第5章 培优专题7 二次函数的图象与系数的关系-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（青岛版）

5.7二次函数的应用 能够通行的最大安全限高为2.29m. 第1课时二次函数最值的应用 1.B2.D3.C4.A5.A6.B 7.(1)x+10500-10x(2)709000 8.解：(1)设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函 2k+b=33 数关系式为y=x十b.根据题意得《 5+6=30'解得 9解：(1)认同，理由：当m>0时)一2中，y随x的增大而 k=-1 .y=-x十35(1≤x≤10，x为整数). (2)设 减小，而从图中描点可知，x增大，y随之增大，故不能选y 6=35 销售这种水果的日利润为0元，则w=(一x+35)(分x+ =”(m>0).(2)观察①号田和②号田的年产量变化趋 x 势可知，①号田为y=kx十b(k>0),②号田为y= 18-8)=2+9+50-(x-)》°+3025 8 -0.1x2+ax+c.把(1,1.5)，(2,2.0)代入y=kx+b,得 1≤x≤10，x为整数，∴.当x=7或x=8时，w取得最大 k+b=1.5 解得 值，最大值为378.答：在这10天中，第7天和第8天销售 2k+b=2.0 6=1y=0.5x+1.把(1,1.9， k=0.5 这种水果的利润最大，最大销售利润为378元. (2,2.6)代人y=-0.1x2+ax+c,得 9.D10.5 -0.1+a+c=1.9 11.解：(1)设y关于x的函数关系式是y=kx十b,把点(20， -0.4+2a+c=2. c=1心y=-0.1z2+x+1. a=1 。,解得 20),(30,0)代入y=kx十b,解得k=-2,b=60,所以y 答：模拟①号田的函数表达式为y=0.5.x十1，模拟②号田 关于x的函数关系式是y=一2x十60.(2)设每天的销 的函数表达式为y=-0.1x2+x十1.(3)设①号田和② 售利润为z元，则z=(x一10)（一2x+60),即z=一2x2 号田，总年产量为w吨，则w=0.5x十1十（一0.1x2十x十1） +80.x-600=一2(x一20)2+200，所以当x=20时，每天 =-0.1x2+1.5x+2=-0.1(x-7.5)2+7.625.-0.1 的销售利润最大，最大利润是200元. <0,抛物线对称轴为直线x=7.5,而x为整数，∴.当x=7 12.解：(1)已知AB=xm,则有BC=(18-2x)m.根据题意， 或8时，w取最大值，最大值为7.6.答：①号田和②号田总 得y=x(18-2x)=-2x2+18x.(2)二次函数y= 年产量在2025年或2026年最大，最大是7.6吨. -2x2+18x(0<x<9).因为a=-2<0,所以二次函数 培优专题7：二次函数的图象 18 9 图象开口向下，且当x=一2×（二2=立时，y取得最大 与系数的关系 值，最大值为y=号×(18-2×号）-m), 解题方法 (1)向上向下(2)同号异号(3)><= (3)令y=40,得到-2x2+18x=40,即x2-9x+20=0, (4)a+b+c a-b+c 4a+26+c 4a-2b+c 整理，得(x一4)(x一5)=0，解得x=4或x=5,则AB的 (5)12a0一12a0(6)有两个有一个无 长为4m或5m 1.A2.AB3.D4.D5.B6.AD7.A 第2课时建立二次函数模型解决实际问题 8.解：(1)c=1.(2)由图象过C(0,1),A(1,0),得a+b+1 1.B2.BC3.0.24.C5.42-4 0,∴.b=-a-1.由b2-4ac>0,可得(-a-1)2-4a>0,即 6.AD7.(1)20(2)8 (a-1)2>0,故a≠1.又，a>0,∴.a的取值范围是a>0且 8.解：(1)货车能安全通行.理由：如图所示，以AB所在直线 a≠1. 为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐 9.解：(1)直线y=x+m经过点A(1,0),.0=1+m,.m 标系，则抛物线的顶点坐标为(0,4).设抛物线的表达式为 =-1.,抛物线y=x2十bx十c经过点A(1,0),B(3,2), y=ax2+4(a≠0).将B(4,0)代入，得16a十4=0.解得a 10=1十b+c =2心抛物线的表达式为y 6=一3 =-0.25,.抛物线的表达式为y=一0.25x2+4.为确保 2=9+36+c解得 能够顺利通过，货车应在隧道中间行驶，当x=1时，y= x2-3x+2.(2)x>3或x<1.(3)M(a,y1),N(a+ 3.75.3.75-0.5=3.25>3.2,.货车能够安全通行. 