第九章 二元一次方程组（复习讲义）数学新教材青岛版七年级下册

第九章 二元一次方程组（复习讲义） 1. 探究把二元一次方程的解转化成坐标 能在平面直角坐标系描出二元一次方程组的图象，并用图象求二元一次方程组的解。 2. 用二元一次方程组解决实际问题 培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，通过两个具体的实践活动发展学生动手能力和应用意识，增强学生发现与提出问题、分析与解决问题能力. 知识点01 二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点02 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 知识点03 实际问题与二元一次方程组 知识点04 三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 题型一 二元一次方程的解 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【变式】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元． 题型二 判断是否是二元一次方程组的解 【例2】（23-24八年级上·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【变式】二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 题型三 代入消元法 组的解 【例3】（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 题型四 加减消元法 组的解 【例4】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组： 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”． (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 组的解 【例5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 题型六 构造二元一次方程组求解 法 组的解 【例6】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【变式】（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 题型七 已知二元一次方程组的解求参数 法 组的解 【例7】（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例8】（2023七年级下·全国·专题练习）若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例9】（25-26七年级上·湖南张家界·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 题型十 方程组相同解问题 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型十一 根据实际问题列二元一次方程组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例11】（25-26八年级上·重庆·期末）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·全国·期末）如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型十二 根据几何图形列二元一次方程组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例12】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为______． 题型十三 方案问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例13】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【变式】（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 题型十四 行程问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例14】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 题型十五 工程问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例15】（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【变式】（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 题型十六 数字问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例16】（25-26八年级上·山东青岛·月考）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 【变式】（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 题型十七 年龄问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例17】（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【变式】（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 题型十八 分配问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例18】（25-26八年级上·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 题型十九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例19】（24-25七年级下·全国·课后作业）三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【变式】（25-26九年级上·海南海口·期末）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知  ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] (2)小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 题型二十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例20】（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 题型二十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例21】（25-26七年级上·浙江嘉兴·月考）如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为______． 【变式】如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（   ） A．12 B．48 C．58 D．72 题型二十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例22】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【变式】（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 题型二十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例23】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【变式】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 5．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为______ 6．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 8．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组： 9．（25-26八年级上·山西太原·期末）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）河南省自2025年1月20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一级能效补贴比例为，二级补贴，单件补贴不超过2000元．小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元．电视机售价比冰箱低2000元，且两件家电的补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·甘肃武威·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 4．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为________________． 7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 8．（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 10．（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 二元一次方程组（复习讲义） 1. 探究把二元一次方程的解转化成坐标 能在平面直角坐标系描出二元一次方程组的图象，并用图象求二元一次方程组的解。 2. 用二元一次方程组解决实际问题 培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，通过两个具体的实践活动发展学生动手能力和应用意识，增强学生发现与提出问题、分析与解决问题能力. 知识点01 二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点02 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 知识点03 实际问题与二元一次方程组 知识点04 三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 题型一 二元一次方程的解 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【规范解答】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 【变式】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）小张买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵，小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，则红笔每支______元，蓝笔每支______元． 【答案】 13 4 【思路引导】本题考查二元一次方程的解，正确掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据题意，列出二元一次方程，再通过排除法，笔价不能是35的因数或18的因数，从而判断出满足题意的二元一次方程的解即可求解． 【规范解答】解：设红笔单价为x元，蓝笔单价为y元， 根据题意，可得，， x，y都是正整数，且， 满足条件的解有8个，分别为， ，，，，，，，， 他无论怎样买都不能恰好把35元用完， x和y不能为35的因数，即不能为1，5或7， ， 如果 x和y 中有一个或两个是18的因数，则存在购买的个数使得费用为18元， 那么每种笔再多买一个即17元，总花费为元， x和y 不能为18的因数，即不能为1、2、3、6、9， 满足条件的解只有， 验证：设购买红笔a个，蓝笔b个， 根据题意可得，，此方程没有非负整数解， 即当红笔每支13元，蓝笔每支4元时，小张无论怎样买都不能恰好把35元用完． 故答案为：13；4． 题型二 判断是否是二元一次方程组的解 【例2】（23-24八年级上·陕西西安·月考）已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【规范解答】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 【变式】二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将各选项中，的值代入原方程，取方程左边方程右边的选项即可． 【规范解答】、当时，方程左边右边，此选项符合题意； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 、当时，方程左边右边，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【考点剖析】此题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 题型三 代入消元法 组的解 【例3】（25-26七年级下·全国·周测）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组的特点，灵活选用代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． （1）方程组中第一个方程已经用含的代数式表示出，适合用代入消元法，将①代入②消去，先求出的值，再求 的值； （2）先将第二个方程去分母化简，再用加减消元法，将两个方程相减消去，先求出的值，再求的值． 【规范解答】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【规范解答】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 题型四 加减消元法 组的解 【例4】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组： 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】解： 整理②得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫作这个方程（组）的“友谊解”．例如：就是方程的一组“友谊解”；是方程组的一组“友谊解”． (1)请直接写出方程的所有“友谊解”． (2)关于x，y，k的方程组有“友谊解”吗？若有，请求出对应的“友谊解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)方程的“友谊解”有 (2) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键． （1）根据“友谊解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解； （2）解方程组求得，根据“友谊解”的定义得，即，在范围内列举正整数代入求解； 【规范解答】（1）解：由，得（x，y为正整数）， ∵，解得， ∴当时，；当时，；当时，， ∴方程的“友谊解”有，，． （2）解：有，理由： 由，解得（，，为正整数）， ∵，解得， ∴当时，，， ∴方程组有“友谊解”，且“友谊解”为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 组的解 【例5】（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【规范解答】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程． 先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算． 【规范解答】解：由①，得③． 观察方程② ，可以将分子变形为， 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴这个方程组的解为 题型六 构造二元一次方程组求解 法 组的解 【例6】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查新定义方程，涉及解一元一次方程及二元一次方程组等知识，理解“和谐方程”的定义是解决问题的关键． （1）先分别解出方程与方程，再由“和谐方程”定义得到求解即可确定答案； （2）设另一个方程的解为，由题意及“和谐方程”定义列方程组；求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：解得；解得； 关于的方程与方程是“和谐方程”， ， 解得； （2）解：设另一个方程的解为， 其中一个解为，“和谐方程”的两个解的差为4， ， 则或； 两个方程为“和谐方程”， ； 当时，解得； 当时，解得； 的值为． 【变式】（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 【答案】 【思路引导】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 已知二元一次方程组的解求参数 法 组的解 【例7】（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【规范解答】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【规范解答】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 题型八 已知二元一次方程组的解的情况求参数 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例8】（2023七年级下·全国·专题练习）若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键． 由与互为相反数，可得，代入到方程组中得到、的值，进而可得的值． 【规范解答】解： 与互为相反数， ， 将代入中得：， 解得， ， 将，代入中得：， 解得， 故选：A． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 【答案】    【思路引导】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握先解含参数的方程组，再代入另一方程求参数的方法是解题的关键． 先通过加减消元法解含参数的方程组，用表示出和；再将这个解代入方程，得到关于的一元一次方程，求出后回代即可得到方程组的解． 【规范解答】解： ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． ∴方程组的解为 将代入中，得， 解得， 方程组的解为． 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例9】（25-26七年级上·湖南张家界·期末）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将解代入没有抄错的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行求解即可． 【规范解答】解：将代入方程， 将代入方程，   可得， 解得． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程组： 下面是小虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得．故原方程组的解为 【答案】他的解法不正确．正确解法见解析 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据加减消元法解方程组进行判断，然后再写出正确的解法． 【规范解答】解：他的解法不正确．正确解法如下： 方程①去分母，得， 即．③ ，得，解得． 把代入②，得，解得． 故原方程组的解为 题型十 方程组相同解问题 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【规范解答】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 题型十一 根据实际问题列二元一次方程组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例11】（25-26八年级上·重庆·期末）我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念．在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼．已知每卷彩纸可制作福袋个或灯笼个，且每卷彩纸只能做其中的一种．现有卷彩纸，完成后打算将个福袋和个灯笼配成一套礼物送给父母．最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套．设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设做福袋用了卷彩纸，做灯笼用了卷彩纸， 由题意得，， 故选：． 【变式】（25-26七年级下·全国·期末）如图，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是类似地，如图②所示的算筹图我们可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了算筹图与二元一次方程组的转化，掌握算筹中十位用横线、个位用竖线的表示规则是解题的关键． 根据算筹图的表示规则，分析图②中每行算筹对应的系数和常数项，从而列出方程组． 【规范解答】解：第一行算筹：的系数为2，的系数为 1，常数项为11，因此方程为 第二行算筹：的系数为 4，的系数为3，常数项为，因此方程为 所以方程组为： 故选：B． 题型十二 根据几何图形列二元一次方程组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例12】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【规范解答】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·北京·期中）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，由题意可列方程组为______． 【答案】 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块，结合黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，再建立方程组解题即可． 【规范解答】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，黑皮块， 由题意得． 故答案为：． 题型十三 方案问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例13】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元．销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车（两种汽车都要买），请你帮助该公司设计共有几种购买方案．并通过计算说明哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车进价为万元，型汽车进价为万元 (2)共有种方案，其中购买型汽车辆，型汽车辆利润最大，最大利润为万元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的整数解及方案选择，熟练运用方程思想和利润计算公式是解答本题的关键． （1）利用题目中给出的两组采购总价信息，建立关于、两种型号汽车进价的二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进价； （2）根据总采购金额列出二元一次方程，结合正整数条件确定所有采购方案，再代入利润公式计算并比较，确定利润最大的方案及最大利润． 【规范解答】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，根据题意得： 解得， 答：型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ，整理得 均为正整数，或或 共种购买方案，当时：（万元）， 当时：（万元）， 当时：（万元）， ，故时利润最大（其它作法得第三个方案利润最大也可以） 答：共有种方案，其中购买型汽车辆，B型汽车辆利润最大，最大利润为万元． 【变式】（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【规范解答】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 题型十四 行程问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例14】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【规范解答】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）一艘船在某河道上航行，已知顺水航行需要，逆水航行需要．那么，该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少？ 【答案】船在静水中的速度为，水流速度为 【思路引导】本题考查了二元一次方程组和流水行船问题中的基本公式运用，解题的关键是根据顺水速度和逆水速度与路程、时间的关系建立方程组，易错点是混淆顺水速度、静水速度和水流速度之间的关系；设船在静水中的速度为，水流速度为​。根据公式：顺水速度​，逆水速度，结合题目中给出的顺水航行和逆水航行的路程与时间列出方程组，求解即可． 【规范解答】解：设船在静水中的速度为，水流速度为． 由题意可得： 顺水航行： 逆水航行： 化简方程组： 解得 答：船在静水中的速度为，水流速度为． 题型十五 工程问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例15】（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【规范解答】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【变式】（25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【规范解答】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 题型十六 数字问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例16】（25-26八年级上·山东青岛·月考）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 【答案】34 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【规范解答】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 【变式】（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【规范解答】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 题型十七 年龄问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例17】（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【思路引导】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【规范解答】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 【变式】（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年______岁． 【答案】 【思路引导】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【规范解答】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 题型十八 分配问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例18】（25-26八年级上·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【规范解答】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【规范解答】解：设该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间， 由题意可得， 解得：， 故该旅行团租了三人间客房间，租了两人间客房间． 题型十九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例19】（24-25七年级下·全国·课后作业）三月初某书店销售、两种书籍，销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际需要购买了原价或打折的两种书籍，共花费元，其中购买的种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买种打折书籍多少本？ 【答案】张老师购买种打折书籍本 【思路引导】本题考查了二元一次方程组和实际问题、二元一次方程的特殊解，关键是找到恰当的等量关系列方程或方程组；根据销售本书籍和本书籍收入元，销售本书籍和本书籍收入元，列二元一次方程组即可求出的售价；根据购买了原价或打折的两种书籍，共花费元列方程分情况讨论求出种打折书籍的数量． 【规范解答】解：设书籍的售价为元/本，书籍的售价为元/本， 根据题意可得解得， 设张老师购买种打折书籍本，购买种打折书籍本， 购买原价种书籍本，则购买原价种书籍本， 根据题意可知，， 整理得， ∴， ∵，，，均为自然数， 为的倍数，且， 当时，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，，为负数（舍）， 当时，， 当时，（舍）， 答：张老师购买种打折书籍本． 【变式】（25-26九年级上·海南海口·期末）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知  ，求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现： “设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）． ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 [迁移类比] (2)小军看了对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价． 【答案】(1)② (2)方程见解析；A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元 【思路引导】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据方程可得表示的是B品牌足球的单价，据此可得答案； （2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据方程可知，表示的是B品牌足球的单价， ∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元， ∴例题中被覆盖的条件是②， 故答案为：②； （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元 根据题意得， 解得， 答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元． 题型二十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例20】（25-26七年级上·重庆合川·期末）“杀年猪，吃刨汤”是合川人民岁末的传统习俗．为了接待全国各地游客前来体验该活动，合川某生态园计划采购白猪和黑猪共650头，由于游客人数大大超过预期，该生态园实际采购两种猪共900头，其中白猪和黑猪的采购数量分别比原计划增长和． (1)该生态园实际采购白猪和黑猪分别为多少头？ (2)若白猪采购价格为每头3000元，黑猪采购价格为每头4000元，每头白猪的加工费是它价格的，每头黑猪的加工费是它价格的．一热心网友赠送了一批白猪，数量为白猪实际采购数量的，且赠送的白猪与采购的白猪均全部运输到位；而黑猪受到天气的影响，运输到位的数量比实际采购数量减少了，若所有运输到位的猪均被加工完毕，该生态园这些猪的加工费共花了81850元，求a的值． 【答案】(1)实际采购白猪500头，黑猪400头 (2)5 【思路引导】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）通过设原计划白猪和黑猪数量，根据增长百分比和总数量列方程组求解； （2）根据实际运输到位的猪数量及加工费列方程求解a的值． 【规范解答】（1）解：设原计划采购白猪x头，黑猪y头， 由题意得：， 解得， （头）， （头）， 答：实际采购白猪500头，黑猪400头． （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 答：a的值为5． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【规范解答】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 题型二十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例21】（25-26七年级上·浙江嘉兴·月考）如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若，，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为______． 【答案】128 【思路引导】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，解题的关键是表示出图形的面积． 利用二元一次方程组，求出的值，然后求出大正方形和小正方形的边长，最后求出面积即可． 【规范解答】解：由，得， ，， 解得， 由得，白色小正方形的边长为， ∴黑色大正方形的边长为， ∴未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为， 故答案为：128． 【变式】如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（   ） A．12 B．48 C．58 D．72 【答案】B 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： 解得：． 故小长方形的长为，宽为， ∴． 故选：B． 题型二十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例22】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【思路引导】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【规范解答】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【变式】（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； (2)小无人机实行九折优惠； (3)①；②这两天总营收的最小值为18840元． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． 【规范解答】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 题型二十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 组 组 的情况求参数 的情况求参数 法 组的解 【例23】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 【变式】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金3两，每只羊值金1两 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【规范解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两． 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金3两，每只羊值金1两． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【规范解答】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【规范解答】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于、的方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知是关于x、y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程得到关系式，再代入所求表达式，即可作答． 【规范解答】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 则， 故选：B． 5．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为______ 【答案】 【思路引导】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入二元一次方程． 将方程的解代入二元一次方程，建立关于的方程并求解． 【规范解答】解：将代入方程得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解的定义；关键是将解代入方程求参数；将给定的解代入方程，通过求解一元一次方程得到的值. 【规范解答】解：将解代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的加减消元法，关键是明确加减消元的核心：使待消去的未知数的系数互为相反数(相加消元)或相等(相减消元)． 【规范解答】解：方案一：要消去， 将得， 得， 两式相加得， 的系数不为0，无法消去，方案一错误； 方案二：要消去， 将得， 得， 两式相减得， 的系数不为0，无法消去，方案二错误； 方案三：要消去， 将得， 减去得， 的系数不为0，无法消去，方案三错误； 方案四：要消去，将得， 加上得，即， 的系数为0，成功消去，方案四正确； 综上，正确的方案只有1个， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组： 【答案】 【思路引导】此题考查了二元一次方程组的解法．利用代入法解方程组即可． 【规范解答】解：， 把①代入②，得 解得： 把代入①， 原方程组的解是 9．（25-26八年级上·山西太原·期末）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）河南省自2025年1月20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一级能效补贴比例为，二级补贴，单件补贴不超过2000元．小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元．电视机售价比冰箱低2000元，且两件家电的补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价． 【答案】冰箱售价为4000元，电视机售价为2000元 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设冰箱售价为元，电视机售价为元，根据小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元，列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设冰箱售价为元，电视机售价为元； 根据购买冰箱和电视机，共获补贴1100元，列得方程： ， 解方程得：， ， 答：冰箱售价为4000元，电视机售价为2000元． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是， 故选：C． 2．（24-25九年级下·甘肃武威·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一．“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，两匹马一头牛的总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，列出方程组． 【规范解答】解：设一匹马价格为x，一头牛价格为y， 根据题意得， 故选：A． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【规范解答】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，二元一次方程组的应用，根据条件 和，得出，，是连续递增的数字，再结合求出，，，最后通过求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由，得 ；由，得， ∵是一个“友谊数”， ∴，即， ∴，得，解得，则，， 由，得，故， 因此这个数为， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的周长是，最长边与最短边之差为，最长边与最短边之和为，各边的长分别为________________． 【答案】，， 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意，设的最长边为a，最短边为c，利用差与和的关系求出a和c，再通过周长求出第三边b． 【规范解答】解：设的最长边为a，最短边为c，第三边为b 则， 得， 解得； 得， 解得． 由周长，得， 解得． 故答案为：，，． 7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 原方程组可变为， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 8．（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【规范解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【规范解答】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 10．（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【规范解答】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $