第9章 二元一次方程组（知识清单）数学新教材青岛版七年级下册

第9章 二元一次方程组 1. 方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的______________，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.使二元一次方程_______________________的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.把具有__________________的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也______________________________. 4.一般地，二元一次方程组的两个方程的__________，叫做二元一次方程组的解. 5.解二元一次方程组的思想：__________6.解二元一次方程组的基本方法：__________________和____________________ 7.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成____________________________________； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，_________________，得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是______________________. 8.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成_______________________________________； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到_______________________； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值_______________________________________，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 9.含有__________________，并且含有__________________________________的方程叫做三元一次方程；含有________________________，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且_______________________，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 10.解三元一次方程组的基本思想仍是________，一般的，应利用__________或__________消去一个未知数，从而化三元为___________，然后解这个____________________，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数。 11.解三元一次方程组的一般步骤是： 1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与________________________________，消去两组中的__________________，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求出______________________； 3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的_______________________________，得到一个一元一次方程； 4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 易错点1 二元一次方程定义理解偏差 错误：忽略“整式方程”的前提，误将含分式、根式的方程判定为二元一次方程；忽略“含未知数的项的次数为1”，误将含xy、x²等次项的方程判定为二元一次方程；忽略一次项系数不为0的隐含条件。 注意：判断方程类型时，需同时满足“整式方程、含两个未知数、未知项次数为1、一次项系数不为0”四个条件。 例题1下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的是（    ） A．①④ B．①⑥ C．①②⑥ D．①②④⑥ 易错点2 二元一次方程组定义误解 错误：误认为方程组中每个方程都必须含两个未知数，忽略“组成方程组的方程不必同时含两个未知数”的规则。 注意：只需保证方程组整体含有两个未知数即可，单个方程可仅含一个未知数。 例题2 下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 易错点3 代入消元法易错 错误：代入过程中丢失括号，导致去括号时符号、系数计算错误；未将变形后的方程代入原方程组中未变形的方程，造成循环代入。 注意：代入时需保留括号，按去括号法则运算；变形方程后，需代入另一方程消元，避免重复代入。 例题3 已知二元一次方程组，把①代入②消元正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点4 加减消元法易错 错误：方程变形时漏乘常数项，导致等式不成立；加减消元时符号处理错误，尤其是减法运算时未整体变号。 注意：给方程同乘系数时，常数项需同步相乘；减法消元时，被减方程的每一项都要变号后再相加。 例题4利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 1．下列各方程是二元一次方程的是（） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组，方程①减去②，得（ ） A． B． C． D． 3．用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 4．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m满足（    ） A． B． C． D． 6．用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 7．若是关于的二元一次方程组，则___________． 8．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 9．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 10．解方程组． (1) (2) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 二元一次方程组 1. 方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 4.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5.解二元一次方程组的思想：消元 6.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法。 7.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 8.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 9.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 10.解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数。 11.解三元一次方程组的一般步骤是： 1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； 4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 易错点1 二元一次方程定义理解偏差 错误：忽略“整式方程”的前提，误将含分式、根式的方程判定为二元一次方程；忽略“含未知数的项的次数为1”，误将含xy、x²等次项的方程判定为二元一次方程；忽略一次项系数不为0的隐含条件。 注意：判断方程类型时，需同时满足“整式方程、含两个未知数、未知项次数为1、一次项系数不为0”四个条件。 例题1下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二元一次方程的是（    ） A．①④ B．①⑥ C．①②⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【详解】解：① 方程中是二元一次方程； ② 方程不是整式方程，不是二元一次方程； ③ 方程中，含未知数的项的次数为，不是二元一次方程； ④ 方程，整理得，是二元一次方程； ⑤ 方程中只含有一个未知数，不是二元一次方程； ⑥ 方程，不是整式方程，不是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的是①④． 易错点2 二元一次方程组定义误解 错误：误认为方程组中每个方程都必须含两个未知数，忽略“组成方程组的方程不必同时含两个未知数”的规则。 注意：只需保证方程组整体含有两个未知数即可，单个方程可仅含一个未知数。 例题2 下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 易错点3 代入消元法易错 错误：代入过程中丢失括号，导致去括号时符号、系数计算错误；未将变形后的方程代入原方程组中未变形的方程，造成循环代入。 注意：代入时需保留括号，按去括号法则运算；变形方程后，需代入另一方程消元，避免重复代入。 例题3 已知二元一次方程组，把①代入②消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴ 将①代入②，把替换为，得， 去括号得 ． 易错点4 加减消元法易错 错误：方程变形时漏乘常数项，导致等式不成立；加减消元时符号处理错误，尤其是减法运算时未整体变号。 注意：给方程同乘系数时，常数项需同步相乘；减法消元时，被减方程的每一项都要变号后再相加。 例题4利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】D 【详解】解：对于方程组 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，需要， ∴选项A、C错误； 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，将，可得： ，的系数和为，被消去， ∴选项B错误，选项D正确. 1．下列各方程是二元一次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、由整理得，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是，且为整式方程，是二元一次方程，符合题意； 、中的次数为，不是二元一次方程，不符合题意； 、中项的次数为，不是二元一次方程，不符合题意； 、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意． 2．已知二元一次方程组，方程①减去②，得（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程①减去②，得， 去括号，得， 合并，得． 3．用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【详解】解：∵ 由①得 ③，正确； 将③代入②得 ，正确； 去括号时，，但过程写为 ，错误； ∴ 开始出错的一步是（3） 故选：C． 4．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 5．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：先整理原方程，移项得， 合并同类项得， ∵方程是关于，的二元一次方程，且的系数， ∴的系数， 解得 ． 6．用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 【答案】B 【详解】解：得，即， 没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了y，能完成消元； 得，即，没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了x，能完成消元； ∴不能完成“消元”的是甲和丙 7．若是关于的二元一次方程组，则___________． 【答案】或1 【详解】解：根据题意知，， 解得，， 或． 故答案为：或1． 8．已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， 解得， 由得， 故. 9．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 10．解方程组． (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将②代入①得， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $