第9章二元一次方程组 单元训练2025-2026学年青岛版七年级数学下册

第9章二元一次方程组综合专练 一.单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.下列方程中，属于二元一次方程的是() 1 A.3x+y2= 1B.x-2y=6 C.+3y=5 D.3x-2=x 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是() x+3y=1, 2x+3y=10, x+3y=2, x+y=5, A.12x-z=3. B. 信号1 C. xy+y=6. D. E5y=6. y=2x-3① 3.解关于x,y的二元一次方程组3x+2y=8②，将①代入②，消去y后所得到的方程 是() A.3x+4x-3=8 B.3x+4x+3=8 C.3x+4x-6=8 D.3x+4x+6=8 4.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车 乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x 人，y辆车，可列方程组为() x=3(y+2) x=3(y-2) A.x=2y-18 B.x=2y-18 x=3(y+2) 「x=3y-2) C.x=2y+9 D.x=2y+9 5.已知5+y-+x-y-1=0,则() x=1 x=2 x=0 x=2 A.y=0 B.y=1 C.y=0 D.y=-1 x+3y=18 6.二元一次方程 的自然数解的对数有(). A.2对 B.3对 C.4对 D.无数对 试卷第1页，共3页 [x+2y=10 y+2z=10 7.己知三元一次方程组 (2+2r=40'则 () x+y+z= A.20 B.30 C.35 D.70 ax+by=c x=1 a(x-1)-3by =3c 8.关于x.y的方程组mx+w=d的解为y=2,则方程组m(x-1)-3y=3d的解是（ x=2 x=2 x=4 x=4 2 A. y=2 B. y=-2 c.月 D. v= 9.规定：关于，'的两个方程 x+ky=b kx+y=b 与 互为共轭二元一次方程，其中1 「x+y=b 由这两个方程组成的方程组(+y=b叫作共轭方程组.若关于x,y的方程组 x+(2a-b)y=2b-a (a+6)x+y=b-2a为共轭方程组，则a'b的值分别为（) A.3,-3 B.4,3 C.5,-5 D.3,2 10.若a,c,d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么 a+b+c+d的最大值是() A.-1 B.-5 C.0 D.1 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） x=2 11.写出一个解为y=1的二元一次方程组为 ax-2y=0「x=1 [a(2x+1)-2(3y-5)=0 12.若方程组2br+y=2解为y=-2,则关于x,y的方程组2b(2x+1刂+a(3y-5)=2的 解为。 试卷第2页，共3页 mx-ny=8 x=7 13.若关于x,y的二元一次方程组x+y=9的解是y=9,则关于a,b的二元一次 m(5a-b)-3nb=8 方程组]m(5a-b)+3nb=9的解是 mx+y=5① x=7 14.甲、乙两人同时解方程组12x-心=132甲解题看错了①中的m,解得y=-2,乙解 x=3 题时看错②中的n,解得y=-7.原方程组的解为· [4x-y=5 3x+y=9 15.若关于xy的方程组ax+by=-1和方程组3ax-4hy=18有相同的解，则a+b=一 ⑧y=ax+by 16.已知 其中a,b为常数.己 2@1=4-183=9.则185- 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.解下列方程组. x=y+3 (1)3x-8y=14 3x-2y=4 (2)7x+4y=18 [x=1 ax-2y=0 18.己知y=-2是二元一次方程组2bx+ay=2的解. (1)求a,b的值： a(2x+1)-2(3y-5)=0 (2)小华在求方程组2b(2x+)+a(3y-5)=2的解时发现，若将(1)中求得的a,b代入化 试卷第3页，共3页 简整理之后求解，容易出错。如果把(2x+刊看成一个整体设为P,把③y-5)看成一个整 ap-2q=0 ax-2y=0 x=1 体设为g,通过换元便可得2bp+aq=2与2bx+y=2类似的方程组，由于y=-2是二 ax-2y=0 p=1 2x+1=1 x=0 元一次方程组2bx+ay=2的解，于是q=-2即3y-5=-2,解得y=1. x+y+x-=-3 2 5 请参考小华同学的方法，解方程组2(x+)-3(x-)=26: ax-4y=2① 19.己知关于x、y的二元一次方程组2x+by=5②，甲看错了方程①中的a,得到方程组 [x=1 x=6 的解为y=3,乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为y=4. (I)求a、b的值： (2)求原方程组的解（加减消元法）· 2x-3y=1① 20.已知x,y满足3x-2y=5②，我们可以不解这个方程组，用①×a+②xb可整体得到 x+11y 的值，求a和b的值. x+y=3 21.已知三元一次方程组 y+z=5 x+2=4,求x人2的值. 2x+3y=-4「3x-2y=7 22.已知关于x,y的方程组ax+by=-4和ay+bx=-1有相同的解. ()求这个相同的解. (2)求a+b的值. 试卷第4页，共3页 23.在平面直角坐标系0中，对于不在坐标轴上的点 P(a,b ,我们将关于，’的二元 一次方程+称为点P的“特征方程”.例如点P,-3到的“特征方程”为x-3y=1 x=t-1 (1)若点A3,)的“特征方程”的一个解是y=-5,求t的值. x=1 (2)已知y=1是点P(a,b)的“特征方程”的一个解，将点p向右平移m(m>0)个单位长 x=-1 度，再向下平移nn>0)个单位长度后得到点Q,若y=-1是点Q的特征方程的一个解， 求m+n的最小整数值，并写出此时m和n的值 24.2025年，“浙BA”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地。 “浙BA”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙 江”的鲜活窗口.一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门 票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元. (I)请你求出A,B两款门票的价格： (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A,B两款门票（两款门票均 购买)，且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案。 试卷第5页，共3页 第9章二元一次方程组综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：A选项不是二元一次方程组，因为含有三个未知数； C选项中的次数是2，所以不是二元一次方程组； D选项中不是二元一次方程，因为分母中含有未知数； 只有B选项符合二元一次方程组的条件． 故选：B． 3．解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 【详解】解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 4．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键． 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组． 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴①+②得，解得， 把代入①解得， ∴． 6．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 7．已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练掌握加减法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， ①+②+③得， ∴， 故选：A． 8．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 9．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 10．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】根据题意得，，，代入，已知是正整数，其最小值为1，于是的最大值是． 【详解】解：， ， 又，，， ，，， ， 是正整数，其最小值为1， 的最大值是． 故选：B． 【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 12．若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解变形与整体换元思想，解题的关键是通过整体换元，将新方程组转化为已知解的原方程组形式求解． 设，，将新方程组转化为与原方程组形式一致的方程组，利用原方程组的解求出、的值，再反解出、． 【详解】解：设，， 则原方程组可化为：， 由已知方程组的解为，可得： 即：， 解得：． 13．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_______ 【答案】 【分析】对比两个二元一次方程组的结构，可得新方程组中对应原方程组的，对应原方程组的，利用原方程组的解得到关于，的方程组，再求解即可． 【详解】解：由题意可得 ， 解得， 因此关于，的二元一次方程组的解为． 14．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 15．若关于的方程组和方程组有相同的解，则____ 【答案】0 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 16．已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 【答案】 【分析】先根据题意列出方程组即可求出a与b的值，再根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 18．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 19．已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，分别将代入，代入求解即可； （2）由（1）知，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ∴，； （2）解：由（1）知， ，得， 解得． 把代入②，得， 解得． ∴原方程组的解为． 20．已知x，y满足，我们可以不解这个方程组，用可整体得到的值，求a和b的值． 【答案】， 【分析】由得出，根据可整体得到的值，从而得出，解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：， 由得：， 即， 因为可整体得到的值， 所以， 得：， 解得：， 将代入③，得， 解得：． 21．已知三元一次方程组   ，求x、y、z的值． 【答案】 【详解】解：将方程组中的三个方程相加，得， 整理，得，， 又，，， ∴，，． 22．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出； （2）先把代入得，，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴联立得，， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入，， ∴，， 把上式两式相加得， ∴． 23．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． (1)若点的“特征方程”的一个解是，求的值． (2)已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 【答案】(1) (2)3，的值可以为，的值可以为 【分析】本题主要考查了二元一次方程． （1）先写出点的“特征方程”，再代入其已知的一个解，即可得到关于t的一元一次方程，解方程即可； （2）先写出点的“特征方程”， 再代入其已知的一个解，得到a、b的关系式；根据平移直接得到点的坐标，再写出点，进而得到一个关于m、n的关系式，结合m、n都是正数，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，点的“特征方程”为：， ∵点的“特征方程”的一个解是， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可知：点的“特征方程”为， ∵是的一个解， ∴， ∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， ∴， ∴点的“特征方程”为， ∵是点的“特征方程”的一个解， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3． 即：的值可以为，的值可以为． 24．2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 【答案】(1)A门票每张20元，B门票每张30元 (2)①购买A门票15张，B门票2张；②购买A门票12张，B门票4张；③购买A门票9张，B门票6张； 【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买门票张，门票张，根据准备花费360元购买A，B两款门票，列出二元一次方程，求方程的正整数解，再根据门票总数不少于15张，舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设门票每张元，门票每张元． 由题意得：， 解得， 答：门票每张20元，门票每张30元． （2）解：设购买门票张，门票张，由题意得： ，     ， ∵都是正整数， 取 ， ∴该校所有可能的购票方案如下：①购买门票15张，门票2张； ②购买门票12张，门票4张； ③购买门票9张，门票6张． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $