2026年中考数学一轮复习检测卷（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B B C B D D C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 12．． 13．6 14．0＜m＜6且m≠2 15．或． 16．； 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣4x+6＝0， （2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（2x﹣5）＝0， 则2x﹣3＝0或2x﹣5＝0， 所以； …………………………………………4分 （2）原式 ． …………………………………………8分 18．（8分） 【解答】解：（1）∵P＝x2+4x，Q＝x﹣1， ∴M＝P﹣8Q ＝x2+4x﹣8（x﹣1） ＝x2+4x﹣8x+8 ＝x2﹣4x+8； …………………………………………4分 （2）整式M的值不能为负数， 理由如下： M＝x2﹣4x+8 ＝x2﹣4x+4+4 ＝（x﹣2）2+4， 因为（x﹣2）2≥0， 所以（x﹣2）2+4≥4， 所以整式M的值不能为负数． …………………………………………8分 19．（8分） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE为平行四边形； …………………………………………4分 （2）解：∵AB＝2BO＝4， ∴BO＝2， ∵∠ABD＝90°， ∴AO2， ∵点E为AO的中点， ∴BEAO． …………………………………………8分 20．（8分） 【解答】解：（1） a＝6，b＝5； …………………………………………2分 （2）补全条形图如下： …………………………………………4分 （3）500×（25%+20%+10%）＝500×55%＝275（人）； 故答案为：275； …………………………………………6分 （4）从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均个数是5.8；从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上个数不少于6个；从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5个的人数最多． …………………………………………8分 21．（8分） 【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； …………………………………………4分 （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． …………………………………………8分 22．（10分） 【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F， 则AF∥MN∥M′N′， ∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF， ∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°， ∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°， ∵AF＝3米， ∴BF＝AF•tan30°＝3（米），CF＝AF•tan60°＝3（米）， ∴BC＝CF﹣BF＝32（米）， 即BC的长为2米； …………………………………………5分 （2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米， 由题意可知：∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝8.72米， ∴DN＝BN•tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米）， ∵DN+DE＝BC+N′E， ∴0.4x+4.56＝20.85x， 解得x≈2.44， 即水池的深约为2.44米． …………………………………………10分 23．（10分） 【解答】解：（1）∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标之和为4， ∴，即n＝4； …………………………………………3分 （2）（i）由（1）知n＝4， ∴抛物线， ∵A（s，t）为抛物线上一点， ∴t＝s2+ms+4， ∵s+t＝0，即t＝﹣s， ∴﹣s＝s2+ms+4，即s2+（m+1）s+4＝0， ∵仅存在一个正数s，使得s+t＝0， ∴关于s的一元二次方程s2+（m+1）s+4＝0，有两个相等的正数根， ∴Δ＝（m+1）2﹣4×1×4＝0，即（m+1）2＝16， ∴m1＝3，m2＝﹣5， 当m＝3时，s2+4s+4＝0，s＝﹣2＜0（舍去，不符合题意）； 当m＝﹣5时，s2﹣4s+4＝0，s＝2＞0（符合题意）； ∴m＝﹣5， ∴， 由题意可得：q＝﹣p2+5p， ∴p+q＝﹣p2+6p＝﹣（p﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴当p＝3时，p+q有最大值9； …………………………………………6分 （ii）∵t＝s2+ms+4，p＝s+2，且B（p，q）为抛物线上， ∴q＝﹣（s+2）2﹣m（s+2）＝﹣s2﹣（4+m）s﹣2m﹣4， ∵t+q＜4， ∴s2+ms+4+[﹣s2﹣（4+m）s﹣2m﹣4]＜4， ∴﹣2m＜4+4s， ∵1＜s＜2， ∴8＜4+4s＜12， ∴﹣2m≤8， ∴m≥﹣4． …………………………………………10分 24．（12分） 【解答】（1）证明：连接OE，如图： ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴OE∥AC， ∴∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥BC， ∵OE为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； …………………………………………4分 （2）证明：由（1）可知，BC与⊙O相切于点E， ∴∠OED+∠BED＝90°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AEO+∠OED＝90°， ∴∠AEO＝∠BED． ∵OE＝OA， ∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAE， ∴， ∴BE 2＝BD•AB； …………………………………………8分 （3）解：过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，如图： 在Rt△ABC中，AB10， ∵AE平分∠BAC， ∴EM＝EC，AM＝AC＝6， ∴BM＝AB﹣AM＝4， 设CE＝x，则EM＝x， ∴BE＝8﹣x， 在Rt△BEM中，EM 2+BM 2＝BE 2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴EM＝EC＝3，BE＝5， Rt△ACE中，AE3， 由（2）可知，△BED∽△BAE， ∴， ∴DE， 在Rt△AED中，AD， ∴DM， ∴OM＝OD﹣DMDM， ∵点H为的中点， ∴∠HOA＝∠HOD＝90°， ∴EM∥OH， ∴△EGM∽△HGO， ∴， 设MG＝a，则OG＝OM﹣MGa， ∴， ∴a＝1，即MG＝1，OG， 在Rt△OHG中，GH． 答：GH的长为． …………………………………………12分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．检测一批家用汽车的抗撞能力用全面抽查 B．检测长征运载火箭零部件质量情况用随机抽样抽查 C．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件 D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是随机事件 【分析】根据题意逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A．检测一批家用汽车的抗撞能力用抽样抽查，故该选项不正确，不符合题意； B．检测长征运载火箭零部件质量情况用全面抽查，故该选项不正确，不符合题意； C．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件，故该选项正确，符合题意； D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是普查与抽样调查，事件的分类，三角形内角和，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．（3分）2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s．数据“5000万”用科学记数法表示为（　　） A．5×105 B．5×106 C．5×107 D．5×108 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：5000万＝50000000＝5×107． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左边看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的要用虚线进行表示． 【解答】解：由图可知，左视图为选项B的图形． 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意左视图是从物体的左面看得到的视图． 4．（3分）一副三角板按如图所示摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，点A在边EF上，点D在边BC上，AC与DF相交于点G，且BC∥EF，则∠DGC度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．125° 【分析】由直角三角形的性质得到∠F＝30°，∠C＝45°，由平行线的性质得到∠GDC＝∠F＝30°，由三角形内角和定理得到∠DGC＝180°﹣∠C﹣∠GDC＝105°． 【解答】解：∵∠EDF＝90°，∠E＝60°， ∴∠F＝90°﹣∠E＝30°， ∵EF∥BC， ∴∠GDC＝∠F＝30°， ∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠C＝45°， ∴∠DGC＝180°﹣∠C﹣∠GDC＝105°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质得到∠GDC＝∠F＝30°． 5．（3分）《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（　　） A．设有x辆车，则可列方程为2x﹣9＝3（x﹣2） B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错． 【解答】解：A．设有x辆车， 根据题意得：2x+9＝3（x﹣2），选项A不符合题意； B．设有y人， 根据题意得：2，选项B不符合题意； C、D．设有x辆车，有y人， 根据题意得：，选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程（二元一次方程组）是解题的关键． 6．（3分）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据题意，把y＝﹣4直接代入解析式即可解答． 【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4， 把y＝﹣4代入yx2， ∴﹣4x2， ∴x＝±4， ∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）， ∴AB＝4﹣（﹣4）＝8m． 故选：B． 【点评】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，连接BD和OC．若∠ABD＝25°，则∠OCD的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】连接OD，由AD＝CD，得，所以∠ABD＝∠CBD＝25°，则∠COD＝2∠CBD＝50°，而∠ODC＝∠OCD，由三角形内角和定理得2∠OCD+50°＝180°，求得∠OCD＝65°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD，则OD＝OC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD， ∴， ∴∠ABD＝∠CBD＝25°， ∴∠COD＝2∠CBD＝50°， ∵∠ODC+∠OCD+∠COD＝180°，且∠ODC＝∠OCD， ∴2∠OCD+50°＝180°， ∴∠OCD＝65°， 故选：D． 【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 8．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（　　） A．3 B． C． D． 【分析】方法一：根据等边三角形性质先计算BD＝3，再由两角相等证明△ABD∽△DCE，所以，即解出CE，进而求解即可； 方法二：过点A作AF⊥BC于点F，先根据三线合一和CD＝1，计算DF，再根据勾股定理计算AD的长，根据两角相等证明△ADE∽△ACD，所以，进而求解即可． 【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1， ∴BD＝BC﹣CD＝3， ∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE， ∴∠CDE＝∠BAD， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE， ∴，即， ∴CE， ∴AE＝AC﹣CE＝4； 故选：D； 方法二：过点A作AF⊥BC于点F，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴BF＝CFBC＝2，AFAB＝2， ∵CD＝1， ∴DF＝1， ∴AD， ∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD， ∴，即， 解得：AE， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三线合一，解题关键是证明三角形相似． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（3，1），点M（0，m）为y轴上一点，且m＞0．现连接OA，OB，AM，BM，若四边形AOBM所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（　　） A．2＜m＜3 B．2＜m≤3 C． D． 【分析】根据临界点求出直线解析式． 【解答】解：如图所示，此时，C（1，2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴， 当x＝0时，， ∴， ∴； 如图3所示，此时，D（﹣1，2）， 设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，由条件可得： ， 解得， ∴y＝x+3， 当x＝0时，y＝x+3＝3， ∴M（0，3）， ∴m＝3； 综上，． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是关键． 10．（3分）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 【分析】根据新定义，逐项进行判断即可． 【解答】解：∵|x1+y2|+|x2+y1|＝0， ∴x2+y1＝0，x1+y2＝0， ∴x2＝﹣y1，y2＝﹣x1， A、∵， 当点（x1，y1）在反比例函数上时，则x1y1＝2， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴x2y2＝﹣x1•（﹣y1）＝x1y1＝2； ∴点（x1，y1）的反射点（x2，y2），必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”；正确，不符合题意； B、对于y＝x2+1，若点（x1，y1），（x2，y2）是反射点，则，， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故二次函数函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”；正确，不符合题意； C、∵y＝kx﹣4是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2），即（x1，y1），（﹣y1，﹣x1）在直线y＝kx﹣4上， ∴， ∴y1+x1＝k（x1+y1）， ∵y1≠﹣x1， ∴y1+x1≠0， ∴k＝1， ∴y＝x﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝x﹣4＝0时，x＝4， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为（0，﹣4），（4，0）， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为；正确，不符合题意； D、∵二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2）， ∴，， ∴， ∴， ∴x2+x1＝1或x2﹣x1＝0， 当x2﹣x1＝0时，即x2＝x1，则； ∴x2+x1＝1， ∴x2＝﹣x1+1， ∴， ∴， 当时，，此时； 故；错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　 　 ． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”， 所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为 　 ． 【分析】先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【解答】解：假设该方程有解，解得：x， ∵该方程无解， ∴x是增根， ∵2x﹣1＝0，1﹣2x＝0， ∴x是该方程的增根， ∴， ∴m． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解． 13．（3分）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为 　 　 ． 【分析】由点C是OB的中点和反比例函数的对称性可知OB：BD＝2：3，所以S△AOBS△ABD＝12，设C（m，），则B（2m，），根据三角形面积公式建立方程即可求得k的值． 【解答】解：∵点C是OB的中点， ∴OC＝BC， 又由反比例函数的对称性可知，OD＝OC， ∴OB：BD＝2：3， ∴S△AOBS△ABD18＝12， 设点C的横坐标为m，则C（m，）， ∴B（2m，）， ∴A（2m，0）， ∴OA＝2m，AB， ∴•2m•12， 解得，k＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，理解反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积是解决问题的关键． 14．（3分）把二次函数y＝x2+2x﹣5的图象向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（m＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件　 　 ． 【分析】先通过二次函数平移规律得到平移后的抛物线解析式，再结合抛物线与坐标轴有三个公共点的要求，利用判别式判断与x轴的交点情况，同时排除抛物线过原点导致公共点个数不足的情况，进而确定m的取值范围． 【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， 向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后， 所得抛物线的解析式为：y＝（x+1+1）2﹣6+m＝x2+4x+m﹣2， 令x＝0，得y＝m﹣2，即交点为（0，m﹣2）， ∵平移后抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴Δ＝42﹣4×1×（m﹣2）＝24﹣4m＞0， ∴m＜6， ∵m＞0， ∴m应满足的条件是0＜m＜6且m≠2， 故答案为：0＜m＜6且m≠2． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换等，掌握其相关知识点是解题的关键． 15．（3分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为 ． 【分析】分AD⊥BE、CF⊥AD、BE⊥CF三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可． 【解答】解：∵△ABC为“中垂三角形”，即AD⊥BE于点P， 又∵AB＝4，∠DAB＝30°， ∴， ∴， ∵AD、BE分别是中线，连接DE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴EF∥AB， ∵∠BAP＝∠EDP，∠ABP＝∠DEP， ∴△ABP∽△DEP， ∴， ∴， ∵DP2+BP2＝DB2， ∴， ∴； 如图，当CF⊥AD时， 同理可得，，，PF＝1， ∵DP2+CP2＝DC2， ∴ ∴； 如果△ABC是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当BE⊥CF时，取BF中点G，连接PG，过G作GH⊥AD于H， ∵E为AB中点， ∴， ∵G为EB中点， ∴， 又BE⊥CF， ∴， ∵GH⊥AD，∠DAB＝30°，AG＝AE+EG＝3， ∴， ∴GH＞PG，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在CF⊥BE； 综上，BC的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC＝45°，，则⊙O的半径为　 ，BD2的长为　 　 ． 【分析】作OF⊥BC，交⊙O于点E，根据垂径定理和折叠的性质可得，再根据勾股定理求出半径；连接AO，并延长交⊙O于点G，可得∠ABG＝90°，进而求出∠CBG＝45°，然后说明BD＝BG，接下来根据特殊角三角函数求出∠FBO＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠BOG＝30°，然后过点B作BH⊥OG，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理得出答案． 【解答】解：如图，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，∠ABC＝45°，，过点O作OF⊥BC，交⊙O于点E， ∴． 在直角三角形BOF中，由勾股定理得：OB2＝OF2+BF2， 即， 解得：（负值已舍去）； 连接AO，并延长交⊙O于点G， ∵AG是⊙O的直径， ∴∠ABG＝90°． ∵∠ABC＝45°， ∴∠CBG＝45°， 则点D和点G关于BC对称， ∴BD＝BG． 在Rt△BOF中，， ∴∠FBO＝30°， ∴∠ABO＝∠ABC﹣∠FBO＝15°． ∵AO＝BO， ∴∠BAO＝∠ABO＝15°， ∴∠BOG＝∠ABO+∠BAO＝30°． 过点B作BH⊥OG，于点H， 在Rt△BOH中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 在直角BGH中，由勾股定理得：， 即． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，垂径定理，特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握折叠的性质． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： （1）解方程：（2x﹣3）2﹣4x+6＝0． （2）计算：2sin45°|1|． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）（2x﹣3）2﹣4x+6＝0， （2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（2x﹣5）＝0， 则2x﹣3＝0或2x﹣5＝0， 所以； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及实数的运算，熟知实数的运算法则及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18．（8分）已知整式P＝x2+4x，Q＝x﹣1，M＝P﹣8Q． （1）求整式M； （2）对任意实数x，整式M的值能为负数吗？说明理由． 【分析】（1）把P＝x2+4x，Q＝x﹣1代入M＝P﹣8Q，再化简即可； （2）把整式M变形为（x﹣2）2+4，即可． 【解答】解：（1）∵P＝x2+4x，Q＝x﹣1， ∴M＝P﹣8Q ＝x2+4x﹣8（x﹣1） ＝x2+4x﹣8x+8 ＝x2﹣4x+8； （2）整式M的值不能为负数， 理由如下： M＝x2﹣4x+8 ＝x2﹣4x+4+4 ＝（x﹣2）2+4， 因为（x﹣2）2≥0， 所以（x﹣2）2+4≥4， 所以整式M的值不能为负数． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 【分析】（1）由平行四边形的性质可求得OA＝OC、OB＝OD，再结合E、F为中点，可求得OE＝OF，则可证得四边形EBFD为平行四边形； （2）根据勾股定理求出AO＝2，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：∵AB＝2BO＝4， ∴BO＝2， ∵∠ABD＝90°， ∴AO2， ∵点E为AO的中点， ∴BEAO． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 20．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有多少人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【分析】（1）根据中位数和众数的确定方法进行计算即可； （2）根据（1）中求出的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）根据平均数、中位数、众数的意义，进行作答即可． 【解答】解：（1）作4个引体向上人数为：40×15%＝6， 作8个引体向上人的人数为：40×10%＝4， 将数据排序后，第20个和第21个数据均为6， ∴a＝6， 作5个引体向上人的人数最多， ∴b＝5； （2）补全条形图如下： （3）500×（25%+20%+10%）＝500×55%＝275（人）； 故答案为：275； （4）从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均个数是5.8；从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上个数不少于6个；从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5个的人数最多． 【点评】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． 21．（8分）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得∠PCD＝∠ACP，从而可得∠PCD＝∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答． 【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6， ∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD， ∴∠ACP＝∠BPD， ∵∠A＝∠B， ∴△ACP∽△BPD， ∴， ∴， ∴BD， ∴BD的长为； （2）证明：∵CP平分∠ACD， ∴∠PCD＝∠ACP， ∵∠ACP＝∠DPB， ∴∠PCD＝∠DPB， ∵∠CPD＝∠B， ∴△CPD∽△PBD， ∴， ∴PD2＝CD•BD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键． 22．（10分）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN，M′N′为法线．入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米． 参考数据 °≈0.76，tan40.5°≈0.85 项目任务 任务一 （1）求BC的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若DE＝4.56米，求水池的深（精确到0.01米）． 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和BF的值，然后即可计算出BC的值； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【解答】解：（1）作AF⊥BC，交CB的延长线于点F， 则AF∥MN∥M′N′， ∴∠ABM＝∠BAF，∠ACM′＝∠CAF， ∵∠ABM＝30°，∠ACM′＝60°， ∴∠BAF＝30°，∠CAF＝60°， ∵AF＝3米， ∴BF＝AF•tan30°＝3（米），CF＝AF•tan60°＝3（米）， ∴BC＝CF﹣BF＝32（米）， 即BC的长为2米； （2）设水池的深为x米，则BN＝CN′＝x米， 由题意可知：∠DBN＝22°，∠ECN′＝40.5°，DE＝8.72米， ∴DN＝BN•tan22°≈0.4x（米），N′E＝CN′•tan40.5°≈0.85x（米）， ∵DN+DE＝BC+N′E， ∴0.4x+4.56＝20.85x， 解得x≈2.44， 即水池的深约为2.44米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（10分）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． （1）求n的值； （2）已知A（s，t）为抛物线上一点，B（p，q）为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数s，使得s+t＝0，求p+q的最大值； （ⅱ）若p＝s+2，且当1＜s＜2时，总有t+q＜4，求m的取值范围． 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到﹣s＝s2+ms+4，即s2+（m+1）s+4＝0，由仅存在一个正数s，使得s+t＝0，则关于s的一元二次方程s2+（m+1）s+4＝0，有两个相等的正数根，求出m1＝3，m2＝﹣5，m＝﹣5，得到p+q＝﹣p2+6p＝﹣（p﹣3）2+9，即可解答； （ii）根据题意求出t＝s2+ms+4，q＝﹣s2﹣（4+m）s﹣2m﹣4，由t+q＜4，得到s2+ms+4+[﹣s2﹣（4+m）s﹣2m﹣4]＜4，求出﹣2m＜4+4s，即可解答． 【解答】解：（1）∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标之和为4， ∴，即n＝4； （2）（i）由（1）知n＝4， ∴抛物线， ∵A（s，t）为抛物线上一点， ∴t＝s2+ms+4， ∵s+t＝0，即t＝﹣s， ∴﹣s＝s2+ms+4，即s2+（m+1）s+4＝0， ∵仅存在一个正数s，使得s+t＝0， ∴关于s的一元二次方程s2+（m+1）s+4＝0，有两个相等的正数根， ∴Δ＝（m+1）2﹣4×1×4＝0，即（m+1）2＝16， ∴m1＝3，m2＝﹣5， 当m＝3时，s2+4s+4＝0，s＝﹣2＜0（舍去，不符合题意）； 当m＝﹣5时，s2﹣4s+4＝0，s＝2＞0（符合题意）； ∴m＝﹣5， ∴， 由题意可得：q＝﹣p2+5p， ∴p+q＝﹣p2+6p＝﹣（p﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴当p＝3时，p+q有最大值9； （ii）∵t＝s2+ms+4，p＝s+2，且B（p，q）为抛物线上， ∴q＝﹣（s+2）2﹣m（s+2）＝﹣s2﹣（4+m）s﹣2m﹣4， ∵t+q＜4， ∴s2+ms+4+[﹣s2﹣（4+m）s﹣2m﹣4]＜4， ∴﹣2m＜4+4s， ∵1＜s＜2， ∴8＜4+4s＜12， ∴﹣2m≤8， ∴m≥﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2＝BD•AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC＝6，BC＝8，求GH的长． 【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可证OE∥AC，从而OE⊥BC，即得BC是⊙O的切线； （2）证明△BED∽△BAE，可得，即有BE 2＝BD•AB； （3）过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，设CE＝x，则EM＝x，在Rt△BEM中，得x2+42＝（8﹣x）2，解得EM＝EC＝3，BE＝5，由△BED∽△BAE，可得DE，从而AD，DM，OM＝OD﹣DM，根据点H为的中点，可证△EGM∽△HGO，有，设MG＝a，则OG＝OM﹣MGa，即得，可得MG＝1，OG，故GH． 【解答】（1）证明：连接OE，如图： ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠AEO， ∴OE∥AC， ∴∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴OE⊥BC， ∵OE为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）证明：由（1）可知，BC与⊙O相切于点E， ∴∠OED+∠BED＝90°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠AEO+∠OED＝90°， ∴∠AEO＝∠BED． ∵OE＝OA， ∴∠EAB＝∠AEO＝∠BED， ∵∠B＝∠B， ∴△BED∽△BAE， ∴， ∴BE 2＝BD•AB； （3）解：过点E作EM⊥AB于点M，连接OH，如图： 在Rt△ABC中，AB10， ∵AE平分∠BAC， ∴EM＝EC，AM＝AC＝6， ∴BM＝AB﹣AM＝4， 设CE＝x，则EM＝x， ∴BE＝8﹣x， 在Rt△BEM中，EM 2+BM 2＝BE 2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴EM＝EC＝3，BE＝5， Rt△ACE中，AE3， 由（2）可知，△BED∽△BAE， ∴， ∴DE， 在Rt△AED中，AD， ∴DM， ∴OM＝OD﹣DMDM， ∵点H为的中点， ∴∠HOA＝∠HOD＝90°， ∴EM∥OH， ∴△EGM∽△HGO， ∴， 设MG＝a，则OG＝OM﹣MGa， ∴， ∴a＝1，即MG＝1，OG， 在Rt△OHG中，GH． 答：GH的长为． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形与直角三角形解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．检测一批家用汽车的抗撞能力用全面抽查 B．检测长征运载火箭零部件质量情况用随机抽样抽查 C．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件 D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是随机事件 2．（3分）2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s．数据“5000万”用科学记数法表示为（　　） A．5×105 B．5×106 C．5×107 D．5×108 3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）一副三角板按如图所示摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，点A在边EF上，点D在边BC上，AC与DF相交于点G，且BC∥EF，则∠DGC度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．125° 5．（3分）《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（　　） A．设有x辆车，则可列方程为2x﹣9＝3（x﹣2） B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 6．（3分）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，连接BD和OC．若∠ABD＝25°，则∠OCD的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 8．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（　　） A．3 B． C． D． 9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（3，1），点M（0，m）为y轴上一点，且m＞0．现连接OA，OB，AM，BM，若四边形AOBM所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（　　） A．2＜m＜3 B．2＜m≤3 C． D． 10．（3分）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：　 　 ． 12．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为 　 　 ． 13．（3分）如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为 　 　 ． 14．（3分）把二次函数y＝x2+2x﹣5的图象向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（m＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件　 　 ． 15．（3分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　 　 ． 16．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC＝45°，，则⊙O的半径为　 　 ，BD2的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： （1）解方程：（2x﹣3）2﹣4x+6＝0． （2）计算：2sin45°|1|． 18．（8分）已知整式P＝x2+4x，Q＝x﹣1，M＝P﹣8Q． （1）求整式M； （2）对任意实数x，整式M的值能为负数吗？说明理由． 19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 20．（8分）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有多少人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 21．（8分）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 22．（10分）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM＝30°，折射角∠DBN＝22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM′＝60°，折射角∠ECN′＝40.5°．DE∥BC，MN，M′N′为法线．入射光线AB，AC和折射光线BD，CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为3米． 参考数据 °≈0.76，tan40.5°≈0.85 项目任务 任务一 （1）求BC的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若DE＝4.56米，求水池的深（精确到0.01米）． 23．（10分）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． （1）求n的值； （2）已知A（s，t）为抛物线上一点，B（p，q）为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数s，使得s+t＝0，求p+q的最大值； （ⅱ）若p＝s+2，且当1＜s＜2时，总有t+q＜4，求m的取值范围． 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别与BC，AC交于点E，F．连接DE，AE，且AE平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求证：BE2＝BD•AB； （3）点H为的中点，连接EH交AD于点G，若AC＝6，BC＝8，求GH的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $