：ABD 9.（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【解析】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 10．已知，则_________. 【答案】 【解析】因为，则 . 故答案为：. 11．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两角和差的正弦公式及辅助角、二倍角公式进行化简求值即可. 【解析】因为，化简得 所以 故答案为： 12．已知，，且，，则的值为_________. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的知识求得，进而求得. 【解析】，，， ， ， ，， 又，， ，. 故答案为： 13．已知函数的最大值为． （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合可得出关于的等式，解之即可； （2）由三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据的奇偶性以及的取值范围可得出的值，化简函数的解析式，再结合余弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最小值. 【解析】（1）因为 ， 其中满足，， 所以，，解得. （2）由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象， 则， 由题意可得，，可得， 因为，故，故， 当时，，故. 故当时，函数的最小值为. 14．阅读下面材料： ，解答下列问题： （1）用表示； （2）若函数，，求的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据两角和的余弦公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，逐步化简，即可得出结果； （2）先由（1）的结果，将原式化简整理，得到，再令，，结合二次函数的性质，即可求出函数值域. 【解析】解：（1） ， 即； （2） ， 令， 则， ， ， 即， 又函数开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减； 故， ， 即， 的值域为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 二倍角的三角函数 教学目标 1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角公式． 2.理解二倍角公式，并能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及证明． 3.通过让学生自主探索、发现并推导二倍角公式，培养学生用联系的观点分析问题、解决问题的能力，体会由一般到特殊的数学思想及类比、化归的思想方法． 4.通过二倍角公式的推导和应用，引导学生领悟寻找数学规律的方法，提升学生的逻辑推理素养；依托例题教学，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导及应用． 2.难点 利用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及证明. 知识点01 二倍角的正弦公式 1.二倍角的正弦公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 2.二倍角的正弦公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 S2α：，，，. (2)配方变形 . 拓展： 【即学即练】 1．若为第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 知识点02 二倍角的余弦公式 1.二倍角的余弦公式： 函数 公式 β=α 简记符号 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 2.二倍角的余弦公式的变形应用： (1)倍角公式的逆用 C2α： (2)因式分解变形 . (4)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α. (4)升幂公式 ；. 拓展： 【即学即练】 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．_________ 知识点03 二倍角的正切公式 1.二倍角的正切公式： 函数 公式 β=α 简记符号 正切 T(α+β) T2α 2.二倍角的正切公式的变形应用： (1)倍角公式的逆用 T2α：（α≠kπ+且α≠+，k∈Z） 【即学即练】 1．若，则 ． 2．已知，则为第二象限角，则的值等于_________ 题型01 二倍角的正弦公式 【典例1】（ ） A． B． C． D． 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，要利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【变式1】若则（ ） A． B． C． D． 【变式2】若，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】如果，且是第四象限的角，那么______. 【变式3】sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 题型02 二倍角的余弦公式 【典例1】已知，则（ ） A． B． C． D． (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 【变式1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 题型03 二倍角的正切公式 【典例1】若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】设，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知（），则____________ 题型04 利用二倍角公式化简、求值 【典例1】已知，则 的值为 （ ） A． B． C．1 D． 三角函数化简“三看”原则： 解决条件求值问题的方法： 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的关系，有两个观察方向: （1）有方向地将已知式或未知式化简，是关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 【变式1】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则_________． 【变式3】已知，均为锐角，，，则 ， . 【变式4】已知、，且，，则的值为________ 【变式5】已知α，β为锐角，，则______. 题型05 利用二倍角公式证明恒等式 【典例1】已知，求证：． 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化． (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等． (5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等． 【变式1】求证：. 【变式2】求证： (1). (2). 【变式3】求证：. 题型06 利用二倍角公式解决应用问题 【典例1】如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 【变式1】如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【变式2】如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 题型07 二倍角公式与其他章节的融合 【典例1】已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 【变式1】（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 【变式2】已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【变式3】已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点． （1）已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标； （2）已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值． 【变式4】所以． 已知函数． （1）求的对称中心； （2）若，求的值； （3）记，集合，试判断集合Q中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数m的取值范围． 1．（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 5．若，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．（多选）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 9.（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 10．已知，则_________. 11．已知，则的值为 ． 12．已知，，且，，则的值为_________. 13．已知函数的最大值为． （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 14．阅读下面材料： ，解答下列问题： （1）用表示； （2）若函数，，求的值域. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $