第5章 对函数的再探索 直击中考-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

直击 一、选择题 1.(临朐模拟)若函数y=√2x-1一√1-2x+ 1,则自变量x的取值范围为() A.x≥2 1 B时 1 C.x=2 D.以上都不对 2.(扬州中考)函数y=三的大致图象是( ) 集平 3.(宁波中考)如图，正比例函数y1=1x(k1< 0)的图象与反比例函数y,=:(k,<0)的图 象相交于A,B两点，点B的横坐标为2，当 y1>y2时，x的取值范围是( ) A.x<-2或x>2 B.-2<x<0或x>2 C.x<-2或0<x<2 D.-2<x<0或0<x<2 4.（苏州中考)已知抛物线y=x2十kx一k2的对 称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移 3个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值 是() A.-5或2B.-5 C.2 D.-2 5.（多选)（潍城区模拟）如图，直线y1-x十1 与双曲线y2=2在第一象限交于点P(1,), 与x轴、y轴分别交于A,B两点，则下列结 第5章对函数的再探索☑ 中考 论正确的有( B A.t=2 B.△AOB是等腰直角三角形 C.k=1 D.当x>1时，y2>y1 6.(陕西中考)在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2十m.x十m2-m(m为常数)的图象经过 点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函 数有() A.最大值5 B最大值平 C.最小值5 D最小值只 7.(聊城中考)已知二次函数y=ax2十bx+c的 图象如图所示，则一次函数y=bx十c的图象 和反比例函数y=Q+b十c的图象在同一坐 标系中大致为( ) 8.(台州中考)抛物线y=ax2一a(a≠0)与直线 y=kx交于A(x1,y1),B(x2y2)两点，若x1十 x2<0,则直线y=ax十k一定经过() A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 做神龙题得好成绩(63 ☑同行学案学练测九年级数学下QD 9.(多选)（奎文区月考）二次函数y=ax2十 bx十c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知 图象经过点（一1,0），其对称轴为直线x=1. 下列结论正确的有() A.abc<0 B.4a+2b+c<0 C.8a十c<0 D.若抛物线经过点（一3，n),则关于x的一 元二次方程ax2十bx十c-n=0(a≠0)的 两根分别为一3,5 B -10 0 第9题图 第10题图 10.(长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A,B在函数y=空使>0，>0的图象上， 分别以A,B为圆心，1为半径作圆，当⊙A 与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB, AB=3√2，则k的值为() A.3 B.3√2 C.4 D.6 11.(广元中考)将二次函数y=一x2+2x十3的 图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得 新函数的图象如图所示.当直线y=x十b与 新函数的图象恰有3个公共点时，b的值 为() A或-3 B.13 或-3 21 C.4或-3 13 D.或-3 64 做神龙题得好成绩 12.(广西中考)如图，过y-冬（x>0)的图象上 点A,分别作x轴、y轴 的平行线交y=一 1 y=- B 的图象于B,D两点， S2 S1 0 以AB,AD为邻边的 S3 S4 了D 矩形ABCD被坐标轴 分割成四个小矩形，面积分别记为S1,S2, 5 S3,S4,若S2+S3十S4= 则：的值 为() A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 13.（眉山中考变式)在平面直角坐标系中，抛物 线y=x2-4x十5与y轴交于点C,则该抛 物线关于点C成中心对称的抛物线的表达 式为 14.[学科融合]（温州中考）在温度不变的条件 下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加 压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比 例，p关于V的函数图象如图所示.若压强 由75kPa加压到100kPa,气体体积压缩 了 mL. p/kPa 100 6 60 100 V/mL 15.（福建中考)如图，正方 形四个顶点分别位于两 个反比例函数y=3 和 y=”的图象的四个分 支上，则实数n的值为 16.(辽宁中考)如图，矩形ABCD的边AB平行 于x轴，反比例函数y=(x>0)的图象经 过点B,D,对角线CA的延长线经过原点 O,且AC=2AO,若矩形ABCD的面积是 8,则k的值为 0 B 第16题图 第17题图 17.（烟台中考)如图，在直角坐标系中，⊙A与x 轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在函 数y=冬(k>0,x>0)的图象上，D为y轴 上一点，△ACD的面积为6，则的值 为 18.(菏泽中考)定义：[a,b,c]为二次函数y= ax2十bx十c(a≠0)的特征数，下面给出特征 数为[m,1一m,2一m]的二次函数的一些 结论： ①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴； ②当m=2时，函数图象过原点； ③当m>0时，函数有最小值； ④如果m<0,当x>2时，y随x的增大而 减小。 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 19.(宁夏中考)如图，一次函数y=kx十b(k≠ 0)的图象与x轴、y轴分别相交于C,B两 点，与反比例函数y=”(m≠0，x>0)的图 象相交于点A,OB=1,tan∠OBC=2,BC: AC=1:2 (1)求反比例函数的表达式 (2)点D是线段AB上任意一点，过点D作 y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E, 第5章对函数的再探索☑ 连接BE.当△BDE面积最大时，求点D的 坐标. B 20.(鄂州中考)为了帮助农民增加收入，某市政 府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年 发放种植补贴120元.某村老张计划明年承 租部分土地种植某种经济作物.考虑各种因 素，预计明年每亩土地种植该作物的成本 y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数 关系，且当x=160时，y=840;当x=190 时，y=960. (1)求y与x之间的函数关系式.（不求自变 量的取值范围) (2)受区域位置的限制，老张承租土地的面 积不得超过240亩.若老张明年该作物每亩 的销售额能达到2160元，当种植面积为多 少时，老张明年种植该作物的总利润最大？ 最大利润是多少？（每亩种植利润=每亩销 售额一每亩种植成本十每亩种植补贴) 做神龙题得好成绩(65 ☑同行学案学练测九年级数学下QD 21.(菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，矩 形OABC的两边OC,OA分别在坐标轴上， 且OA=2,OC=4,连接OB.反比例函数 y一(x>0)的图象经过线段OB的巾点 D,并与AB,BC分别交于点E,F.一次函数 y=k2x十b的图象经过E,F两点. (1)分别求出一次函数和反比例函数的表 达式. (2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值 最小时，求点P的坐标 66做神龙题得好成绩 22.(襄阳中考)探究函数性质时，我们经历了列 表、描点、连线画出函数图象、观察分析图象 特征、概括函数性质的过程.结合已有经验， 请画出函数y= 6 一x的图象，并探究该 函数性质. (1)[绘制函数图象] ①列表：下面是x与y的几组对应值，其中 a= x…-5-4-3-2-112345 。 }…………………… y…-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8… ②描点：根据表中的数值描点(x,y),请补充 描出点(2，a). ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画 出函数图象 4 3 2 -5-4-3-2-1012345x +2 上3 (2)[探究函数性质] 请写出函数y= 6 x 一|x|的一条性 质： (3)[运用函数图象及性质] ①写出方程 6 x -x=5的 解： 6 ②写出不等式 x 一|x≤1的解 集： 23.(衢州中考)如图①是一座抛物线形拱桥侧 面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m, 在距离D点6m的E处，测得桥面到桥拱 的距离EF为1.5m,以桥拱顶点O为原点， 桥面为x轴建立平面直角坐标系， (1)求桥拱顶部O离水面的距离. (2)如图②，桥面上方有3根高度均为4m的 支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的 钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面 的距离为1m. ①求出其中一条钢缆抛物线的表达式！ ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰 若干条彩带，求彩带长度的最小值 24.[推理能力]（广安中考）如图，在平面直角坐 标系中，抛物线y=一x2+bx十c与坐标轴 相交于A,B,C三点，其中A点坐标为(3， 0),B点坐标为（一1,0），连接AC,BC.动点 P从点A出发，在线段AC上以每秒√2个 单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q 从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位 长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终 点时，另一点随之停止运动，连接PQ,设运 动时间为t秒. (1)求b,c的值. (2)在P,Q运动的过程中，当t为何值时，四 边形BCPQ的面积最小？最小值为多少？ (3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点 第5章对函数的再探索☑ M,使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰 直角三角形？若存在，请求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由. BQO 4 做神龙题得好成绩（67式为y= 层-25+78.当x=75时y=层× 式为y= .(2)设点B坐标为(a,b),作AD⊥BC于 (75-25)2+76=36..36>21,∴.他的落地点能超过 点D,则D(2,6).“反比例函数y=的图象经过点 K点 章末复习 B(a6)AD=3-5S AD 1.A2.D3.A4.A 5.y1>y3>y26.-3 =a(g-8）=6,解得a=66=8-=1,BC6,1. 1号 设直线AB的表达式为y=nx十m.将A(2,3),B(6,1)代 [解析]如图，作CM⊥AB于点M,DN⊥AB于点N. 1 入，得 2n十m=3 设c(m,奈)，则OM=m,CM-奈.0E/CM,AE (6n+m=1 n=一2，直线AB的表达式 解得 m=4 CE.DN/CM.CD-BD. 为y= 1 2x+4. ÷器-别-设-日DN-气：点D的银坐标为 14.解：(1)由题意得抛物线的顶点为P(5,9),.可以设抛物 线的表达式为y=a(x一5)2十9.把(0,0)代入，可得a= 点心点-左x=3a,即oN=8m,N=2m 港物线的表达式为y=一号红一5)+9， 9 BN=m,AB=5m.SAA=6,5m·飞.1 ·2=6, m (2)令y=6,得一号（红-5）2+9=6，解得z1=5+5 =12 5 -5-55A(5-55)a(5+5 V= 15.(1)D(2)2<x<5或x<016.x<-2或x>4 17.0.5 18.解：(1)设直线AB的表达式为y=x十b,代入A(4,4), (4k+b=4 B(6,2),得6+6=2'解得 得6=8，直线AB的表达 A OM NB龙 式为y=-x十8.同理代入B(6,2),C(8,1)可得直线BC 8.解：(I)过点B作BH⊥x轴于点H.设BH=a,则OH= 的表达式为y=一2x+5.“工资及其他费用为0.4X5 1 2a,在Rt△BOH中，BH2+OH2=OB2,即a2+(2a)2= (W5)2,解得a=1(负值已舍去)，∴.点B的坐标为(-2， +1=3(万元)，∴.当4≤x≤6时，0=(x-4)(-x+8)- -1).把点B(-2,-1)代入y=”,得m=2,把点B(-2, 3=-x2+12x-35;当6≤x≤8时，w=（x 一1)代人y=mx十b,得b=2m-1=3,∴.一次函数的表达 4(-7x+5)-3=-号x2+7x-28.(2)当4长x≤<6 [y=2x+3 时，w=一x2+12x-35=-(x-6)2+1,∴.当x=6时， 式为y=2x+3.(2)联立 x1=-2 2 ,解得 y-x y1=-1' w取最大值是1当6<x≤8时，0=一分x2+7x-23 1 1 ,=乞，∴点A的坐标为(24)在y=2x十3中，当x 红-7)+受，当x=7时，w取最大值是15， y2=4 一碧一9-6号，即绿快在第7个月可还清10万元的无 =0时，y=3,点C的坐标为(0,3)，∴.OC=3.S△Ao= 息贷款. 5u+5m5m-号X3X号+号X3X8-只 1 19.B20.-1或2或1 1 21.5或2√5或√10[解析]当AO=AB时，AB=5;当AB (3)由图象可知，不等式mx+b≥空的解集为x≥？或 =B0时，AB=5:当OA=0B时，设A(e,号)(a>0), -2≤x<0. 9.ABD 10.CD 11.CD 12.y B.0.0A=52+(T-5,解得41=3，a 13.解：(1)由题意，得=xy=2×3=6,∴反比例函数的表达 =4,.A(3,4)或(4,3)，.AB=√(3-5)2+4=2W5或 ·22·同行学案学练测 AB=√(4-5)2+32=√10.综上所述，AB的长为5或 15.一3[解析]如图，连接正方形的对角线，由正方形的性质 2√5或√10. 知对角线交于原点O,过点A,B分别作x轴的垂线，垂 2a号 足分别为C,D,点B在函数=是上.：四边形是正方 23.①③④ 形，∴.AO=OB,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°， 24.解：(1)把x=0,y=2及h=2.6代入y=a(x-6)2+h ∴.∠CAO=90°-∠AOC=∠DOB,∴.△AOC≌△OBD 中，得2=a(0-6)2+2.6,a= 60,·y= (=Sm-号-g:点A在第二象 2 限，.n=一3. 60(z-6)2+2.6.(2)当h=2.6时，y= 品红-62+2.6当x=9时y=动×g-6+26 -245>248,球能越过球网当x=18时y=一高× (18-6)2+2.6=0.2>0,.球会出界.(3)将x=0,y= 2代入y=ac一60+h,得a=2当x=9时，令y 16.6[解析]如图，延长CD交y轴于点E,连接OD.,矩形 ABCD的面积是8，.S△Ac=4.AC=2AO,∴.S△Ao= 2站g-6+h=2牛>248①：当z=18时，令y 2.:AD∥OE,.△ACD∽△OCE,∴.AD:OE=AC: 4 -26(18-60+h=8-动c0②，由0②，得A≥g 0C=23Sm=8会=8.>0k=6 直击中考 1.C 2.A 3.C 4.B 5.ABC 6.D[解析]由题意可得6=m2-m,解得m1=3,m2=-2. ,二次函数y=x2十mx十m2一m,对称轴在y轴左侧， m>0,.m=3,y=x2+3x十6，.二次函数有最小值 0 为4ac-6_4X1×6-3215 17.24[解析]如图，过点A作AE⊥y轴于点E,设⊙A的 Aa 4×1 41 半径为r.,⊙A与x轴相切于点B,.AC=AB=r,BC 7.D =2r.设AE=a,则点C的坐标为(a,2r),.k=2ar. 8.D[解析]，抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=x交 Sam=7AC…AD=6分ra=6,即am=12. 1 于A(x1y1),B(x2,y2)两点，.kx=ax2-a,a.x2-kx a=0,∴x+x2二冬，友<0.当a>0,k<0时，直线 .k=2ar=24. a =ax十k经过第一、三、四象限；当a<0,k>0时，直线y= ax十k经过第一、二、四象限.综上，直线y=ax十k一定经 过第一、四象限. 9.ACD 10.C11.A 2C[解析]设Am)在y-子中，令y得： 18.①②③ 公令=m,得y=B(-紧)，D(m, 19.解：(1)过点A作AF⊥x轴于点F,则AF∥y轴， 》c(-是-)5=s,=15=安5 .△ACF△BCO,.BC:AC=OB:FA=OC:FC= 1 2..OB=1,tan/OBC=2,..OC=2,..AF=2,CF 十S,+5,-号1++1=号解得=2经检验 =4,∴.OF=OC十FC=6,∴.A(6,2).点A在反比例函 2是方程的解，符合题意 数y-2(m≠0，z>0)的图象上，∴m=2X6=12∴反 13.y=-x2-4x+5 14.20 比例函数的表达式为y-兰(x>0以。(2)由题意可知 B(0,-1),∴直线AB的表达式为y=2x-1.设点D 22.解：(1)①1②③如图所示 的横坐标为，则D,24-1),E(,),ED-马 2+1,△BDE的面积为号-0)(-2：+1) 4++6=-1+5-<04=1 -2-10 123 45 时，△BDE的面积的最大值为药，此时D(1,一）， 2 20.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k≠0). 840=160k+b 依题意，得 k=4 960=190k+6,解得 =200y与x之间 (②)示例：)=7一z的图象关于y轴对称 6 的函数关系式为y=4x十200.(2)设老张明年种植该作 (3)①x=1或x=-1②x≤-2或x≥2 物的总利润为W元.依题意，得W=[2160一(4x十200) +120]x=-4x2+2080.x=-4(x-260)2+270400. 23.解：(1)根据题意可知，点F的坐标为(6，一1.5)，可设拱 ,一4<0，.当x<260时，W随x的增大而增大.由题意 桥侧面所在二次函数表达式为y1=a1x2.将F(6,一1.5) 知x≤240，∴.当x=240时，W最大，最大值为-4×(240 代人y=a1x,得-1.5=36a1,解得a1=一元 -260)2+270400=268800(元).答：种植面积为240亩 时，总利润最大，最大利润是268800元. 六2.当x=12时，=一员×12=一6，∴桥拱顶部 21.解：(1)·四边形OABC为矩形，OA=BC=2,OC=4, 离水面的距离为6m.(2)①由题意可知右边钢缆所在 B(4,2)心点D的坐标为(2,1).：反比例函数y=4 抛物线的顶点坐标为(6，l),可设其表达式为y2=a2(x一 (x>0)的图象经过线段OB的中点D,.k1=xy=2X1 6)2+1,将H(0,4)代入其表达式，得4=a2(0-6)2+1, =2,故反比例函数的表达式为y=2.令y=2,则x=1; x 解得a2=2…右边钢缆所在抛物线的表达式为y2= 令x=4,则y=2故E1,2),F(4,2）.:-次函数y -6+h. ②设彩带的长度为Lm,则L=y2一y =k2x十b的图象经过E,F两点，代入E,F坐标，得 2=k十b 1 =一 =2红-6+1-(-24）=x2-x+4=g红 (2=+6解得 ,故一次函数的表达式为y= 5 4)2+2,当x=4时，L最小值=2，.彩带长度的最小值是 2 2m. 1 (2)如图，作点E关于x轴的对称点E,连 24.解：(1).抛物线y=-x2+bx十c经过点A(3,0),B(-1, 10=-9+3b+c (b=2 接EF交x轴于点P,则此时PE十PF的值最小.由点E 0),则 (2)由(1)得，抛物 =3 坐标可得对称点E(1,一2).设直线E'F的表达式为y= 0-1-6+。,解得 线的表达式为y=-x2+2x+3,C(0,3),A(3,0), (-2=m十n mx十n,代人点E',F的坐标，得 解得 ∴.△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知AP= =4m十n √2t.过点P作PE⊥x轴，垂足为点E,则AE=PE= m= 6 ,则直线E'F的表达式为y= 6令y=0, 51 6- 4=，即E(3-1,0).又：Q(-1十t,0)心Sae0= √2 17 n=- 6 Sm-SMw=2X4X3-2×[3-(-1+]=2 则x 点P的坐标为（号0）】 17 2t+6=2(t-2)2+4.:当其中一点到达终点时，另一 点随之停止运动，AC=√32十32=3√2，AB=4,.0≤1 ≤3，.当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为 4.(3)存在.：点M是线段AC上方的抛物线上的点， 过点P作x轴的垂线，交x轴于点E,过点M作y轴的 垂线，其反向延长线与EP交于点F.,△MPQ是等腰直 角三角形，PM=QP,∠MPQ=90°，∴.∠MPF+∠QPE 4.解：(1)画出坐标系如图所示： =90°.又.∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE. ↑利润万元 210 I∠F=∠QEP 2000 1900 在△PFM和△QEP中，∠PMF=∠QPE,∴.△PFM≌ 800 700 PM=QP 600 500 400 △QEP(AAS),∴.MF=PE=t,PF=QE=4-2t,∴.EF 1300 =4-2t十t=4-t.又OE=3-t,∴.点M的坐标为(3 0 销售总 -2t,4-t).点M在抛物线y=一x2+2x+3上，∴.4 4=-（3-222+2(8-2)+3,解得t=9厘或t= (2)画直线如图所示.(3)设销售总额为x,利润为y,先 8 近似地求出直线的函数表达式为y=0.1x,当x=25000 9+(合去)，点M的坐标为(3+厘 时，y=0.1×25000=2500,估计2024年该商场的利润约 8 4 为2500万元. 23+√17) 5.解：(1)图略。(2)图略.(3)示例：在直线上取横坐标为 8 185的点，这个点的纵坐标约为24.8，所以如果一个学生的 第6章 事件的概率 身高为185cm,他的右手一柞长大约是24.8cm. 6.1随机事件 6.解：(1)图略.(2)水压p与水深d之间关系近似正比例 1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.随机事件 关系.(3)示例：设p=bd,把d=40,p=3.5×105代入 8.①③9.D10.D11.AC12.B13.③14.2 p=kd,得=8750，所以p=8750d.当p=7.8×105时， 15.(1)示例：朝上的数字为7(2)示例：朝上的数字小于7 d≈89.1<90，所以他不能在水下90m处作业. (3)示例：朝上的数字为5 6.5事件的概率 16.③④①② 1.C2.A3.ABC4.10 17.解：(1)该事件是不可能事件.(2)该事件是随机事件. 5.0.96.D7.B8.A9.AC (3)该事件是必然事件。 10.解：(1)660.55图略.(2)这个概率约是0.55. 6.2频数与频率 6.6简单的概率计算 1.A2.D3.A4.0.245.D6.B7.B8.B 第1课时概率的计算公式 9.0.310.B11.A12.B13.ACD14.6 1.A2.A3.C4.D5.C6.C7.3 15.解：(1)620(2)4144° (3)2011×1200=744(名).(4)该校九年级学生对交 8.B9.C10.B11.5 12.(1)红球(2)20 50 通安全知识有一定了解，希望再加强学习.（答案不唯一） 13.(1)5 (2)5 6.3频数直方图 14.解：(1)290 1.AB2.B3.D4.480人 29=10(个)，290-10=280（个），(280-40) . 5.解：(1)560(2)54(3)“讲解题目”的人数是560-84- ÷(2十1)=80（个），280一80=200（个）.答：袋中红球的个 168-224=84(人).补全条形统计图略.(4)在试卷讲评 数是200个. 8 (2)80÷290=29答：从袋中任取-个球 课中，“独立思考”的初三学生约有600×68 560 是黑球的概率是29 8 1800(名). 6.72名7.AC8.0.25 15.解：142或3(2>根据慝意，得6-告，解得m 10 2.解：)图略(2)三(3)30%108(4)2200X2 2,所以m的值为2. 第2课时生活中简单随机事件的概率 330(人).答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱 1.D2.B3.C 好时间 6.4随机现象的变化趋势 4.(1)A(2)D5.36.不公平 1.D2.A3.B 7.解：这个游戏不公平，因为比3大的数只有两个：4和5，而 同行学案学练测·23·