7.4.2 超几何分布（题型专练） 数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 题型一：超几何分布的判断 1．（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 2．下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【分析】根据超几何分布模型定义可知答案. 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 3．（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有(    ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X 【答案】CD 【分析】判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是不是不放回抽样； (3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数. 据此逐项分析判断即可. 【详解】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意； CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布. 故选：CD. 4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球， 而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球， 故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布. 对于③，的可能取值为， 表示取出4个白球； 表示取出3个白球1个黑球； 表示取出2个白球2个黑球； 表示取出1个白球3个黑球； 表示取出4个黑球； 因此服从超几何分布. 由超几何分布的概念知④符合， 故选：B. 5．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项. 【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布. 故选：B. 题型二：求超几何分布的分布列 1．盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用超几何分布求概率，再写分布列即可. 【详解】（1）; （2）因为两张卡片中取到偶数的个数的可能取值有， 所以，，， 即的分布列为： 2．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. 求的分布列； 【答案】分布列见解析 【分析】确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率； 【详解】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 3．2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. （1）求该样本的中位数和方差； （2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望. 【答案】（1）中位数为81.5，方差为98.83（2）详见解析 【分析】（1）把样本数据排序后可得中位数，计算样本数据的平均数再利用公式计算其方差. （2）利用超几何分布可求优秀作品的件数的分布列和期望. 【详解】（1）样本数据按顺序为59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 数据的中位数为： 平均数为   方差为 （2）设抽到优秀作品的个数为，则的可能值为0,1，2,3 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为 4．某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型概率公式和组合数公式计算即可； （2）分析易得的所有可能取值为0,1,2,且，利用超几何分布概率公式计算对应的概率值，即可列出分布列. 【详解】（1）设事件为“从这18名队员中随机选出两人，这两人来自同一个班级” 则 . （2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,依题意，, 故 ,, . 所以的分布列为: X 0 1 2 P 题型三：超几何分布的均值与方差问题 1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】根据超几何分布的均值求解即可. 【详解】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布. ∴抽到的次品数的均值. 故选：C 2．从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能值，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【详解】设得分为，根据题意可以取， .则，，， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：C. 3．袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E（X）为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】依题意的可能取值为0或2，再根据超几何分布的概率公式求出概率，再求出数学期望； 【详解】解：由题意，得的可能取值为0或2，其中表示取得2个白球，表示取得1个白球，1个红球，所以，，故的均值． 故选：B 4．一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】方法一：求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解； 方法二：服从超几何分布，运用超几何分布的期望公式计算即可. 【详解】方法一：显然的可能取值为0,1,2,3， 其中，，， ， 故； 方法二：服从超几何分布，由超几何分布的期望公式可得. 故选：B. 5．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，，． 【分析】（1）由古典概型的概率公式计算可得； （2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差． 【详解】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率； （2）由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故， ． 6．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得； （2）借助分布列计算期望与方差即可得. 【详解】（1）的可能取值为、、， 则， ， ， 故其分布列为： （2）， . 题型一：超几何分布的应用 1．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球. (1)求得分的分布列及均值； (2)求得分大于6的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望的公式即可求解， （2）根据分布列即可求解概率. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的取值为, 所取小球为1白3黑时， 所取小球为2白2黑时， 所取小球为3白1黑时， 所取小球为4白时， 所以，随机变量的分布列为 5 6 7 8 随机变量的均值为： （2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为 2．不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解； （2）利用超几何分布概率模型求解. 【详解】（1）设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件； 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为. （2）这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家， 随机变量的可能取值有， 则 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. 3．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 (2)分布列见详解，的数学期望为2 (3) 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 题型二：二项分布与超几何分布的综合应用 1．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 2．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)分布列见解析，期望为，方差为 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【详解】（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 3．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率； (2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及. 【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为 (2)分布列见详解， 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解； （2）根据（1）中的数据，求分布列和期望，再根据期望性质求. 【详解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则， 可得甲进入正赛的概率， 乙进入正赛的概率， 故甲、乙两人进入正赛的概率分别为. （2）由题意可得：的可能取值为，则有： ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 则， 故. 1．下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 2．下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)是，理由见解析 (4)是，理由见解析 (5)不是，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据超几何分布的特点逐项判断，可得出结论. 【详解】（1）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （2）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题. （3）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （4）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类， 随机变量X表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布． （5）解：样本没有给出不合格产品数，无法计算的分布列，所以不属于超几何分布问题． 3．为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)50； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）应用样本估计总体的思想求小池塘中鱼的条数； （2）根据已知确定随机变量的可能值，应用超几何分布求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）已知小池塘中鱼的条数为m， 由样本估计总体得=，解得， 所以估计小池塘中有50条鱼. （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 所以，，，， X的分布列为 0 1 2 3 . 4．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______． 【答案】24 【分析】依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差； 【详解】解：由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差． 故答案为： 5．某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题． (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平． 【答案】（1）；（2）乙选手比甲选手的答题水平高 【分析】（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对道题”和“甲选手答对道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率； 解法二：计算出事件“甲选手能晋级”的对立事件“甲选手答对道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案； （2）乙选手答对的题目数量为，甲选手答对的数量为，根据题意知，随机变量服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出，再利用超几何分布概率公式列出随机变量的分布列，并计算出，比较和的大小，然后可以下结论． 【详解】解法一：（1）记“甲选手答对道题”为事件，，“甲选手能晋级”为事件，则． ； （2）设乙选手答对的题目数量为，则，故， 设甲选手答对的数量为，则的可能取值为， ，，， 故随机变量的分布列为 所以，，则， 所以，乙选手比甲选手的答题水平高； 解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件，则； （2）同解法二． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2 超几何分布 题型一：超几何分布的判断 1．（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 2．下列随机变量中，服从超几何分布的有______．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 3．（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有(    ) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X 4．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 5．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ） A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为 C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 题型二：求超几何分布的分布列 1．盒中有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，现从盒中任取两张卡片，记取到偶数的个数为X.求： (1)； (2)X的分布列. 2．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. 求的分布列； 3．2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. （1）求该样本的中位数和方差； （2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望. 4．某校为了参加市里举办的足球联赛，从学校的足球队中选出了水平较高的18人组成了代表队参加比赛，已知这18名队员来自高二年级的4个班级，每班对应的人数如下表所示. 班级 高二（1）班 高二（2）班 高二（3）班 高二（4）班 人数 4 6 3 5 (1)从这18名队员中随机选出两人，求这两人来自同一个班级的概率; (2)经过队员们的奋力拼搏，获得了这次联赛的冠军，若要从这18人中选出两人作为球员代表发言，设选出的两人中来自高二（1）班的人数为，求的分布列. 题型三：超几何分布的均值与方差问题 1．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（　　） A．n B． C． D． 2．从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 3．袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E（X）为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 5．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 6．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望和方差. 题型一：超几何分布的应用 1．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个白球，3个黑球，从袋中随机地取出小球，若取到一个白球得2分，取到一个黑球得1分，现从袋中任取4个小球. (1)求得分的分布列及均值； (2)求得分大于6的概率. 2．不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望. 3．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 题型二：二项分布与超几何分布的综合应用 1．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 2．从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 3．党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率； (2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及. 1．下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 2．下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是的骰子的个数记为，求的分布列； (2)有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为，求的分布列； (3)盒子中有红球只，黄球只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为，求的分布列； (4)某班级有男生人，女生人．选派名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为，求的分布列； (5)现有台平板电脑未经检测，抽取台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为，求的分布列． 3．为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 4．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______． 5．某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题． (1)求甲选手能晋级的概率； (2)若乙选手每题能答对的概率都是，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $