上海市某校2025-2026学年高一下学期第一次周测数学试题：三角（3.6）

高一数学《三角》单元测试 姓名_________________班级_____________学号_________ 一、填空题 1．已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为 . 【答案】25 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由扇形的弧长公式及面积公式即可求得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为， 则，所以该扇形的面积为. 故答案为：. 2.在△中，若，则 ； 【答案】120°（或） 【知识点】余弦定理，已知余弦求角 【分析】由余弦定理写出的表达式即可求出，然后再由的值求 【详解】由已知得，又，所以°（或） 3.若，，且为第四象限的角，则实数 . 【答案】 【知识点】同角三角比的关系，三角比在各象限的符号 【分析】由平方关系建立方程，然后解方程，在借助三角比在各象限的符号就可求解 【详解】，即， 因为为第四象限的角，所以，即，所以. 4.已知，则的值为___________. 【答案】 【知识点】同角三角比之间的关系 【分析】将分子1化为，再分子分母同时除以即可 【详解】因为， 所以 5.在△中，已知与是方程的两个根，则_________. 【答案】1 【知识点】韦达定理，两角和的正切公式，诱导公式 【分析】先由韦达定理，得到、的值，再由诱导公式和两角和的正切公式求 【详解】由韦达定理得， 所以 6.化简的结果为____________. A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】原式= 故选：C. 7．在△ABC中，，，面积，则边长为 ． 【答案】或 【知识点】三角形的面积公式，余弦定理，由正弦值求角 【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得. 【详解】，， 又，所以或， 当时，根据余弦定理得： ，； 当时，根据余弦定理得： ，， 故答案为：或. 8．将化成（其中，）的形式为 . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】逆用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 .故答案为： 9.在△ABC中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理，两角和的正弦公式 【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】在△ABC中，∴， 由正弦定理可得， 即，因为，，可得.故答案为： 二、选题题 10.若，且，则的值为（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】C 【知识点】同角三角比的关系，对数的运算 【分析】先利用对数的运算得到的值，再利用，以及求的值. 【详解】由得 ，因为，即， 所以 又时，， 所以，故选C. 11.下列命题中，真命题为（ ） A. 若点为角的终边上一点，则； B. 同时满足，的角有且只有一个； C. 如果角满足，那么角是第二象限的角； D. 的解集为. 【答案】D 【知识点】任意角的三角比的定义，终边重合的角，弧度制，已知正切值求角 【分析】见详解 【详解】选项A，当时，，，A错； 选项B，同时满足，的角有无数个，它们都与的终边重合，其取值的集合为，B错； 选项C，如果角满足，那么角是第三象限的角，C错； 选项D，由得，，故D正确，选D 12.在△ABC中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【知识点】同角三角比的关系，两角和的余弦公式 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 三、解答题 13.已知，且，，求的值. 【答案】 【知识点】同角三角比的关系，两角差的正弦公式 【分析】将角看成是角与角的差，利用两角差的正弦公式求解即可 【详解】因为，所以， 所以， 又由得， 所以 . 14.已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【知识点】同角三角比的关系，二倍角公式 【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果； (2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以， 所以，所以； （2） 15．在△ABC中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【答案】(1)；(2) 【知识点】诱导公式，降幂公式，三角形的面积公式，正弦定理与余弦定理 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为△ABC的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 16.如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． （1）若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； （2）现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【答案】（1）千米；（2）千米 【知识点】正弦定理 【分析】（1）在直角三角形中先算出边BC，再在扇形用利用勾股定理求出所在圆的半径，然后用弧长公式计算；（2）先算出点D到AB的距离DH，比较DH与DC的大小，其中较小的即公路桥DE的最短长度. 【详解】（1）在△中，可得， 于是． 由所在圆的半径为，得的长度为千米． （2）在△中，． 在△中，由正弦定理，得，于是，可得，． 过作的垂线，垂足为，在Rt△中，． 因为，且到上任意一点的距离均大于等于， 所以到海岸线的最短距离为千米． 附加题： 1.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，；②，，； ③，，；④，，. 【答案】①④ 【知识点】正弦定理 【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 【详解】对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④. 2．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 【答案】. 【知识点】弧长的有关计算 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学《三角》单元测试 姓名 班级 学号 一、填空题 1.己知一扇形的圆心角为2弧度，半径为5，则此扇形的面积为」 2.在△ABC中，若a2+b2+ab=c2,则C=」 3.若sin0=a,cos0=-2a,且0为第四象限的角，则实数a=_ 1 4.已知tano=3,则 的值为 sin2a+2sina cosa 5.在△ABC中，已知tanA与tanB是方程x2-6x+7=0的两个根，则tanC= sin(x-a)cosa-tana 2 6.化简 的结果为 sin )oos(2-a)co 7.在△ABC中，a=3,b=4,面积S=3V5,则边长C为 8.将sina-√3cosa化成Asin (a+p)(其中A>0,-π≤p<0)的形式为 9.在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a-c=osC ,则cosB的值 b cos B 为」 二、选择题 10若0<r<至且gsin+eos-号lg2-lg列，则cosx-sinx的值为() AV6 3 B.V3 2 D V5 11.下列命题中，真命题为() A.若点P(a,2a)(a≠0)为角o的终边上一点，则sina= 25 5 1 B.同时满足sinQ)'cosa三3的角以有且只有一个 2 5 C.如果角满足-3π<0<-二π，那么角是第二象限的角； Danr=-5的解柴为x=机-号ke乙 12.在△ABC中，sinA 13cosB=,则c0sC=() 5 56 A. B.16 c. D.以上答案均不正确 65 三、解答题 1已知0<u<行B<,且m月=了sme+-了求通a的值 2 14.已知2sima+3c0sa1 sina-2cosa4 ()求tana的值； (2)求、 sin2a+1 一的值。 1+sin 2a+cos 2a 15.在△4BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,已知V5sinB-2cos24+C=0. 2 (1)求角B的大小： (2)若sin2B=4 sin AsinC,且△ABC的面积为4√3，求△ABC的周长. 16.如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段AB 和四分之一圆弧BC构成，D为一海岛，B在D的正北方向， 且B、D相距39.2千米，A在D的北偏西58°方向，C在D 的北偏东22°方向，C在B的南偏东68°方向. (1)若沿BC修建观光道，计算该观光道BC的长度（精 23 确到0.001千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处E,修建从E直通D 0 的公路桥.已知A、B相距40千米，求公路桥DE的最短长度（精确到0.001千米）. 附加题： 1.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是」 ①a=1,b=√2，B=45;②a=√5，b=5,A=30°； ③a=6,b=20,A=30°； ④a=5,B=60°，C=45° 2.如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木 块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点A走过的路程是