1,y2)两点都在函数y=x2-3x十2的图象上，.y1=a2 (2)若隧道为双车道，则货车在一侧行驶，2十0.4÷2= 3a+2,y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a,∴.y2-y1=(a2 2.2.当x=2.2时，y=2.79.2.79-0.5=2.29,.货车 -a)-(a2-3a十2)=2a-2,∴.当2a-2<0,即a<1时， y1>y2;当2a-2=0,即a=1时，y1=y2;当2a-2>0,即 10.解：(1)如图所示 a>1时，y1<y2 培优专题8：二次函数的实际应用 1.AD2.B3.C 4y=x2+4红+55.y=-g(红+6)+4 设裁掉的正方形的边长为xdm由题意可得(10一2x)·(6 6.解：如图，设在10秒时到达A点，26秒时到达B点. -2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x= ,10秒和26秒时拱梁的高度相同，A,B关于对称轴对 6(舍去).答：裁掉的正方形的边长为2dm.(2):长不 称，则从A点到B点需要16秒，从A点到D点需要8秒， 大于宽的5倍，∴.10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5. .从O点到D点需要10十8=18（秒），.从O点到C点需 设总费用为w元，由题意可知=[0.5×2x(16一4x)十 要2×18=36（秒）. 2(10-2.x)(6-2x)]=4x2-48x+120=4(x-6)2-24. 对称轴为直线x=6,开口向上，∴.当0<x≤2.5时，w 随x的增大而减小，.当x=2.5时，心有最小值，最小值 为25.答：当裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最 OA Di B C 低，最低为25元. 11.解：(1)由图可知，当0<x≤12时，之=16；当12<x≤20 7.解：(1)(21一12)÷3=3(m),.I,Ⅱ两块矩形的面积为 时，之是关于x的一次函数.设之=x十b,则 12×3=36(m2).设水池的长为am,则水池的面积为a×1 =a(m2),.36-a=32,解得a=4,.DG=4m,∴.CG= (12k+b=16 k=- 解得 4,∴2三-有x+19,之类 CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m,DG的长为 20k+b=14 b=19 4m.(2)设BC长为xm,则CD长为(21-3x)m,总 16(0<x12) 71 种植面积为(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3(x-2) 于x的函数表达式为之= 4x+19(12<x≤20) 1 十14.：-3<0，当x=2时，总种植面积有最大值为 7 (2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元.当0< 4 x≤12时，w=(16-10)×(5x+40)=30x+240,∴.由一 7 厂m,即BC应设计为7m,总种植面积最大，此时最大 次函数的性质可知，当x=12时，0最大值=30X12十240= 面积为配。 60.当12<z≤20时w=(-子x+19-1o0）(5z+40) 8.解：(1)设小路的宽为m米，则可列方程(30-m)(20一2m) 5x2士35x+360=-5 -号z-140+605”-号< =448.解得m1=2,m2=38(舍去).答：小路的宽为2米. (2)设小路的宽为x米，总造价为心元，则花圃的面积为 0,.当x=14时，w最大值=605.605>600.综上所述，工厂 (2x2-80x十600)平方米，小路面积为(-2x2+80x)平方米， 第14个生产周期创造的利润最大，最大为605万元. 所以w=40·(-2x2+80x)+35·(2x2-80x+600)+ 2解，①66@①a=动6-0y-动+品 20000,整理得w=-10(x-20)2+45000,∴.当2≤x≤4 十66.，基准点K到起跳台的水平距离为75m,y= 时，心随x的增大而增大，∴.当x=2时，w取得最小值. 答：小路宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低. 高×7附+品×5+65=21，基准点K的高度元为 9.解：(1)根据题意，得w=(x一8)(24一x)一60=一x2十 32x一252.(2)①，该产品第一年利润为4万元，.4= 21m②a=一0y=一0产+x十6，运动员 一x2十32x一252，解得x=16.答：该产品第一年的售价是 落地点要超过K点，2=75时，y>21,即一易×752+ 16元/件.②：第二年产品售价不超过第一年的售价，销 |x16 75+6>21,解得6>品故答案为6>0。 (3)他的落 售量不超过18万件，24-≤13解得11≤x≤16.设 地点能超过K点.理由：：运动员飞行的水平距离为25m 第二年利润是w'万元，则=(x一6)(24一x)一4=一x2 时，恰好达到最大高度76m,.抛物线的顶点为(25,76). +30x一148=一(x-15)2+77.,抛物线开口向下，对称 设抛物线的表达式为y=a(x一25)2十76.把(0,66)代入 轴为直线x=15.又，11≤x≤16，.x=11时，w有最小 值，最小值为61.答：第二年的利润最少是61万元. 得66=a(0-25)2+76,解得a= 12抛物线的表达 同行学案学练测·21·☑同行学案学练测九年级数学下QD 数 培优专题7：二次函数的图象与系数的关系 飞温署提示 2.（多选)二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图 解题方法：拋物线y=ax2十bx十c的图象与 象如图所示，其对称轴为直线x=1,下列结论 字母系数a,b,c之间的关系： 中正确的是( 抽象 (1)当a>0时，开口 当a<0时，开口 运算 (2)若对称轴在y轴的左边，则a,b 能 若对称轴在y轴的右边，则a,b (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c 0; A.abc<0 B.2a+b=0 若抛物线与y轴的负半轴相交，则 0; C.b2-4ac<0 D.a-b+c>0 若抛物线经过原点，则c 0. 3.已知抛物线y=ax2十bx和直线y=ax十b (4)当x=1时，y=ax2+bx十c= 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的 是( 念 当x=-1时，y=ax2十bx十c= 当x=2时，y=ax2十bx十c=； 当x=-2时，y=ax2十bx十c= 世 数据 (⑤)当对称轴为直线x=1时，x=一 b Za ,所以一b= ,此时2a十b= 4.(凉山州中考)二次函数y=ax2十bx十c(a≠ ;当对称轴为直线x=一1时，x= 0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的 b 是( ,所以b= 2a ,此时 A.abc0 2a-b= B.函数的最大值为a一 识 (6)b2一4ac>0台抛物线与横轴 交 b+c ,点；b2-4ac=0台抛物线与横轴 交 C.当-3≤x≤1时，y≥0 识 点；b2一4ac<0曰抛物线与横轴 D.4a-2b+c<0 交点 5.二次函数y=a.x2十bx十c的图象如图所示， 则一次函数y=bx十a与反比例函数y= 1.二次函数y=ax2十bx十c的图象如图，有以 下结论：①a>0;②b>0;③c<0; α十b+c在同一平面直角坐标系中的图象大 ④b2一4ac>0.其中所有正确结论的序号 致是( 是() A.②④ B.①③ C.③④ D.①②③ 六之小N 52 做神龙题得好成绩 第5章对函数的再探索☑ 6.（多选)如图是二次函数y=ax2十bx十c图象 9.如图，直线y=x十m和抛物线y=x2+ 数 的一部分，图象经过（一3,0），对称轴为直线 bx十c都经过点A(1,0),B(3,2). x=一1，则下列结论中正确的是() (1)求m的值和抛物线的表达式. 素 养 A.b2>4ac (2)求不等式x2十bx十c>x十m的解集.（直 B.2a+b=0 接写出答案)》 C.a+b+c<0 (3)若M(a,y1),N(a十1，y2)两点都在抛物 D若点B(-号)，C(-2)为函数图象 5 线y=x2十bx十c上，试比较y1与y2的 大小 上的两点，则y1<y2 L A 第6题图 第7题图 7.(滨州中考)对称轴为直线x=1的抛物线 y=a,x2十bx十c(a,b,c为常数，且a≠0)如图 所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0; ②b2>4ac;③4a+2b+c>0;④3a+c>0; ⑤a十b≤m(am+b)(m为任意实数)；⑥当 x<一1时，y随x的增大而增大.其中正确的 个数为() ·模型观念 A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知关于x的二次函数y=ax2十bx十 ·应用意识 c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交 于不同的两点A,B,点A的坐标是(1,0). ·创新 (1)求c的值. 识 (2)求a的取值范围. 做神龙题得好成绩 53