7.4.1 二项分布（题型专练） 数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 题型一：利用二项分布的求概率 1．若随机变量服从二项分布，则________． 2．设随机变量，则__________． 3．设，若，则_________ . 4．设，且，则的值为______． 5．已知随机变量X服从二项分布，则______. 6．设，且，那么（   ） A． B． C． D． 7．设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 题型二：二项分布的分布列 1．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求： (1)求X的分布列； (2)求． 2．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 3．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为． （1）求甲投球次，命中次的概率； （2）若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列． 4．某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行. （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值. 5．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 题型三：二项分布的均值与方差问题 1．已知随机变量，且，则______． 2．已知随机变量，则（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．设随机变量，已知，求两个参数n和p各为多少. 4．若随机变量，且，则__________． 5．已知张同学射击中靶的概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（    ） A．30 B．26 C．22 D．18 6．随机变量 X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 7．已知随机变量，则______ 题型一：服从二项分布随机变量概率最大值问题 1．若，则取得最大值时，_____． 2．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 3．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 4．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．若~，则取得最大值时，________. 6．某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中________次的可能性最大． 题型二：建立二项分布模型解决实际问题 1．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望. 2．某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立. （1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低. 3．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ） A． B． C． D． 4．为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 1．已知随机变量满足，且，则_____. 2．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 3．设随机变量X服从二项分布，随机变量Y服从二项分布，若，求. 4．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 5．在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时______. 6．2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1 二项分布 题型一：利用二项分布的求概率 1．若随机变量服从二项分布，则________． 【答案】 【分析】利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 2．设随机变量，则__________． 【答案】 【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】随机变量服从． 故答案为： 3．设，若，则_________ . 【答案】 【分析】由二项分布的概率公式，代入可得结果. 【详解】, , ，解得：或(舍去) 故答案为：. 4．设，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据二项分布的概率计算公式即可由因式分解求解. 【详解】， 由于 ， 所以， 因此要么要么， 又，所以或， 故答案为：或. 5．已知随机变量X服从二项分布，则______. 【答案】/0.375 【分析】由二项分布概率公式直接计算可得. 【详解】因为X服从二项分布， 所以. 故答案为： 6．设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 7．设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【详解】根据随机变量， 且，可得. 故选：C 题型二：二项分布的分布列 1．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求： (1)求X的分布列； (2)求． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解. 【详解】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为， 所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故 即 ,     ,  ,   ,  ； X的分布列如下: 0 1 2 3 4 （2）, 2．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【详解】（1）解：由题意得： 设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，， ，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 3．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为． （1）求甲投球次，命中次的概率； （2）若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列． 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【分析】（1）甲投球次，命中次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可， （2）由题意可求得，服从，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列 【详解】解：（1）设“甲投球一次命中”为事件， 则， 故甲投球次命中次的概率为 （2） 设“乙投球一次命中”为事件． 由题意得， 解得， 所以， 由题意得服从，则 0 1 2 3 4．某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行. （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）设“会徽”卡有张，利用从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，可以求出，也就可以求出“五环”图案卡片的张数，然后求出抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）由题意可知服从二项分布，根据二项分布的概率公式，列出的分布列，计算出的值. 【详解】（Ⅰ）设“会徽”卡有张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为； （Ⅱ）由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即， ，， ，， ，的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【点睛】本题考查了古典概型、离散型随机变量分布列、以及期望，由题意分析出服从二项分布是解题的关键. 5．有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 题型三：二项分布的均值与方差问题 1．已知随机变量，且，则______． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用二项分布的期望、方差的计算公式，即可求解. 【详解】因为，则， 又，得到，由， 得，解得. 故答案为：. 2．已知随机变量，则（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式及期望的性质求解. 【详解】由，得，所以. 故选：A 3．设随机变量，已知，求两个参数n和p各为多少. 【答案】 【分析】直接利用二项分布的期望和方差公式，代入数据进行计算. 【详解】由，， 得，故. 4．若随机变量，且，则__________． 【答案】3或6 【分析】利用二项分布的期望、方差公式列式求解. 【详解】由随机变量，且，得，解得或， 所以或. 故答案为：3或6 5．已知张同学射击中靶的概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（    ） A．30 B．26 C．22 D．18 【答案】C 【分析】10次射击中击中的次数为随机变量Y服从二项分布.先利用二项分布的期望公式先计算E(Y)，再计算E(X). 【详解】根据题意，击中的次数服从二项分布，所以， 所以. 故选：C. 6．随机变量 X服从二项分布，则 为（     ） A．2 B．8 C．0.25 D．4 【答案】A 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】因为随机变量 X服从二项分布， 所以. 故选：A. 7．已知随机变量，则______ 【答案】1 【分析】先根据二项分布的期望和方差求和，再求和可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以，， 所以. 题型一：服从二项分布随机变量概率最大值问题 1．若，则取得最大值时，_____． 【答案】5 【分析】由二项分布写出的表达式，结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】因为，所以，， 由组合数的性质知，当时最大，此时取得最大值． 故答案为：5 2．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 3．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则__________． 【答案】10 【分析】根据变量符合二项分布，写出试验发生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值． 【详解】 ， 当时，． 显然当时，取得最大值． 故答案为：10 4．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 5．若~，则取得最大值时，________. 【答案】 【分析】使用二项分布的概率公式，利用比值判断法判断大小即可. 【详解】由于，故. 所以当时；当时. 故所求的. 故答案为：. 6．某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中________次的可能性最大． 【答案】8 【分析】本题为二项分布的典型问题，设出最可能命中的次数为m次，即命中m次的概率最大，列出不等式组，命中m次高于前一次且高于后一次，解不等式取整数即可. 【详解】∵ 射箭命中次数， ∴ ， 设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则 解得， ∵ ，∴. 故答案为：8. 题型二：建立二项分布模型解决实际问题 1．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】X的分布列见解析，数学期望为人 【分析】根据已知条件转化为二项分布，结合相关知识求分布列和期望即可. 【详解】由已知得，每位参加保险人员选择A社区的概率为， 4名人员选择A社区即4次独立重复试验， 即，X的可能取值为0,1,2,3,4， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （人）， 即X的数学期望为人 2．某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立. （1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低. 【答案】（1）；（2）乙车间生产稳定性更高. 【分析】（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率，进而可得甲车间设备顺利运行至结束的概率；乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为，利用二项分布的概率公式可求解乙车间设备顺利运行至结束的概率；两个结果作比可得结论． 【详解】（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则 记“1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A. 则. （2）甲车间分得的两个小组相互对立，由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率 设“甲车间设备顺利运行至结束”为事件B. 则 乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为 记“乙车间设备顺利运行至结束”为事件C. ∵，∴ 故乙车间生产稳定性更高. 3．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案. 【详解】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为. 故选：D. 4．为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)10道 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并计算数学期望. （2）利用二项分布的知识列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）X可能的取值为0，1，2，3. 有； ； ； . 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y，有. 有，可得，故小王同学至少要抢答10道题. 1．已知随机变量满足，且，则_____. 【答案】/ 【分析】利用二项分布公式，方差性质直接计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 2．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【答案】A 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 3．设随机变量X服从二项分布，随机变量Y服从二项分布，若，求. 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为X服从二项分布， 则，又，解得， 故. 4．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 5．在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时______. 【答案】 【分析】根据题意得到，得到且，进而求得的值. 【详解】由数学成绩合格的学生人数，可得， 则满足且， 解得且，所以， 所以取最大值时，实数的值为. 故答案为：. 6．2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 【答案】(1)比赛中只完成了一个项目的概率为 (2)答案见解析 (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为 【分析】（1）分析可得每个项目完成的概率均为，结合二项分布求解概率即可； （2）记比赛中得分，则的可能取值为，确定完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率，由此可确定随机变量对应的概率，从而得分布列； （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，求解的概率，再结合条件概率公式即可得所求. 【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次， 则每个项目完成的概率均为， 设完成比赛项目个数为，则， 则， 故比赛中只完成了一个项目的概率为； （2）记比赛中得分，则的可能取值为， 完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为， 所以， 所以的分布列为： （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为， 所以，， 记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件， 则， 故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $