上海市民立中学2025-2026学年高一下学期数学周练卷3月16日（三角）

高一数学练习2026-03-16 班级___________姓名___________学号___________成绩___________ 一、填空题(每题4分，共36分) 1．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________. 2．在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 3．已知，，则______. 4．已知，且为第四象限角，则_____________． 5．已知中，，则外接圆半径为____________. 6．函数（）的最小正周期为，则______. 7．设为常数，若满足，且的的值只有一个，则实数的值为________. 8．方程的实数根的个数是______. 9．设正实数满足，则_____． 二、单选题（每题4分，共12分） 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 12．已知函数的最大值为，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 13．(第（1）题6分，第（2）题6分，共12分) 已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 14．(第（1）题6分，第（2）题6分，共12分) 如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点、． (1)求的值； (2)求的值． 15．(第（1）题6分，第（2）题8分，共14分) 如图，公园里有一块三角形草坪，记为.已知，，.图中把草坪分成面积相等的两部分，点在边上，在边上. (1)设，，求关于的函数关系式； (2)如果要沿铺设灌溉水管，则水管最短时，和的位置在哪里？说明理由. 16．(第（1）题6分，第（2）题8分，共14分) 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）．   (1)求关于x的函数解析式； (2)已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 参考答案： 1． 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】角的终边过点, 所以. 故答案为： 2． 【详解】由正弦定理可得，则. 3． 【详解】因为，， 所以. 4．/ 【分析】利用诱导公式及同角公式求解即可. 【详解】由，得，即， 而为第四象限角，则， 所以． 故答案为： 5．// 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 6．8 【分析】直接由最小正周期公式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 7．0或2 【分析】画出在的图像，再结合与只有一个交点，即可得到答案. 【详解】令，在上，取五个关键点，列表如下： 0 1 0 1 2 1 图象如图所示： 因为若满足，且的的值只有一个， 所以直线与函数的图象在上只有1个交点， 结合图象可知，或. 故答案为：或 8． 【分析】将方程实数根的个数转化为函数图像交点个数问题，利用数形结合的方法解决 【详解】方程的实数根的个数就是函数的函数图像与函数图像交点的个数，如下图，在直角坐标系分别作出两个函数图像 由图像可知，两个函数的图像的交点有个 故答案为： 9． 【分析】构造，利用等面积法列式求解． 【详解】因为，所以， 构造，令， 由余弦定理可知，则， 同理，，且， 此时，为直角三角形， 由， 得， 所以． 10．B 【详解】若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”； 若，，则，可得，则， 所以当时，“”可以推出. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 11．D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 12．B 【分析】利用辅助角公式、三角函数的最值、三角函数的最小正周期等知识求得正确答案. 【详解】因为， 所以，解得， 所以的最小正周期为． 故选：B 13．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 14．(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义和同角三角函数的基本关系求出的值，再利用诱导公式化简计算可得所求代数式的值； （2）利用三角函数的定义和同角三角函数的基本关系求出的值，再利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的余弦公式化简可得的值． 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，则，， 因为，故，所以， 故原式. （2）因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，则，， 因为，所以， 由（1）得， ， 因此. 15．(1) (2)当，即为边长为的等边三角形时，水管最短. 【分析】（1）根据面积公式，可得，即可根据余弦定理求解， （2）利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）由于 所以， 在中，由余弦定理可得即， 所以 （2）由（1）知，要使水管最短，即的取值最小， 由于， 当且仅当，即时，取到等号，故当，即为边长为的等边三角形时，水管最短. 16．(1)，． (2)（ⅰ），；（ⅱ）的最大值为， ． 【分析】（1）由扇环周长建立等量关系，即可求得关于x的函数解析式，由题意建立不等式组求得自变量的取值范围. （2）（ⅰ）分别表示出花坛的面积和装饰总费用，即可求得花坛的面积与装饰总费用之比；（ⅱ）令，整理（ⅰ）中函数关系式，利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）由题可知，解得． 又由，可得， 所以关于的函数解析式为，． （2）（ⅰ）花坛的面积为， 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为，． （ⅱ）令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $