第9章 二元一次方程组（单元自测·基础卷）数学新教材青岛版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 5．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 6．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中有个数学问题大意是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 9．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 10．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．写一个解是的二元一次方程组_______． 12．已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 13．若是方程的一个解，则a的值是__________． 14．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 15已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 17．（本题8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 18．（本题8分）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 19．（本题9分）祁县作为“中国酥梨之乡”，酥梨产业是当地乡村振兴的支柱产业．随着祁县酥梨产业的品牌化发展，某农产品合作社计划购进一批精品酥梨礼盒和普通酥梨礼盒用于线上销售． 已知：3箱精品酥梨礼盒、2箱普通酥梨礼盒的进价共计460元；2箱精品酥梨礼盒、4箱普通酥梨礼盒的进价共计440元． 求精品酥梨礼盒和普通酥梨礼盒每箱的进价分别为多少元？ 20．（本题8分）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠），三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张） 购买总费用（元） 成人票 学生票 第一次 5 2 380 第二次 7 5 310 第三次 3 4 340 (1)小明以折扣价购买门票是第______次参观； (2)求每张成人票和每张学生票的标准票价． 21．（本题10分）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 22．（本题12分）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 23．（本题12分）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现在8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为3的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出，的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积． (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____． (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A B D C C A B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 所以方程组的解是； （2）解：由②，得③ 把③代入①，得，解得． 把代入③，得． 所以方程组的解是． 17．（本题8分）解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 18．（本题8分）（1）解：设每辆甲种货车可装x吨苹果，每辆乙种货车可装y吨苹果， 依题意，得， 解得． 答：每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 当时，， ∴农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车； 答：农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车． 19．（本题9分）解：设精品酥梨礼盒每箱的进价为元，普通酥梨礼盒每箱的进价为元， 由题意得： 解得 答：精品酥梨礼盒每箱的进价为120元，普通酥梨礼盒每箱的进价为50元． 20．（本题8分）（1）解：由表格数据可得，第二次购买的门票总数为张，购买门票数量最多，但总费用最少， 则小明以折扣价购买门票是第二次参观， 故答案为：二； （2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由题意得：， 解得， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元． 21．（本题10分）（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 22．（本题12分）（1）解：设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意得： ， 解得， 答：一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨． （2）解：①设租用中型车辆，大型车辆，根据题意得： ， 即， ∵，为非负整数， ∴，，中型车不租，大型车8辆； ，，租用中型车5辆，大型车5辆； ，，租用中型车10辆，大型车2辆； 综上所述，方案一：中型车0辆，租用大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆； ②根据题意得：租车费用为元 方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ∵， ∴最少费用9600元，此时租车方案为租中型车0辆，租用大型车8辆． 23．（本题12分）（1）解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得：， 所以每个小长方形的面积为． （2）设一只杯高为，每增加1只杯高增加， 则，解得：， 所以把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是， 故答案为：； （3）设小长方形的长为，宽为， 则，解得：， 所以大长方形宽为（）， 所以阴影部分的面积之和为（）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，根据二元一次方程的解的定义，将已知的x、y的值代入方程，即可求出m的值， 【规范解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴将，代入方程得， ∴， 故选：A． 2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【规范解答】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【规范解答】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 4．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【规范解答】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 5．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，由2个一次方程，且共含有2个未知数组成的方程组是二元一次方程组，进行判断即可． 【规范解答】解：A、含有3个未知数，不能组成二元一次方程组，不符合题意； B、含有2次项，不能组成二元一次方程组，不符合题意； C、方程不是整式，不能组成二元一次方程组，不符合题意； D、能组成二元一次方程组，符合题意； 故选D． 6．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【规范解答】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 7．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程的解的验证，解题的关键是掌握二元一次方程的解的意义． 通过将各选项的x、y值代入方程，判断等式是否成立即可确定不是解的选项． 【规范解答】解：∵把选项A的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴A是方程的正整数解； ∵把选项B的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴B是方程的正整数解； ∵把选项C的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴C不是方程的正整数解； ∵把选项D的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴D是方程的正整数解． 故选：C． 8．《孙子算经》中有个数学问题大意是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，明白已列方程中未知数表示的意义是解题的关键．由方程知：x表示车的辆数，y表示人数，所以根据每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，可得出方程． 【规范解答】解：∵方程， ∴x表示车的辆数，y表示人数， ∴另一方程为：， 故选：A． 9．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【规范解答】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 10．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【规范解答】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．写一个解是的二元一次方程组_______． 【答案】 【思路引导】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 根据，列出方程组即可． 【规范解答】解：根据题意得：． 12．已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，将含x的项移到等号右边，再把等式两边同时除以3即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若是方程的一个解，则a的值是__________． 【答案】 【思路引导】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一次方程的解是本题的关键． 把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【规范解答】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴ 故答案为：． 14．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【规范解答】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 15．已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【思路引导】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数． 通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围． 【规范解答】解：， 得， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的解法步骤是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用整体代入消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 所以方程组的解是； （2）解：由②，得③ 把③代入①，得，解得． 把代入③，得． 所以方程组的解是． 17．（本题8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【规范解答】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 18．（本题8分）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 【答案】(1)每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果 (2)农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合． 【规范解答】（1）解：设每辆甲种货车可装x吨苹果，每辆乙种货车可装y吨苹果， 依题意，得， 解得． 答：每辆甲种货车可装3吨苹果，每辆乙种货车可装2吨苹果； （2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 当时，， ∴农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车； 答：农场有两种方案：租用2辆甲种货车和6辆乙种货车，或租用4辆甲种货车和3辆乙种货车． 19．（本题9分）祁县作为“中国酥梨之乡”，酥梨产业是当地乡村振兴的支柱产业．随着祁县酥梨产业的品牌化发展，某农产品合作社计划购进一批精品酥梨礼盒和普通酥梨礼盒用于线上销售． 已知：3箱精品酥梨礼盒、2箱普通酥梨礼盒的进价共计460元；2箱精品酥梨礼盒、4箱普通酥梨礼盒的进价共计440元． 求精品酥梨礼盒和普通酥梨礼盒每箱的进价分别为多少元？ 【答案】精品酥梨礼盒每箱的进价为120元，普通酥梨礼盒每箱的进价为50元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． 设精品酥梨礼盒每箱的进价为元，普通酥梨礼盒每箱的进价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设精品酥梨礼盒每箱的进价为元，普通酥梨礼盒每箱的进价为元， 由题意得： 解得 答：精品酥梨礼盒每箱的进价为120元，普通酥梨礼盒每箱的进价为50元． 20．（本题8分）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠），三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张） 购买总费用（元） 成人票 学生票 第一次 5 2 380 第二次 7 5 310 第三次 3 4 340 (1)小明以折扣价购买门票是第______次参观； (2)求每张成人票和每张学生票的标准票价． 【答案】(1)二 (2)每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． （1）根据题意易得到小明以折扣价购买门票是第二次参观； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】（1）解：由表格数据可得，第二次购买的门票总数为张，购买门票数量最多，但总费用最少， 则小明以折扣价购买门票是第二次参观， 故答案为：二； （2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由题意得：， 解得， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元． 21．（本题10分）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【规范解答】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 22．（本题12分）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 【答案】(1)一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨 (2)①方案一：租用中型车0辆，大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆；②最少费用9600元，方案为租中型车0辆，租用大型车8辆 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①设租用中型车辆，大型车辆，，根据题意，列出方程，结合，为非负整数，即可求解；②求出①中三种方案的租车费用，即可求解． 【规范解答】（1）解：设一辆中型车载货吨，一辆大型车载货吨，根据题意得： ， 解得， 答：一辆中型车载货6吨，一辆大型车载货10吨． （2）解：①设租用中型车辆，大型车辆，根据题意得： ， 即， ∵，为非负整数， ∴，，中型车不租，大型车8辆； ，，租用中型车5辆，大型车5辆； ，，租用中型车10辆，大型车2辆； 综上所述，方案一：中型车0辆，租用大型车8辆；方案二：租用中型车5辆，大型车5辆；方案三：租用中型车10辆，大型车2辆； ②根据题意得：租车费用为元 方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ∵， ∴最少费用9600元，此时租车方案为租中型车0辆，租用大型车8辆． 23．（本题12分）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现在8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为3的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出，的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积． (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____． (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图1，图2中的信息，列出方程组求解，再求每个小长方形的面积； （2）设一只杯高为，每增加1只杯高增加，根据图3的信息列出方程组求解； （3）设小长方形的长为，宽为，再根据图中信息列出方程求解，然后求出阴影部分面积即可． 【规范解答】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得：， 所以每个小长方形的面积为． （2）设一只杯高为，每增加1只杯高增加， 则，解得：， 所以把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是， 故答案为：； （3）设小长方形的长为，宽为， 则，解得：， 所以大长方形宽为（）， 所以阴影部分的面积之和为（）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第九章 二元一次方程组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 5．如果方程与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组，这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 6．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中有个数学问题大意是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 9．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 10．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．写一个解是的二元一次方程组_______． 12．已知方程，用含x的代数式表示y，则_______． 13．若是方程的一个解，则a的值是__________． 14．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 15已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）解下列方程组： (1) (2) 17．（本题8分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 18．（本题8分）某农场现有一批苹果要运往当地水果市场，农场准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 13 第2次 4 5 22 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨苹果？ (2)若农场共有18吨苹果，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 19．（本题9分）祁县作为“中国酥梨之乡”，酥梨产业是当地乡村振兴的支柱产业．随着祁县酥梨产业的品牌化发展，某农产品合作社计划购进一批精品酥梨礼盒和普通酥梨礼盒用于线上销售． 已知：3箱精品酥梨礼盒、2箱普通酥梨礼盒的进价共计460元；2箱精品酥梨礼盒、4箱普通酥梨礼盒的进价共计440元． 求精品酥梨礼盒和普通酥梨礼盒每箱的进价分别为多少元？ 20．（本题8分）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠），三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张） 购买总费用（元） 成人票 学生票 第一次 5 2 380 第二次 7 5 310 第三次 3 4 340 (1)小明以折扣价购买门票是第______次参观； (2)求每张成人票和每张学生票的标准票价． 21．（本题10分）综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 22．（本题12分）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车运送蔬菜，两种货车的载货情况如下表所示： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 54t 2辆 5辆 62t (1)求一辆中型车和一辆大型车分别满载时能运输蔬菜的吨数； (2)现计划一次性运送80吨蔬菜，且每辆车都必须满载． ①请你为该基地设计所有可行的租车方案； ②若中型车每辆租金为800元/次，大型车每辆租金为1200元/次，请你为该基地计算最少租车费用，并说明此时的租车方案． 23．（本题12分）阅读材料：小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现在8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为3的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于、的二元一次方程组，解出，的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积． (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____． (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积之和． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $