第5章 培优专题8 二次函数的实际应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

☑同行学案学练测九年级数学下QD g 培优专题8：二为 1.（多选)某班一男生在一次投掷实心球的测试 中，实心球所经过的路线为如图所示的抛物 线y=一 +号x+写的一部分，请根据表 216 抽象能力 达式及图象判断，下列选项正确的是() 运算能力 y/m ◆ x/m 几何直观 16 A.实心球的出手高度为9m 空 间观念 B.实心球飞出2m后达到最大高度 C.实心球在飞行过程中的最大高度为3m 推理 D.该同学的成绩是8m 能力 2.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制 数据观 作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛 物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4cm,最 模型观念· 低点C在x轴上，高CH=1cm,BD=2cm, 则右轮廓DFE所在抛物线的表达式 应用意识 为( 创新意识 Ay=+3 1 B.y=4x-3)2 cy=-+3》 D-6x-3 3.(孝感中考)如图，在△ABC中，∠B=90°， AB=3cm,BC=6cm,动点P从点A开始沿 54 做神龙题得好成绩 又函数的实际应用 AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从 点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移 动，若P,Q两点分别从A,B两点同时出发， 点P到达点B运动停止，则△PBQ的面积S 与出发时间t的函数图象大致是( A +S/cm2 S/em2 S/em2 S/cm2 o123is123is0123is0123i A B C D 4.(潍坊三中模拟)如图所示，桥梁的两条钢缆 具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直 角坐标系，右面的一条抛物线的表达式为y= x2一4x+5,而且左右两条抛物线关于y轴对 称，则左面钢缆的表达式为 0 5.(绍兴中考)如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的 拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面 直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛 物线的表达式是y=吉一6》十4，则选取 点B为坐标原点时的抛物线的表达式 是 12m B 6.如图，一座大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物 线的表达式为y=ax2十bx.小强骑自行车从 拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时 拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁 部分的桥面OC共需多少秒？ ↑ 7.（湘潭中考)某校准备在校园里利用围墙（墙 长12m)和21m长的篱笆墙，围成I,Ⅱ两块 矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了 两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且 不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列 问题. (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但 要在I区中留一个宽度AE=1m的水池，且 需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG, DG的长 (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种 植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最 大面积为多少？ A H B- I区Ⅱ区 I☒ Ⅱ区 ① 第5章对函数的再探索☑ 8.[模型观念]如图，为美化中心城区环境，政府 数 计划在长为30米、宽为20米的矩形场地 学 ABCD上修建公园，其中要留出宽度相等的 素 养 三条小路，且两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分建成花圃， (1)若花圃总面积为448平方米，求小路宽为 多少米 抽象能力 (2)已知某园林公司修建小路的造价y1(元) 和修建花圃的造价y2(元)与修建面积 运算能 S(平方米)之间的函数关系分别为y1=40S 和y2=35S十20000.若要求小路宽度不少于 2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建 直观 小路和花圃的总造价最低， A B 空间观念· 推理能力 数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩（55 ☑同行学案学练测九年级数学下QD 数 9.(荆州中考)某企业投人60万元（只计入第一 年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销 售（生产量等于销售量）.经测算，该产品网上 每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间 满足函数关系式y=24一x,第一年除60万元 外其他成本为8元/件， 抽象能力 (1)求该产品第一年的利润（万元）与售价x 之间的函数关系式。 运算 (2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它 能力 全部作为技改资金再次投入（只计人第二年 成本)后，其他成本下降2元/件 何直观 ①求该产品第一年的售价. ②若第二年售价不高于第一年，销售量不超 空间观 过13万件，则第二年利润最少是多少万元？ 推理能力 数据观念·模型观念·应用意识·创新意识 56 做神龙题得好成绩 10.(潍坊中考)工人师傅用一块长为10dm、宽 为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体 容器，需要将四角各裁掉一个正方形.（厚度 不计) (1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁 剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积 为12dm时，裁掉的正方形边长多大， (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底 面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每 平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的 费用为2元.裁掉的正方形边长多大时，总 费用最低？最低为多少？ 11.(南充中考)某工厂计划在每个生产周期内 生产并销售完某设备，设备的生产成本为 10万元/件， (1)如图，设第x(0<x≤20)个生产周期设 备的售价为之万元/件，之与x之间的关系用 图中的函数图象表示.求之关于x的函数表 达式.（写出x的范围） (2)设第x个生产周期生产并销售的设备为 y件，y与x满足关系式y=5x+40(0<x≤ 20).在(1)的条件下，工厂第几个生产周期 创造的利润最大？最大为多少万元？（利 润=收入一成本) 售价 16万元/件 14 ,第x个生产 12 20周期 12.(江西中考)跳台滑雪运动可分为助滑、起 跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞 行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部 分所示)，落地点在着陆坡（如图中虚线部分 所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离 计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行 距离分越高.已知起跳台的高度OA为66m, 基准点K到起跳台的水平距离为75m,高 度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A 第5章对函数的再探索 ☑ 起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间 的函数关系为y=a.x2十bx十c(a≠0). 学 (1)c的值为 素 养 (2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此 时a=一 06=0求基准点K的高度 ②若a=一 时，运动员落地点要超过K 抽象能力 点，则b的取值范围为 (3)在(2)的条件下，若运动员飞行的水平距 运算能力 离为25m时，恰好达到最大高度76m,试判 断他的落地点能否超过K点，并说明理由. 何 t y/m 观 起跳点A 空间观念 着陆坡 基准点K 推理能力 0 x/m 数据观念 ·模型观念·应用意识·创新意识 做神龙题得好成绩 575.7二次函数的应用 能够通行的最大安全限高为2.29m. 第1课时二次函数最值的应用 1.B2.D3.C4.A5.A6.B 7.(1)x+10500-10x(2)709000 8.解：(1)设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函 2k+b=33 数关系式为y=x十b.根据题意得《 5+6=30'解得 9解：(1)认同，理由：当m>0时)一2中，y随x的增大而 k=-1 .y=-x十35(1≤x≤10，x为整数). (2)设 减小，而从图中描点可知，x增大，y随之增大，故不能选y 6=35 销售这种水果的日利润为0元，则w=(一x+35)(分x+ =”(m>0).(2)观察①号田和②号田的年产量变化趋 x 势可知，①号田为y=kx十b(k>0),②号田为y= 18-8)=2+9+50-(x-)》°+3025 8 -0.1x2+ax+c.把(1,1.5)，(2,2.0)代入y=kx+b,得 1≤x≤10，x为整数，∴.当x=7或x=8时，w取得最大 k+b=1.5 解得 值，最大值为378.答：在这10天中，第7天和第8天销售 2k+b=2.0 6=1y=0.5x+1.把(1,1.9， k=0.5 这种水果的利润最大，最大销售利润为378元. (2,2.6)代人y=-0.1x2+ax+c,得 9.D10.5 -0.1+a+c=1.9 11.解：(1)设y关于x的函数关系式是y=kx十b,把点(20， -0.4+2a+c=2. c=1心y=-0.1z2+x+1. a=1 。,解得 20),(30,0)代入y=kx十b,解得k=-2,b=60,所以y 答：模拟①号田的函数表达式为y=0.5.x十1，模拟②号田 关于x的函数关系式是y=一2x十60.(2)设每天的销 的函数表达式为y=-0.1x2+x十1.(3)设①号田和② 售利润为z元，则z=(x一10)（一2x+60),即z=一2x2 号田，总年产量为w吨，则w=0.5x十1十（一0.1x2十x十1） +80.x-600=一2(x一20)2+200，所以当x=20时，每天 =-0.1x2+1.5x+2=-0.1(x-7.5)2+7.625.-0.1 的销售利润最大，最大利润是200元. <0,抛物线对称轴为直线x=7.5,而x为整数，∴.当x=7 12.解：(1)已知AB=xm,则有BC=(18-2x)m.根据题意， 或8时，w取最大值，最大值为7.6.答：①号田和②号田总 得y=x(18-2x)=-2x2+18x.(2)二次函数y= 年产量在2025年或2026年最大，最大是7.6吨. -2x2+18x(0<x<9).因为a=-2<0,所以二次函数 培优专题7：二次函数的图象 18 9 图象开口向下，且当x=一2×（二2=立时，y取得最大 与系数的关系 值，最大值为y=号×(18-2×号）-m), 解题方法 (1)向上向下(2)同号异号(3)><= (3)令y=40,得到-2x2+18x=40,即x2-9x+20=0, (4)a+b+c a-b+c 4a+26+c 4a-2b+c 整理，得(x一4)(x一5)=0，解得x=4或x=5,则AB的 (5)12a0一12a0(6)有两个有一个无 长为4m或5m 1.A2.AB3.D4.D5.B6.AD7.A 第2课时建立二次函数模型解决实际问题 8.解：(1)c=1.(2)由图象过C(0,1),A(1,0),得a+b+1 1.B2.BC3.0.24.C5.42-4 0,∴.b=-a-1.由b2-4ac>0,可得(-a-1)2-4a>0,即 6.AD7.(1)20(2)8 (a-1)2>0,故a≠1.又，a>0,∴.a的取值范围是a>0且 8.解：(1)货车能安全通行.理由：如图所示，以AB所在直线 a≠1. 为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 9.解：(1)直线y=x+m经过点A(1,0),.0=1+m,.m 标系，则抛物线的顶点坐标为(0,4).设抛物线的表达式为 =-1.,抛物线y=x2十bx十c经过点A(1,0),B(3,2), y=ax2+4(a≠0).将B(4,0)代入，得16a十4=0.解得a 10=1十b+c =2心抛物线的表达式为y 6=一3 =-0.25,.抛物线的表达式为y=一0.25x2+4.为确保 2=9+36+c解得 能够顺利通过，货车应在隧道中间行驶，当x=1时，y= x2-3x+2.(2)x>3或x<1.(3)M(a,y1),N(a+ 3.75.3.75-0.5=3.25>3.2,.货车能够安全通行. 1,y2)两点都在函数y=x2-3x十2的图象上，.y1=a2 (2)若隧道为双车道，则货车在一侧行驶，2十0.4÷2= 3a+2,y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a,∴.y2-y1=(a2 2.2.当x=2.2时，y=2.79.2.79-0.5=2.29,.货车 -a)-(a2-3a十2)=2a-2,∴.当2a-2<0,即a<1时， y1>y2;当2a-2=0,即a=1时，y1=y2;当2a-2>0,即 10.解：(1)如图所示 a>1时，y1<y2 培优专题8：二次函数的实际应用 1.AD2.B3.C 4y=x2+4红+55.y=-g(红+6)+4 设裁掉的正方形的边长为xdm由题意可得(10一2x)·(6 6.解：如图，设在10秒时到达A点，26秒时到达B点. -2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x= ,10秒和26秒时拱梁的高度相同，A,B关于对称轴对 6(舍去).答：裁掉的正方形的边长为2dm.(2):长不 称，则从A点到B点需要16秒，从A点到D点需要8秒， 大于宽的5倍，∴.10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5. .从O点到D点需要10十8=18（秒），.从O点到C点需 设总费用为w元，由题意可知=[0.5×2x(16一4x)十 要2×18=36（秒）. 2(10-2.x)(6-2x)]=4x2-48x+120=4(x-6)2-24. 对称轴为直线x=6,开口向上，∴.当0<x≤2.5时，w 随x的增大而减小，.当x=2.5时，心有最小值，最小值 为25.