第十章 函数（复习讲义）数学新教材青岛版八年级下册

第十章 函数（复习讲义） 1.从实际问题抽象函数关系，建立数学模型。 2.理解变量与函数概念，把握“唯一对应”本质。 3.借助函数图象理解性质，发展数形结合思想。 4.运用函数知识分析与解决现实问题。 知识点一 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点二 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解： ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点三 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点四 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 题型一 函数的概念 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，梯形的上底长是，下底长是15，高是8．    (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)用表格表示与的关系，完成表格中（   ）的相应值． 上底长 … 10 （   ） 18 20 … 梯形面积 … 100 120 （   ） 140 … (3)如何随的变化而变化？ (4)当时，等于什么？此时它表示的图形是什么？ 【答案】(1) (2)15，132 (3)当每增加1时，增加4； (4)当时，；此时它表示的图形是三角形． 【思路引导】本题考查了函数的有关概念，利用梯形的面积公式得出函数关系式是解题关键． （1）根据梯形的面积公式，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据函数的性质，可得答案； （4）根据三角形的面积公式，可得答案． 【规范解答】（1）梯形面积与上底长之间的关系式是． （2）当时，，解得． 当时，． 填表如下： 上底长 … 10 15 18 20 … 梯形面积 … 100 120 132 140 … （3）由表格可得，当增加5时，增加20；当增加3时，增加12；当增加2时，增加8； 当每增加1时，增加4． （4） 当时，．此时它表示的图形是三角形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【答案】(1)表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数 (2) (3)元 【思路引导】（1）根据函数的定义判断解答即可； （2）销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此确定解析式即可； （3）根据解析式计算即可． 本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键． 【规范解答】（1）解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数． （2）解：销售数量x每增加，销售总价y增加8元，其中元是必须要支付的，由此销售总价y关于销售数量x的函数解析式为：． （3）解：根据题意得，， 应付的钱数为：（元）． 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）将若干张长的长方形纸，按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40         116 154 …         … (2)设x张纸粘合后的纸条长为． ①其中自变量是 ，因变量是 ；直接写出y与x之间的关系式： ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③小明需要粘合长为的纸条，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸． 【答案】(1)78，382 (2)①纸的张数，纸条的长度，；②1902；③至少需要54张这样的纸 【思路引导】本题考查了用关系式表示两个变量间的关系，用表格法表示两个变量间的关系； （1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； （2）①张白纸粘合起来时，纸条长度 () 在的基础上增加了 个的长度，依此可得与的关系式； ②将代入①中的关系式中求解即可； ③把代入②中的关系式中，列方程求得的值即可． 【规范解答】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加， ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40         116 154 …         … （2）解：①其中自变量是纸的张数，因变量是纸条的长度； 根据题意和所给图形可得出：， 即． ②令，则 ； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要张这样的纸． 题型二 函数解析式 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张长方形的纸对折，如图①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②．连续对折3次后，可以得到7条折痕，如图③． 回答下列问题： (1)对折4次可以得到__________条折痕． (2)写出折痕的条数与对折次数之间的函数关系式． (3)求出对折10次后的折痕条数． 【答案】(1)15 (2) (3)1023 【思路引导】（1）通过分析对折次数与折痕数的规律，计算对折次的折痕数； （2）总结对折次数与折痕数的数量关系，推导函数关系式； （3）将代入函数关系式计算折痕数． 【规范解答】（1）解：观察规律： 对折次，折痕数：； 对折次，折痕数：； 对折次，折痕数：； ∴对折次，折痕数：． （2）解：由上述规律可得，折痕数与对折次数的函数关系式为： （为正整数）． （3）解：当时，代入函数关系式： ∴对折 次后的折痕条数为． 【考点剖析】本题考查了规律探究与函数关系式的应用，解题关键是通过观察前几次对折的折痕数，总结出规律． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·月考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜 (2) (3)至少批发甲种蔬菜 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、函数关系式、一元一次不等式的应用，熟练掌握方程组和不等式的应用是解题关键． （1）设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜，根据批发甲、乙两种蔬菜共花元列出化简即可得； （3）根据全部卖完蔬菜后利润不低于元建立一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【规范解答】（1）解：设批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜， 由题意得：， 解得， 答：批发甲种蔬菜，批发乙种蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，则批发乙种蔬菜， ∵批发甲、乙两种蔬菜共花元， ∴， ∴． （3）解：由题意得：， 解得， 答：至少批发甲种蔬菜． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）某水果经营商从水果批发市场批发了苹果和梨共千克到市场销售，苹果和梨当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） (1)若批发苹果和梨共花费元，则苹果和梨各多少千克？ (2)设批发了苹果千克，卖完这批苹果和梨的利润是元，求与的函数关系式． 【答案】(1)苹果千克，梨千克 (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式； （1）设苹果批发千克，梨批发千克．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设批发了苹果千克，梨的重量为千克，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【规范解答】（1）解：设苹果批发千克，梨批发千克． 由题意得方程组： 解得： 答：苹果20千克，梨40千克． （2）解：苹果每千克利润为元，梨每千克利润为元． 设批发了苹果千克，梨的重量为千克． 利润． 所以W与x的函数关系式为：． 题型三 求自变量的取值范围 【例3】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【思路引导】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，然后解不等式组即可，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得， ∴且， 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 【规范解答】解：．，解得，故该选项不符合题意； ．，解得，故该选项符合题意； ．，解得，故该选项不符合题意； ．且 ，解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期末）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了函数的自变量的取值范围、分式的分母不等于0，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【规范解答】解：由题意得：， 解得， 即函数中自变量的取值范围是， 故选：D． 题型四 求自变量的值或函数值 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 【答案】(1) () (2)70L 【思路引导】本题考查函数关系式以及函数的表示方法，理解数量之间的关系以及函数的意义是解题的关键． （1）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与之间的关系式； （2）求汽车行驶后，油箱中的剩余油量即求当时，的值． 【规范解答】（1）解：由题意得：汽车每行驶小时，油量减少， 则剩余的油量为： ()． （2）解：当时， 故行驶后，油箱中剩余的油量为． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 【答案】(1)， (2) (3)腰长为7.5 【思路引导】本题考查了列函数关系式、等腰三角形的定义、三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）代入到（1）中的函数表达式，即可求解； （3）代入到（1）中的函数表达式，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：代入到，则， ∴底边的长为4； （3）解：代入，得， 解得， ∴腰长为7.5． 【变式2】如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】(1)的长，阴影部分的面积 (2)； (3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 【思路引导】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意即可解答； （2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式； （3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值． 【规范解答】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：因为， 所以图中阴影部分的面积为：， 所以阴影部分的面积与之间的关系式为； （3）解：由题意得，则， 解得：， 所以， 即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 题型五 函数的三种表示方法 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【思路引导】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【规范解答】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【考点剖析】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【思路引导】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【规范解答】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 【变式2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【思路引导】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 题型六 用表格表示变量间的关系 【例6】（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【规范解答】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【规范解答】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是． (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)见解析 (2)所挂物体的质量,弹簧的长度 (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值，理解题意是解题关键 （1）根据表格找出规律即可求解； （2）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （3）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （4）根据（3）所求求出当时，的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据题意所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长0.5厘米， ∴当所挂物体质量为4千克时，弹簧的长度为(厘米)； 当所挂物体质量为6千克时，弹簧的长度为(厘米)； 补全表格如下： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 14 15 （2）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （3）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （4）解：当， 解得：， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 题型七 用关系式表示变量间的关系 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【答案】(1)78，382 (2)①；②1902；③至少需要54张这样的纸 【思路引导】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； （2）①张白纸粘合起来时，纸条长度()在的基础上增加了个的长度，依此可得与的关系式；②将代入①中的关系式中求解即可；③把代入②中的关系式中，列方程求得的值即可． 【规范解答】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加， ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）解：①根据题意和所给图形可得出： ， 即． ②令，则 ； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要张这样的纸． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）为防范电信诈骗，提高学生反诈意识，某校要印制反诈宣传材料．甲印刷厂提出：制版费为元，每份材料收元印制费．乙印刷厂提出：制版费是印制数量的一次函数，每份材料收元印制费，其图象如图①所示： (1)写出甲印刷厂的收费与印制数量之间的关系式； (2)若印制数量为份，的值为时，求乙印刷厂的收费的值； (3)若印制数量时，甲印刷厂的收费始终大于乙印刷厂的收费，求的取值范围．（可在备用图中作图分析） 【答案】(1)（，且为正整数） (2)的值是元 (3) 【思路引导】本题考查一次函数的应用，读懂题目信息，理解两个印刷厂的费用的组成，得出、的关系式是解题的关键． （1）根据每份材料元印制费，另收元制版费确定甲厂的收费函数表达式即可； （2）先利用待定系数法求出关于的解析式为，即可得出，把，代入，求出的值即可； （3）根据甲印刷厂的收费始终大于乙印刷厂的收费得，当时，甲乙的收费相同，把代入，得，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵制版费为元，每份材料收元印制费，印制数量为， ∴甲印刷厂的收费（，且为正整数）， （2）解：∵制版费是印制数量的一次函数， ∴设， ∵一次函数图象经过和， ∴， 解得：， ∴关于的解析式为， ∴， 当，的值为时，． （3）解：由题意得，当时，甲乙的收费相同， 当时，， 把代入，得， ∵， ∴的取值范围为． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】(1) (2)38 (3)500km 【思路引导】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【规范解答】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【考点剖析】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． 题型八 用图象表示变量间的关系 【例8】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要了用图象表示变量之间的关系，根据趋势图中的直线，即可得出预测结果． 【规范解答】解：根据小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，预测6月份小树的高度约为左右， 只有比较符合， 故选：C 【变式1】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，2，1 (2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度． (3)不能，理由见详解 【思路引导】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值． （2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可． （3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为， ∴乙位置坐标为：， 根据关系图可知， 当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动， 设乙的速度为：v， 故， 解得：． 根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行， ， 故答案为：10，2，1 （2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度， ， 解得：， 则， 即甲、乙第二次相距5个单位长度． （3）解：不能，理由如下： 甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走， 则甲到达乙的位置一共需要， 乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走， 则乙到达甲的位置一共需要， 则甲、乙不能同时到达对方最初的位置． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)2100 (2)4 (3)2700 (4)在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【思路引导】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【规范解答】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 题型九 函数图象识别 【例9】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【思路引导】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【规范解答】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【规范解答】解：如图： 从函数图象可以看出：段上升最慢，段上升较快，段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：B． 【变式2】下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)2.5，15； (2)1，20； (3)km/分． 【思路引导】（1）根据观察函数图象的纵坐标，可得距离，观察函数图象的横坐标，可得时间； （2）根据观察函数图象的横坐标，可得体育场与文具店的距离，观察函数图象的横坐标，可得在文具店停留的时间； （3）根据观察函数图象的纵坐标，可得路程，根据观察函数图象的横坐标，可得回家的时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【规范解答】（1）解：由纵坐标看出体育场离扎西家2.5千米，由横坐标看出扎西从家去体育场用了15分钟； （2）由纵坐标看出体育场离文具店（千米）， 由横坐标看出 扎西在文具店停留了（分）； 故答案为： 1；20； （3）由纵坐标看出文具店距扎西家1.5千米，由横坐标看出从文具店回家用了100﹣65＝35分钟， 扎西从文具店回家的平均速度是（千米/分）， 答：扎西从文具店回家的平均速度是千米/分钟． 【考点剖析】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． 题型十 从函数的图象获取信息 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）山青林场为了了解某种乔木的树龄与胸径（指乔木离地面处的直径）的关系，随机抽取了10株，统计了它们的树龄，并测量了它们的胸径，结果如表所示： 树龄/年 15 10 10 35 30 25 25 20 35 15 胸径 在直角坐标系中，描出表中各有序数对（树龄，胸径）对应的点，画出能近似地反映胸径与树龄之间相关关系的一条直线，并利用这条直线估计树龄为40年的这种乔木的胸径． 【答案】图见详解，为 【思路引导】用描点法画函数图象，先理解题意，再描点，然后连线，即可完成画图，再从函数的图象来估计树龄为40年的这种乔木的胸径为． 【规范解答】解：依题意， ； 利用这条直线估计树龄为40年的这种乔木的胸径为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 【答案】(1)10 (2)15 (3) (4)图见解析 【思路引导】（1）逗留时间逗留结束时间逗留开始时间； （2）平均速度是总路程与总时间的比值； （3）首先计算出初始阶段的速度，然后用总路程除以这个速度得到所需时间； （4）匀速运动的路程与时间图象是一条经过原点的直线，路程与时间成正比，关系式为：路程速度时间． 【规范解答】（1）解：由图可知小明在途中逗留了 ； （2）解：小明回家的平均速度是 ； （3）解：刚出学校时的速度为： ， 按照刚出学校时的速度一直走到家需要时间为： ； （4）解：作图如下： 【变式2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一列快车从甲地匀速驶往乙地，速度为，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，速度为．两车同时出发且行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)解释图中点的实际意义是什么？ (2)求出点的坐标； (3)求为多少时，两车之间的距离等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的． 【答案】(1)图中点的实际意义为两车出发2小时后相遇 (2) (3)或4 【思路引导】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）点M的横坐标为0，则表示两车此时的距离为0，即此时两车相遇，据此可得答案； （2）根据函数图象可知甲、乙两地的距离，则可求出快车到达乙地的时间，再求出此时两车的距离即可得到答案； （3）分三种情况：两车相遇前，两车相遇后，且快车没有到达终点和车相遇后，且快车到达终点，分别建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：图中点的实际意义为两车出发2小时后相遇； （2）解：由函数图象可知，甲、乙两地的距离为， ∴快车到达乙地的时间为， ∴快车到达乙地时两车的距离为， ∴点N的坐标为； （3）解：当两车相遇前，则， 解得； 当两车相遇后，且快车没有到达终点，则， 解得（舍去） 当两车相遇后，且快车到达终点后，则， 解得 综上所述，当为或4时，两车之间的距离等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的． 题型十一 用描点法画函数图象 【例11】（25-26七年级上·河北张家口·期末）手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）①588；画图见解析；②；（3）x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 【思路引导】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得的取值范围； （2）①将代入计算即可得； ②由表格和折线统计图求解即可； （3）根据题目给出的参考数据求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）①当时，，即， 画出函数的大致图象如下所示： ②由表格和折线统计图可得，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积先增大，后减小， 当时，所得到的无盖长方体的容积最大； （3）观察数据变化，推测x取到3.3时，容积V的值最大，最大值是． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数的解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示． ； （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 【变式2】（25-26九年级上·山西太原·期末）阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； (2)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； (3)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 【答案】(1)4，4，图象见详解； (2)①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； (3)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【思路引导】本题考查画函数图象，图象的平移，解题的关键是综合运用相关知识解题． （1）求出a，b，利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【规范解答】（1）解：观察表格数据发现，当时，；当时，； 所以，； 函数图象如图所示： （2）解：函数的性质为：①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； （3）解：把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 【答案】C 【思路引导】分析图象，可知小明在是在去食堂的路上，是在吃早餐，是在去图书馆的路上，是在图书馆读报，是在回家的路上，据此逐项分析． 【规范解答】解：A．小明吃早餐用了，故A错误； B．小明读报用了，故B错误； C．小明从食堂到图书馆的速度为，故C正确； D．小明从图书馆回家的速度为，故D错误． 2．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【思路引导】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【规范解答】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【规范解答】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题： （1）小李到达离家最远的地方是______时； （2）小李______时第一次休息； （3）11时到12时，小李骑了______km； （4）返回时，小李的平均车速是______． 【答案】 14 10 5 【规范解答】解：（1）由函数图象可知，小李到达离家最远的地方是14时； （2）由函数图象可知，在第10小时到第11小时，小李离家的距离没有发生变化，即小李在休息， ∴小李10时第一次休息； （3）由题意得：11时到12时，小李骑了千米； （4）， ∴返回时，小李的平均车速是． 5．（25-26八年级上·安徽池州·期末）小明同学为锻炼自己的社会实践能力，暑假某一天，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场销售，在销售了部分西瓜后，余下的每千克降价元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小明赚了_______元． 【答案】 【思路引导】本题考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【规范解答】解：由函数图象可知，没有降价前千克西瓜卖了元，那么销售单价为：元， 降价元后单价变为，销售金额为元，说明降价后卖了元，那么降价后卖了千克， 总质量将变为千克，那么小明的成本为：元，赚了元， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）在弹性限度内，某弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）的关系式为，则其常数项12的实际意义是________． 【答案】 弹簧的原长为 【思路引导】本题考查函数关系式，常数项表示当自变量为零时的函数值，据此进行作答即可. 【规范解答】解：∵某弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）的关系式为， ∴当时，，即当不挂物体时，弹簧的长度为，即弹簧的原长为； 故答案为：弹簧的原长为 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走，他行走的路程随时间的变化而变化； (2)一根弹簧的原长为，挂上重物后弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，每挂物体，弹簧伸长； (3)一个长方体盒子的高为，底面是正方形，底面边长改变时，该长方体盒子的体积也随之改变． 【答案】(1)，t是自变量，s是t的函数 (2)，x是自变量，y是x的函数 (3)，a是自变量，V是a的函数 【思路引导】（1）根据“路程速度时间”，即可求解； （2）根据“弹簧的长度原长伸长的长度”，即可求解； （3）根据“体积底面积高”，即可求解； 【规范解答】（1）解：根据题意可得，，其中t是自变量，s是t的函数； （2）解：根据题意可得，，其中x是自变量，y是x的函数； （3）解：根据题意可得，，其中a是自变量，V是a的函数． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【思路引导】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期末）甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离与离开A地的时间之间的关系如图所示．根据下图提供的信息，回答下列问题： (1)A地到B地的路程为多少? (2)哪位同学先到达B地？提前了多长时间？ (3)求乙同学的骑行速度； (4)请描述甲从A地到B地的运动状态，并求出每种状态中的骑行速度． 【答案】(1)18 (2)甲比乙先到达B地；提前了分钟 (3)乙的骑行速度是千米分钟 (4)见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象得出正确的信息是解题的关键． （1）利用函数图象，直接得出的路程即可； （2）利用函数图象，直接得出甲比乙先到达B地的时间； （3）利用路程除以时间得出乙的速度即可； （4）由图象可得，甲从A地到B地的运动分为三个阶段，分别求解速度即可． 【规范解答】（1）解：利用图象可得：A地与B的路程是18千米； （2）解：利用图象可得出：甲比乙先到达B地；提前了； （3）解：乙的骑行速度是（千米分钟）； （4）解：由图象可得，甲从A地到B地的运动分为三个阶段： 在出发后的内，甲保持匀速骑行，此阶段他从A地出发骑行至离A地处，速度为； 在这一时间段，甲处于原地休息状态，距离A地的距离保持不变， ∴这段时间的骑行速度为0； 在内，甲再次以匀速骑行，从离A地处继续前往B地，骑行的路程为，用时，速度为． 10．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）为配合道路修整扩建施工，保障道路交通顺畅，白银市在交通主干道设置隔离护栏．某道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据图示，将表格补充完整； 立柱根数 1 2 3 4 5 ．．． 护栏总长度/米 0.2 3.4 9.8 ．．． (2)设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的函数关系式并求当护栏总长度为93米时立柱的根数． 【答案】(1)当立柱根数为3时，护栏总长度为6.6米；当立柱根数为5时，护栏总长度为13.0米． (2)y与x的函数关系式为，当护栏总长度为93米时，立柱根数为30． 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式，求自变量． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：；当时，代入y与x之间的关系式，求解． 【规范解答】（1）解：当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）； 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （2）解：根据题意得：与之间的关系式为： ； 当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30． 能力提升进阶练 1．（24-25六年级下·全国·单元测试）年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 【答案】A 【思路引导】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，解决本题的关键是数形结合的思想的运用． 【规范解答】解：A选项：由图象可知，起跑后1小时内，甲所跑路程大于乙所跑路程，所以起跑后小时内，甲在乙的前面，故A选项错误； B选项：由图象可知，起跑后小时，甲和乙相遇，故B选项正确； C选项：由图象可知，甲到达终点的时间比乙到达终点的时间多，故C正确； D选项：由图象可知，甲、乙都跑了20.09千米，故D正确． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面长为（小球P的大小与木块Q的厚度忽略不计），小球与木块同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），并保持原速直线运动，撞击木块Q后被反弹，再次保持原速向挡板l直线运动，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图2是y与x函数关系的部分图象．以下说法正确的是（   ） ①； ②小球P的速度为； ③小球P第一次返回时，y与x之间满足； ④当小球P从出发至第一次P，Q相遇的过程中，小球P与木块Q的距离为时，或． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，根据函数图象可得小球P第一次到达挡板l的时间是，则可求出小球P的速度为，根据出发时木块Q与小球之间的距离为0可求出木块Q的速度，进而可求出a的值；再根据路程等于速度乘以时间可求出小球P第一次返回时，y与x之间的函数关系式；最后分两种情况：点P没有返回和点P第一次返回，根据两者之间的距离建立方程求解即可． 【规范解答】解：由题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是， ∴小球P的速度为，故②是符合题意的； 由题意得， ∴ ∴，故①不符合题意； 小球P第一次返回时，y与x之间满足．故③是符合题意的； 当点P没有返回时，则，解得， 当点P第一次返回时，则 解得， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或．故④是符合题意的； 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）甲乙两车分别从A，B两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达B，A两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系式如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．A、B两地之间的路程为 B．乙车的速度为 C．m的值为5 D．当两车相距时，则甲车出发了 【答案】D 【思路引导】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是结合图象以及各数量关系进行解答．首先由图象和题意可知：A，B两地之间的路程是，乙比甲提前出发，两车在相遇，再由可求得乙车的速度，据此即可求得甲车的速度，再求得的值，当两车相距时，分两种情况讨论，再求解，即可一一判定． 【规范解答】解：由图象和题意可知A，B两地之间的路程是，故A正确，不合题意； 乙车的速度为：，故B正确，不合题意； 从到这的时间内，两车一共行驶了． 因为， 所以． 所以乙车从地到地行驶的时间为， 即，故C正确，不合题意； 若相遇前相距： 则两车一共行驶的路程为， 因为乙车先行驶， 所以行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的路程为， 则甲乙共同行驶的时间， 此时甲车出发了． 若相遇后相距： 则两车一共行驶的路程为， 因为乙车先行驶， 所以行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的路程为， 所以甲乙共同行驶的时间， 此时甲车出发了． 所以当两车相距时，甲车出发了或， 故D错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【思路引导】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【规范解答】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 5．（25-26六年级下·全国·单元测试）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离， 与飞行时间t之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 由图可得A到C的距离为20千米，甲2分钟飞行了千米，乙飞行了2分钟后离驿站C还有9千米，可得甲、乙的速度与甲、乙到达C的时间，从而可得B到C的距离，即可求得驿站A离驿站B的距离． 【规范解答】解：根据图中信息，得到A到C的距离为20千米，甲2分钟行了千米，乙飞行了2分钟后离驿站C还有9千米， ∴甲从A到C用的时间：（分钟）， ∴乙的速度：（千米/分钟） ∴乙从B到C的距离：（千米）， ∴驿站A离驿站B的距离是：（千米）． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川成都·期末）、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入（城区与入口的距离忽略不计），并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往城，乙车驶往城，已知甲车以千米/时的速度匀速行驶．两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图．则乙车速度为____千米/时；点的横坐标为____． 【答案】 / 【思路引导】本题考查了从函数图象获取信息，行程问题，理解函数图象的横纵坐标的数量关系是解题关键．用总路程除以两车相遇的时间再减去甲车速度即可求出乙车速度；用总路程除以甲车速度即得点横坐标． 【规范解答】解：根据函数图象可知：当行驶时间为小时，两车的距离千米，当行驶时间为小时，两车的距离为千米， 乙车速度为：， 根据函数图象可知：点表示的实际意义为此时甲车已达到城， 点的横坐标为：． 故答案为：，． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 【答案】(1)甲的速度较快 (2)在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇 【思路引导】（1）结合图象信息求出由题意得甲的速度为，乙的速度为，即可确定甲的速度较快； （2）由图象得当时，；当时，；当时，，从而得到在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇． 【规范解答】（1）解：由题意得甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的速度较快； （2）解：由图象得当时，； 当时，； 当时，， 在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 【答案】(1)气温是时间t（时）的函数 (2)14时的气温最高，是；4时的气温最低，是 (3)4时到14时的气温处于上升趋势 (4)8时、22时的气温是 【思路引导】（1）由函数的定义即可得出答案； （2）分别观察图象的最高点和最低点，即可得出答案； （3）气温不断上升，即图像呈上升趋势，即可得出答案； （4）找到y轴上的，其对应的x轴数据即气温是的时间； 【规范解答】（1）解：在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合函数的定义，所以气温是时间t（时）的函数． （2）解：最高气温：图象的最高点出现在时，对应的温度为． 最低气温：图象的最低点出现在时，对应的温度为． （3）解：从图中可以看出，在4时到14时之间，图象呈上升趋势，因此4时到14时的气温处于上升趋势． （4）解：在处画一条水平线，与图象交于两点，对应的时间为时和时． 因此，8时和22时的气温是． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）由三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为，即可得出与之间的函数关系式，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据等边三角形的性质，可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：由等腰三角形周长公式可得，移项整理得，即， ， 解得：． 与之间的函数关系式为；自变量x的取值范围为； （2）解：若等腰三角形为等边三角形，则三边长度相等，即底边长等于腰长， ， 将代入周长公式，得， 解得， 所以当时，这个等腰三角形是等边三角形． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）见解析；（2）见解析；（3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；探究二：右侧；1；探究三：的值为1或5 【思路引导】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【规范解答】解：探究一：（1）把代入得：， 填表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 函数（复习讲义） 1.从实际问题抽象函数关系，建立数学模型。 2.理解变量与函数概念，把握“唯一对应”本质。 3.借助函数图象理解性质，发展数形结合思想。 4.运用函数知识分析与解决现实问题。 知识点一 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点二 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解： ①有两个变量； ②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化； ③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点三 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点四 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 题型一 函数的概念 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，梯形的上底长是，下底长是15，高是8．    (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)用表格表示与的关系，完成表格中（   ）的相应值． 上底长 … 10 （   ） 18 20 … 梯形面积 … 100 120 （   ） 140 … (3)如何随的变化而变化？ (4)当时，等于什么？此时它表示的图形是什么？ 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的墙上： 销售数量 1 2 3 4 …… 销售总价y（元） … (1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？ (2)请写出销售总价y（元）关于销售数量的函数解析式； (3)丽丽一家共摘了草莓，应付多少钱？ 【变式2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）将若干张长的长方形纸，按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40         116 154 …         … (2)设x张纸粘合后的纸条长为． ①其中自变量是 ，因变量是 ；直接写出y与x之间的关系式： ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③小明需要粘合长为的纸条，通过计算说明至少需要多少张这样的长方形纸． 题型二 函数解析式 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张长方形的纸对折，如图①，可得到1条折痕，继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②．连续对折3次后，可以得到7条折痕，如图③． 回答下列问题： (1)对折4次可以得到__________条折痕． (2)写出折痕的条数与对折次数之间的函数关系式． (3)求出对折10次后的折痕条数． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·月考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元） 零售价/（元） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克；（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）某水果经营商从水果批发市场批发了苹果和梨共千克到市场销售，苹果和梨当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 苹果 梨 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） (1)若批发苹果和梨共花费元，则苹果和梨各多少千克？ (2)设批发了苹果千克，卖完这批苹果和梨的利润是元，求与的函数关系式． 题型三 求自变量的取值范围 【例3】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广西百色·期末）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四 求自变量的值或函数值 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了解某品牌汽车的耗油量，某课外小组对该品牌汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶的时间 0 1 2 3 … 油箱中剩余的油量 100 94 88 82 … (1)根据上表的数据，请你写出与之间的关系式． (2)汽车行驶后，油箱中剩余的油量为多少？ 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为，腰长为． (1)求关于的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)当腰时，求底边的长； (3)当底边时，求腰长． 【变式2】如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 题型五 函数的三种表示方法 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【变式2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 题型六 用表格表示变量间的关系 【例6】（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【变式1】（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量间的关系如表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度 12 13 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是，因变量是． (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 题型七 用关系式表示变量间的关系 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）为防范电信诈骗，提高学生反诈意识，某校要印制反诈宣传材料．甲印刷厂提出：制版费为元，每份材料收元印制费．乙印刷厂提出：制版费是印制数量的一次函数，每份材料收元印制费，其图象如图①所示： (1)写出甲印刷厂的收费与印制数量之间的关系式； (2)若印制数量为份，的值为时，求乙印刷厂的收费的值； (3)若印制数量时，甲印刷厂的收费始终大于乙印刷厂的收费，求的取值范围．（可在备用图中作图分析） 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 题型八 用图象表示变量间的关系 【例8】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； (2)小华在超市停留了______分钟； (3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米； (4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 题型九 函数图象识别 【例9】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下图反映的过程是：扎西从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，其中表示时间，表示扎西离家的距离，根据图象回答下列问题： (1)体育场离扎西家______千米；扎西从家去体育场用了______分； (2)体育场离文具店______千米，扎西在文具店停留了______分； (3)请计算：扎西从文具店回家的平均速度是多少？ 题型十 从函数的图象获取信息 【例10】（25-26八年级下·全国·课后作业）山青林场为了了解某种乔木的树龄与胸径（指乔木离地面处的直径）的关系，随机抽取了10株，统计了它们的树龄，并测量了它们的胸径，结果如表所示： 树龄/年 15 10 10 35 30 25 25 20 35 15 胸径 在直角坐标系中，描出表中各有序数对（树龄，胸径）对应的点，画出能近似地反映胸径与树龄之间相关关系的一条直线，并利用这条直线估计树龄为40年的这种乔木的胸径． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 【变式2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）一列快车从甲地匀速驶往乙地，速度为，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，速度为．两车同时出发且行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，根据图象解决以下问题： (1)解释图中点的实际意义是什么？ (2)求出点的坐标； (3)求为多少时，两车之间的距离等于快车行驶距离与慢车行驶距离之和的． 题型十一 用描点法画函数图象 【例11】（25-26七年级上·河北张家口·期末）手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】 如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图2，设该长方体盒子的容积为，求V的最大值． 【探究模型】 （1）长方体的容积________（用含x的代数式表示）； （2）当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 m 576 500 384 252 128 36 ①计算：________，并在图3中补全折线统计图； ②观察表格和折线统计图，随着剪去的小正方形的边长的值增大，长方体的容积怎样变化，当x为何值时，所得到的无盖长方体的容积最大． 【继续研究】 当小正方形边长x不为整数时，下面给出了部分参考数据： 当时，；当时，；当时，；当时，． （3）请你观察数据变化，推测x取到何值时，容积V的值最大？最大值是多少？（直接写出结论） 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【变式2】（25-26九年级上·山西太原·期末）阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； (2)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； (3)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 2．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里，他离家的距离与时间t（时）之间的函数关系可以用图中的折线表示．根据图象回答下列问题： （1）小李到达离家最远的地方是______时； （2）小李______时第一次休息； （3）11时到12时，小李骑了______km； （4）返回时，小李的平均车速是______． 5．（25-26八年级上·安徽池州·期末）小明同学为锻炼自己的社会实践能力，暑假某一天，以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场销售，在销售了部分西瓜后，余下的每千克降价元，全部售完，销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示，那么小明赚了_______元． 6．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）在弹性限度内，某弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）的关系式为，则其常数项12的实际意义是________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走，他行走的路程随时间的变化而变化； (2)一根弹簧的原长为，挂上重物后弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，每挂物体，弹簧伸长； (3)一个长方体盒子的高为，底面是正方形，底面边长改变时，该长方体盒子的体积也随之改变． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期末）甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离与离开A地的时间之间的关系如图所示．根据下图提供的信息，回答下列问题： (1)A地到B地的路程为多少? (2)哪位同学先到达B地？提前了多长时间？ (3)求乙同学的骑行速度； (4)请描述甲从A地到B地的运动状态，并求出每种状态中的骑行速度． 10．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）为配合道路修整扩建施工，保障道路交通顺畅，白银市在交通主干道设置隔离护栏．某道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据图示，将表格补充完整； 立柱根数 1 2 3 4 5 ．．． 护栏总长度/米 0.2 3.4 9.8 ．．． (2)设有根立柱，护栏总长度为米，求与之间的函数关系式并求当护栏总长度为93米时立柱的根数． 能力提升进阶练 1．（24-25六年级下·全国·单元测试）年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面长为（小球P的大小与木块Q的厚度忽略不计），小球与木块同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），并保持原速直线运动，撞击木块Q后被反弹，再次保持原速向挡板l直线运动，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为，木块Q与小球之间的距离为，图2是y与x函数关系的部分图象．以下说法正确的是（   ） ①； ②小球P的速度为； ③小球P第一次返回时，y与x之间满足； ④当小球P从出发至第一次P，Q相遇的过程中，小球P与木块Q的距离为时，或． A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）甲乙两车分别从A，B两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达B，A两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲乙两车之间的路程为s（单位：），乙车行驶的时间为t（单位：h），s与t的函数关系式如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．A、B两地之间的路程为 B．乙车的速度为 C．m的值为5 D．当两车相距时，则甲车出发了 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 5．（25-26六年级下·全国·单元测试）作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1，），甲、乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站C．已知甲、乙两架无人机到驿站C的距离， 与飞行时间t之间的函数关系如图2所示，若甲、乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站A离驿站B的距离是__________． 6．（25-26八年级上·四川成都·期末）、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入（城区与入口的距离忽略不计），并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往城，乙车驶往城，已知甲车以千米/时的速度匀速行驶．两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图．则乙车速度为____千米/时；点的横坐标为____． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $