精品解析：浙江省杭州学军中学紫金港校区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

杭州学军中学2023学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某中学高二学生500人，其中男生300人，女生200人﹐现获得全体学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层抽样方法，抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为，下列说法中不正确的是（ ） A. 男生样本容量为30 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为 D. 所有样本的方差为 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线C：的焦点，过F的直线与C交于M，N两点，准线与x轴的交点为A，当时，直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线左，右焦点分别为，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 已知事件A，B，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A、B与C两两互斥，那么 10. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的有（ ） A. 准线l的方程是 B. 以线段MF为直径的圆与y轴相切 C. 的最小值为5 D. 的最大值为2 11. 设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（ ） A B. 若，则直线l的方程为 C. 若直线l的方程为，则 D. 若直线l的方程为，则 12. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 抛物线的焦点坐标是______. 14. 某班级从A，B，C，D，E这5位学生中任选2人参加学校组织的“亚运有我，爱答未来”的亚运知识竞赛活动，则学生A被选中，学生B没被选中的概率为_________． 15. 已知抛物线C：，点，O是坐标原点，A，B，M，N是抛物线C上的四个动点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则点距离的最大值为__________． 16. 已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为__________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知光线经过点，直线上反射，且反射光线经过点，求： （1）入射光线与直线l的交点． （2）入射光线与反射光线所在直线方程． 18. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线． （1）求证：直线与圆总有两个不同的交点； （2）在①，②最小，③过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解； 设圆的圆心为，直线与圆交于A，B两点，当__________时，求直线的方程． 19. 如图甲，在直角边长为的等腰直角三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接、，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点． （1）求证：； （2）当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值． 20. 某厂为了提高产品的生产效率，对该厂的所有员工进行了一次业务考核，从参加考核的员工中，选取50名员工将其考核成绩分成六组第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的平均数； （2）已知考核结果有优秀