答：当裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最 OA Di B C 低，最低为25元. 11.解：(1)由图可知，当0<x≤12时，之=16；当12<x≤20 7.解：(1)(21一12)÷3=3(m),.I,Ⅱ两块矩形的面积为 时，之是关于x的一次函数.设之=x十b,则 12×3=36(m2).设水池的长为am,则水池的面积为a×1 =a(m2),.36-a=32,解得a=4,.DG=4m,∴.CG= (12k+b=16 k=- 解得 4,∴2三-有x+19,之类 CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m,DG的长为 20k+b=14 b=19 4m.(2)设BC长为xm,则CD长为(21-3x)m,总 16(0<x12) 71 种植面积为(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3(x-2) 于x的函数表达式为之= 4x+19(12<x≤20) 1 十14.：-3<0，当x=2时，总种植面积有最大值为 7 (2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元.当0< 4 x≤12时，w=(16-10)×(5x+40)=30x+240,∴.由一 7 厂m,即BC应设计为7m,总种植面积最大，此时最大 次函数的性质可知，当x=12时，0最大值=30X12十240= 面积为配。 60.当12<z≤20时w=(-子x+19-1o0）(5z+40) 8.解：(1)设小路的宽为m米，则可列方程(30-m)(20一2m) 5x2士35x+360=-5 -号z-140+605”-号< =448.解得m1=2,m2=38(舍去).答：小路的宽为2米. (2)设小路的宽为x米，总造价为心元，则花圃的面积为 0,.当x=14时，w最大值=605.605>600.综上所述，工厂 (2x2-80x十600)平方米，小路面积为(-2x2+80x)平方米， 第14个生产周期创造的利润最大，最大为605万元. 所以w=40·(-2x2+80x)+35·(2x2-80x+600)+ 2解，①66@①a=动6-0y-动+品 20000,整理得w=-10(x-20)2+45000,∴.当2≤x≤4 十66.，基准点K到起跳台的水平距离为75m,y= 时，心随x的增大而增大，∴.当x=2时，w取得最小值. 答：小路宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低. 高×7附+品×5+65=21，基准点K的高度元为 9.解：(1)根据题意，得w=(x一8)(24一x)一60=一x2十 32x一252.(2)①，该产品第一年利润为4万元，.4= 21m②a=一0y=一0产+x十6，运动员 一x2十32x一252，解得x=16.答：该产品第一年的售价是 落地点要超过K点，2=75时，y>21,即一易×752+ 16元/件.②：第二年产品售价不超过第一年的售价，销 |x16 75+6>21,解得6>品故答案为6>0。 (3)他的落 售量不超过18万件，24-≤13解得11≤x≤16.设 地点能超过K点.理由：：运动员飞行的水平距离为25m 第二年利润是w'万元，则=(x一6)(24一x)一4=一x2 时，恰好达到最大高度76m,.抛物线的顶点为(25,76). +30x一148=一(x-15)2+77.,抛物线开口向下，对称 设抛物线的表达式为y=a(x一25)2十76.把(0,66)代入 轴为直线x=15.又，11≤x≤16，.x=11时，w有最小 值，最小值为61.答：第二年的利润最少是61万元. 得66=a(0-25)2+76,解得a= 12抛物线的表达 同行学案学练测·21· 式为y= 层-25+78.当x=75时y=层× 式为y= .(2)设点B坐标为(a,b),作AD⊥BC于 (75-25)2+76=36..36>21,∴.他的落地点能超过 点D,则D(2,6).“反比例函数y=的图象经过点 K点 章末复习 B(a6)AD=3-5S AD 1.A2.D3.A4.A 5.y1>y3>y26.-3 =a(g-8）=6,解得a=66=8-=1,BC6,1. 1号 设直线AB的表达式为y=nx十m.将A(2,3),B(6,1)代 [解析]如图，作CM⊥AB于点M,DN⊥AB于点N. 1 入，得 2n十m=3 设c(m,奈)，则OM=m,CM-奈.0E/CM,AE (6n+m=1 n=一2，直线AB的表达式 解得 m=4 CE.DN/CM.CD-BD. 为y= 1 2x+4. ÷器-别-设-日DN-气：点D的银坐标为 14.解：(1)由题意得抛物线的顶点为P(5,9),.可以设抛物 线的表达式为y=a(x一5)2十9.把(0,0)代入，可得a= 点心点-左x=3a,即oN=8m,N=2m 港物线的表达式为y=一号红一5)+9， 9 BN=m,AB=5m.SAA=6,5m·飞.1 ·2=6, m (2)令y=6,得一号（红-5）2+9=6，解得z1=5+5 =12 5 -5-55A(5-55)a(5+5 V= 15.(1)D(2)2<x<5或x<016.x<-2或x>4 17.0.5 18.解：(1)设直线AB的表达式为y=x十b,代入A(4,4), (4k+b=4 B(6,2),得6+6=2'解得 得6=8，直线AB的表达 A OM NB龙 式为y=-x十8.同理代入B(6,2),C(8,1)可得直线BC 8.解：(I)过点B作BH⊥x轴于点H.设BH=a,则OH= 的表达式为y=一2x+5.“工资及其他费用为0.4X5 1 2a,在Rt△BOH中，BH2+OH2=OB2,即a2+(2a)2= (W5)2,解得a=1(负值已舍去)，∴.点B的坐标为(-2， +1=3(万元)，∴.当4≤x≤6时，0=(x-4)(-x+8)- -1).把点B(-2,-1)代入y=”,得m=2,把点B(-2, 3=-x2+12x-35;当6≤x≤8时，w=（x 一1)代人y=mx十b,得b=2m-1=3,∴.一次函数的表达 4(-7x+5)-3=-号x2+7x-28.(2)当4长x≤<6 [y=2x+3 时，w=一x2+12x-35=-(x-6)2+1,∴.当x=6时， 式为y=2x+3.(2)联立 x1=-2 2 ,解得 y-x y1=-1' w取最大值是1当6<x≤8时，0=一分x2+7x-23 1 1 ,=乞，∴点A的坐标为(24)在y=2x十3中，当x 红-7)+受，当x=7时，w取最大值是15， y2=4 一碧一9-6号，即绿快在第7个月可还清10万元的无 =0时，y=3,点C的坐标为(0,3)，∴.OC=3.S△Ao= 息贷款. 5u+5m5m-号X3X号+号X3X8-只 1 19.B20.-1或2或1 1 21.5或2√5或√10[解析]当AO=AB时，AB=5;当AB (3)由图象可知，不等式mx+b≥空的解集为x≥？或 =B0时，AB=5:当OA=0B时，设A(e,号)(a>0), -2≤x<0. 9.ABD 10.CD 11.CD 12.y B.0.0A=52+(T-5,解得41=3，a 13.解：(1)由题意，得=xy=2×3=6,∴反比例函数的表达 =4,.A(3,4)或(4,3)，.AB=√(3-5)2+4=2W5或 ·22·同行学案学练测 AB=√(4-5)2+32=√10.综上所述，AB的长为5或 15.一3[解析]如图，连接正方形的对角线，由正方形的性质 2√5或√10. 知对角线交于原点O,过点A,B分别作x轴的垂线，垂 2a号 足分别为C,D,点B在函数=是上.：四边形是正方 23.①③④ 形，∴.AO=OB,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°， 24.解：(1)把x=0,y=2及h=2.6代入y=a(x-6)2+h ∴.∠CAO=90°-∠AOC=∠DOB,∴.△AOC≌△OBD 中，得2=a(0-6)2+2.6,a= 60,·y= (=Sm-号-g:点A在第二象 2 限，.n=一3. 60(z-6)2+2.6.(2)当h=2.6时，y= 品红-62+2.6当x=9时y=动×g-6+26 -245>248,球能越过球网当x=18时y=一高× (18-6)2+2.6=0.2>0,.球会出界.(3)将x=0,y= 2代入y=ac一60+h,得a=2当x=9时，令y 16.6[解析]如图，延长CD交y轴于点E,连接OD.,矩形 ABCD的面积是8，.S△Ac=4.AC=2AO,∴.S△Ao= 2站g-6+h=2牛>248①：当z=18时，令y 2.:AD∥OE,.△ACD∽△OCE,∴.AD:OE=AC: 4 -26(18-60+h=8-动c0②，由0②，得A≥g 0C=23Sm=8会=8.>0k=6 直击中考 1.C 2.A 3.C 4.B 5.ABC 6.D[解析]由题意可得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2. ,二次函数y=x2十mx十m2一m,对称轴在y轴左侧， m>0,.m=3,y=x2+3x十6，.二次函数有最小值 0 为4ac-6_4X1×6-3215 17.24[解析]如图，过点A作AE⊥y轴于点E,设⊙A的 Aa 4×1 41 半径为r.,⊙A与x轴相切于点B,.AC=AB=r,BC 7.D =2r.设AE=a,则点C的坐标为(a,2r),.k=2ar. 8.D[解析]，抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=x交 Sam=7AC…AD=6分ra=6,即am=12. 1 于A(x1y1),B(x2,y2)两点，.kx=ax2-a,a.x2-kx a=0,∴x+x2二冬，友<0.当a>0,k<0时，直线 .k=2ar=24. a =ax十k经过第一、三、四象限；当a<0,k>0时，直线y= ax十k经过第一、二、四象限.综上，直线y=ax十k一定经 过第一、四象限. 9.ACD 10.C11.A 2C[解析]设Am)在y-子中，令y得： 18.①②③ 公令=m,得y=B(-紧)，D(m, 19.解：(1)过点A作AF⊥x轴于点F,则AF∥y轴， 》c(-是-)5=s,=15=安5 .△ACF△BCO,.BC:AC=OB:FA=OC:FC= 1 2..OB=1,tan/OBC=2,..OC=2,..AF=2,CF 十S,+5,-号1++1=号解得=2经检验 =4,∴.OF=OC十FC=6,∴.A(6,2).点A在反比例函 2是方程的解，符合题意 数y-2(m≠0，z>0)的图象上，∴m=2X6=12∴反 13.y=-x2-4x+5 14.20 比例函数的表达式为y-兰(x>0以。(2)由题意可知