第九章 二元一次方程组（单元自测·提升卷）数学新教材青岛版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B B D C C B A D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13．15 14． 15．4000 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 17．（本题8分）解：把和代入方程， 得 解得 方程为． 当，时，， 不是这个方程的解． 18．（本题8分）解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 19．（本题9分）（1）解：（1）设该文旅中心购进甲种型号的节能灯x只，则购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得 ， ∴（只）， 答：该文旅中心购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意得 ， 解得 ， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 20．（本题8分）（1）解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元， 由题意得：， 解得； 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元． （2）解：由题意，得 ， 解得， 答：玫瑰的购买数量为9枝． 21．（本题10分）（1）解方程组为共轭二元一次方程组， ， 解得； （2）对于方程组， 方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； 对于方程组， 将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； （3）共轭二元方程组的解是， ， ， ， ， ， ． 22．（本题12分）（1）解：∵甲的底面半径为，甲的水位降低， ∴倒出的水的体积为：， ∵乙的底面半径， ∴乙的水位增加：， ∴甲的水位为：，乙的水位为：， ， ， ， ， 即甲的水位高为：． （2）解：①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为， ， ， ， ． ②由题意得：乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：， ， ， ， ∵为正整数， ∴时，．而时，不合题意舍去， ∴的值为： 12 ． 23．（本题12分）（1）解： ， ，， ，； 故答案为：，； （2）①由（1）知，， 根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度； 故答案为：； ②岁， 爷爷的年龄是岁； （3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒， 表示的数为，表示的数为， 可得，解得， 木棒切断处所表示的数为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 4．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 6．将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 8．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 10． 福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 12．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为____________． 13．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为_______． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 15．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是______元． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 17．（本题8分）若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 18．（本题8分）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 19．（本题9分）为了倡导绿色环保，点燃创意生活，鄂尔多斯市文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)文旅中心将购进的节能灯进行二次加工，在节能灯上创意增加了鄂尔多斯文化元素，其中文创部门在实际销售过程中，按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 20．（本题8分）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈，她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需35元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需50元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有52枝花，其中玫瑰有a枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中．如果总金额为195元，求玫瑰的购买数量． 21．（本题10分）规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 22．（本题12分）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 23．（本题12分） 已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 使用加减消元法计算出方程组的解，再对应选项即可． 【规范解答】解：， 得， ， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为 ． 故选：． 2．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【规范解答】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 3．解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程的加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 通过将方程，消去x，得到关于y的方程，本题可解． 【规范解答】解： 由，得，． 故选：B． 4．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【规范解答】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 5．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，三尺绫和四尺绢共值四钱八分（即48分），七尺绫和二尺绢共值六钱八分（即68分），设每尺绫x分、每尺绢y分，直接列出方程组即可． 【规范解答】解：设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分 ∵三尺绫和四尺绢共值48分， ∴； ∵七尺绫和二尺绢共值68分， ∴； ∴方程组为， 故选：D． 6．将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查二元一次方程组的应用．设小长方体的长为x，宽为y，根据题意可列出方程组，即可求解h． 【规范解答】解：设小长方体的长为x，宽为y，由图可得 ， 解得， 故选：C． 7．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【思路引导】本题主要考查列二元一次方程组，根据题意，设车有x辆，人有y人． 当两人坐一车时，有九人步行，总人数y等于坐车人数加步行人数，即；当三人坐一车时，有两辆空车，坐车人数为，等于总人数y，即． 【规范解答】解：设车数为x，人数为y．   ∵ 两人坐一车，九人步行， ∴．   ∵ 三人坐一车，两辆空车， ∴ 实际用车辆，则．   ∴ 可列方程组为 ．   故选：C． 8．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【规范解答】解：由新定义得 ， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【规范解答】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 10． 福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【规范解答】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 【规范解答】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 12．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了古代问题(二元一次方程组的应用)，根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据题意，总酒量为5斗，总谷子消耗为30斗，清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，设醑酒斗，清酒斗，即可列出方程组． 【规范解答】解：设醑酒斗，清酒斗， ∵总酒量为5斗， ∴， ∵清酒每斗值10斗谷子，醑酒每斗值3斗谷子，总谷子消耗为30斗， ∴， ∴可列出方程组为． 故答案为：． 13．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为_______． 【答案】15 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值． 把代入方程组，得出关于a，b的方程组，再根据加减消元法解方程组求解即可． 【规范解答】解：把代入方程组， 得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴． 故答案为：15． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【规范解答】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 15．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是______元． 【答案】4000 【思路引导】本题主要考查了一次方程的应用．设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，列出方程，求得，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【规范解答】解：设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，， 依题意得， 解得， 则单包花生味的利润为元，芝麻味的利润为元，奥巧味的利润为元， 由题意得， 解得， 所以总利润：（元）， 故答案为：4000． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是根据方程组的特点，灵活选用代入消元法或加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． （1）方程组中第一个方程已经用含的代数式表示出，适合用代入消元法，将①代入②消去，先求出的值，再求 的值； （2）先将第二个方程去分母化简，再用加减消元法，将两个方程相减消去，先求出的值，再求的值． 【规范解答】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 （2）解：整理化简②，得．③ ①，得．④ ③④，得． 把代入①，得， 解得， 原方程组的解为 17．（本题8分）若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 【答案】，不是这个方程的解 【思路引导】此题考查了二元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把与的两对值代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，代入检验即可． 【规范解答】解：把和代入方程， 得 解得 方程为． 当，时，， 不是这个方程的解． 18．（本题8分）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【规范解答】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 19．（本题9分）为了倡导绿色环保，点燃创意生活，鄂尔多斯市文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)文旅中心将购进的节能灯进行二次加工，在节能灯上创意增加了鄂尔多斯文化元素，其中文创部门在实际销售过程中，按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 【答案】(1)购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只 (2)10只 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该文旅中心购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进只节能灯的进货款恰好为元”列方程，解方程即可求解； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利元列方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）设该文旅中心购进甲种型号的节能灯x只，则购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得 ， ∴（只）， 答：该文旅中心购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意得 ， 解得 ， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 20．（本题8分）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈，她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需35元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需50元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有52枝花，其中玫瑰有a枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中．如果总金额为195元，求玫瑰的购买数量． 【答案】(1)玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元 (2)玫瑰的购买数量为9枝 【思路引导】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． （1）设玫瑰和康乃馨每枝各元、元，然后根据题意可列方程进行求解； （2）由题意得，列出一元一次方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设玫瑰和康乃馨每枝各元、元， 由题意得：， 解得； 答：玫瑰和康乃馨每枝各7元、3元． （2）解：由题意，得 ， 解得， 答：玫瑰的购买数量为9枝． 21．（本题10分）规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），； （3），理由见解析． 【思路引导】本题考查了共轭二元一次方程组的定义、解二元一次方程组以及根据方程组的解探究数量关系． （1）根据共轭二元一次方程组的定义，两个方程中、的系数互换，常数项相同，据此列出关于、的方程，求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法进行求解即可； （3）将方程组的解代入原方程组，得到关于、、、的方程，通过消元得出与的数量关系． 【规范解答】（1）解方程组为共轭二元一次方程组， ， 解得； （2）对于方程组， 方程两边同时乘，得，再用方程减去，得，去括号得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； 对于方程组， 将方程两边同时乘，得，再用方程与相加，得，合并同类项得，解得； 把代入，得，解得； 的解为； （3）共轭二元方程组的解是， ， ， ， ， ， ． 22．（本题12分）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 【答案】(1) (2)①；②12 【思路引导】本题考查圆柱的体积，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用及二元一次方程的正整数解，掌握利用方程的思想解决实际问题是解题的关键． （1）先计算甲的水位降低时倒出的水的体积，再计算乙的底面积，林用倒出的水的体积除以乙的底面积可得答案；得出甲的水位为：，乙的水位为：，再由甲，乙的水位高相等建立方程，解方程可得答案； （2）①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为，再利用甲的高度也是，列方程，再解方程可得答案；②由乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：，再利用乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，列方程，利用二元一次方程的正整数解可得答案． 【规范解答】（1）解：∵甲的底面半径为，甲的水位降低， ∴倒出的水的体积为：， ∵乙的底面半径， ∴乙的水位增加：， ∴甲的水位为：，乙的水位为：， ， ， ， ， 即甲的水位高为：． （2）解：①由题意可得：倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，则，可得乙的水位的高度为， ， ， ， ． ②由题意得：乙的水位高为，放入甲后甲的水位高为：， ， ， ， ∵为正整数， ∴时，．而时，不合题意舍去， ∴的值为： 12 ． 23．（本题12分） 已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②爷爷的年龄是岁 (3)存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，木棒切断处所表示的数为 本题考查二元一次方程组的应用，数轴上两点距离，有理数的混合运算，数形结合是解题的关键． （1）由绝对值和平方的非负性可得，； （2）①求出，可得，即这根木棒的长为个单位长度； ②仿照“问题探究”列式计算可得爷爷的年龄是岁； （3）设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，求出表示的数为，表示的数为，根据和刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案． 【规范解答】（1）解： ， ，， ，； 故答案为：，； （2）①由（1）知，， 根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度； 故答案为：； ②岁， 爷爷的年龄是岁； （3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下： 设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒， 表示的数为，表示的数为， 可得，解得， 木棒切断处所表示的数为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 4．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 6．将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示，则桌子的高度h为（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 8．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 10． 福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 12．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设醑酒斗，清酒斗，则可列方程组为____________． 13．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为_______． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 15．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是______元． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 17．（本题8分）若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 18．（本题8分）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 19．（本题9分）为了倡导绿色环保，点燃创意生活，鄂尔多斯市文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该文旅中心购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)文旅中心将购进的节能灯进行二次加工，在节能灯上创意增加了鄂尔多斯文化元素，其中文创部门在实际销售过程中，按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 20．（本题8分）母亲节到了，小丽打算买一束由玫瑰和康乃馨两种花组成的花束送给妈妈，她在花店了解到：如果买2枝玫瑰和7枝康乃馨共需35元，如果买5枝玫瑰和5枝康乃馨共需50元． (1)求玫瑰和康乃馨每枝各多少元？ (2)小丽送给妈妈的花束，需要有52枝花，其中玫瑰有a枝，另外她还想购买一张3元的贺卡放在花束中．如果总金额为195元，求玫瑰的购买数量． 21．（本题10分）规定：形如关于、的方程与的两个二元一次方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个二元一次方程组成的方程组叫做共轭二元一次方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭二元一次方程组，求，的值； 【深入探究】 （2）解下列方程组（直接写出方程组的解）： 的解为_____：的解为_____： 【延伸发现】 （3）若共轭二元方程组的解是，猜想与的数量关系，并说明理由． 22．（本题12分）如图1，已知甲、乙两个圆柱形量筒（量筒厚度忽略不计）的底面半径分别为和，高均为，并都装有一定量的水，甲的水位高，乙的水位高．现从甲倒一部分水到乙，甲的水位降低． (1)若，倒水后甲、乙的水位高度相等，则倒水后甲的水位高多少？ (2)如图2，倒水后将乙放入甲的底部． ①当倒入乙的水使乙的水位增加一倍时，乙放入甲之后，两量筒内的水位高度恰好相等，求x的值． ②若要使乙放入甲之后，甲、乙水位的高度之比为，且均为整数，求h的值． 23．（本题12分） 已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足． (1)填空：_______，______； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄； (3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $