难点04 几何动态与变换综合题（4大题型）（重难专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

难点04 几何动态与变换综合题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向 几何证明 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中几何证明的各种点主要考向分为两类： 一、全等证明（每年1道，7分）； 二、相似证明（每年1题，7分）； 考查内容稳定，以解答题为主，含辅助线，难度较大． 预测考查方向：旋转变换与手拉手模型，将某三角形绕公共顶点旋转，构造全等三角形转移线段。 还需关注与等边三角形、正方形结合。 重●难●要●点●剖●析 考向 几何证明 题型1 探究数量关系 考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．（2022·北京西城·二模）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示） (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)互相垂直； (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【来源】2022年北京西城区九年级二模考试数学试卷 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出； （2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到； ②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到． 【详解】（1）解：当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∴，     ∴， 即与的位置关系是互相垂直， 若，过点A作于点M，如图：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：互相垂直；； （2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下： 过点A作于点M、于点N，如图：        则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图：        ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     ∴， ∴． 2．（2023·北京朝阳·一模）如图，，点A在上，过点A作的平行线，与的平分线交于点B，点C在上（不与点O，B重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． (1)直接写出线段与之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点E，F．若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【来源】2023年北京市朝阳区中考一模数学试卷 【详解】（1）解：线段与的数量关系为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 如图，作于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（2025·北京延庆区·一模）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析；135 (2)；理由见解析 (3)或；理由见解析 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． （2）解：；理由如下： 连接，如图所示：    根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：    根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：    根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 4．（2023·北京大兴·一模）在中，，，点为射线上一动点（不与点，重合），连接，点为延长线上一点，且，作点关于射线的对称点，连接，. (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意补全图形，求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【来源】2023年北京市大兴区中考一模数学试卷 【分析】（1）①由题意补全图形即可，由轴对称的性质可得，从而可证，得到，由已知 “等边对等角”可得即可证明结论； ②根据“等边对等角”得，连接EF，交射线于点M，则，由轴对称的性质可得 、，在中，由边角关系得，由“三角形的应外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，从而得到，证明可得即从而完成解答； （2）与（1）同理可得：，，即可解答 【详解】（1）解：①依据补全图形如下： ∵点E点F于射线对称， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， '∴， ∴； ②线段，，之间的数量关系，证明如下： 在中，， ∴， 如图，连接EF，交射线于点M， ∴， ∵点E与点F关于射线对称， ∴直平分， ∴，,， ∴ ，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴； （2）解：如图2：当点D线段延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系是，理由如下： 如图：连接，交射线于点M，则， 与（1）同理可得：,,， ∴， 与（1）同理可得：， ∴， ∴ ， ∵,， ∴. 5．（2024·北京东城·一模）已知，点为边上一个定点，点为线段上一个动点（不与点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，，点关于直线的对称点为点，连接，． (1)如图1，若点P为线段的中点． ①直接写出的度数； ②依题意补全图形，并直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，若线段与交于点D． ①设，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)①；②，证明见解析 【详解】（1）解：①，关于对称， ，， 是等边三角形， ， 点为线段的中点， ， ， ． ②图形如图所示：结论：． 理由：，，关于对称， ， ， ， ， ． （2）①如图2中，连接，． ，关于对称， ，， ， ， ，， ， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， ， ． ②如图中，结论：． 理由：连接，在上取一点，使得． ， ，，，四点共圆， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，关于对称， ， ． ∴． 6．（2025·北京第十三中学分校·三模）在中，，是直线上一点（点D不与点A、B重合），连接并延长到E，使得，过点E作，交直线于点． (1)如图1，当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段的数量关系是否发生改变，并证明． 【答案】(1)，证明见解析； (2)改变，，补图和证明见解析． 【详解】（1）解：结论：． 理由如下：过D作于H， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 （2）解：依题意补全图形． 结论：． 证明：过D作交的延长线于H， ∵于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 题型2 最值问题 考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二次函数或者利用几何性质解答。 7．（2025·北京汇文中学·三模）在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2025年北京汇文中学中考三模数学试题 【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答； （3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点K， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴点D在圆O上， ∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 8．（2024·北京交大附中二分校·模拟）在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合）将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形： (1)求的度数； (2)探究线段之间的数量关系； (3)将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，当时，请写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2024年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、旋转的性质，锐角三角函数等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）先说明，从而得出低昂A、E、C、F共圆，然后根据圆周角定理即可解答； （2）在上截取，作于H，可证得，从而、，进而得出，然后解直角三角形即可解答； （3）将绕点A顺时针旋转至，连接，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解即可． 【详解】（1）解：如图1: ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴点A、E、C、F共圆， ∴； （2）解：如图2，， 在上截取，作于H， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，将绕点A顺时针旋转至，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当N、E、C三点共线时最小， 在等腰直角中： ， ∴的最小值为． 9．(24-25九下·北京海淀区十一学校·二模)如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当P是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点Q作直线，交直线于点M，作交射线于点N，请补全图2，探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，O为的中点，M为线段上的动点，N为线段上的动点，，D为线段的中点，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)最小值为 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∵，点P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意可得如图： 连接，作，交于点D， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， O为的中点， ∴，， ∴． ∵，D为线段的中点， ∴， ∴点D在以点O为圆心，以1为半径的圆上运动． ∵， ∴最短时，线段值的最小． 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在与成角的射线上运动， ∴当时，的值最小，即线段取得的最小值． ∵， ∴线段取得的最小值为． 10．（2025·北京顺义·二模）在等腰中，，线段上存在一动点（不与点重合），连接．将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接分别是线段的中点． (1)如图1，若，当恰好是边的中点时，______，的度数为______． (2)如图2，若，当是边上的任意一点时（不与点重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，当点在边上，且，在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)； (2)两个结论均成立，理由见解析． (3) 【详解】（1）解：设 ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是边的中点，点M是边的中点， ∴E与M重合，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：上述两个结论均成立，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵M是中点， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，，直线和相交所成的锐角的度数为； （3）解：如图，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 同（2）得：， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形，则， 即的最小值为． 11．(22-23九下·北京西城区北京四中·二模)已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点． (1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明； (3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值． 【答案】(1)补全图形如图所示， (2)，证明见解析 (3)线段长的最大值为，最小值为 【详解】（1）解：补全图形，如图所示， 连接，以为半径为圆心作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ （2）， 证明：如图所示，过点作于点，连接，设交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴； ∵平分，又， ∴ 又（1）可得， ∴ ∴，又，则是等腰直角三角形， ∴， 又∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 即 （3）解：如图所示， 以为斜边在右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接， ∵， ∴， ∴在上运动， ∵，则的半径， 如图所示，过点作交延长线于点，则 ∴ ∴ ∴线段长的最大值为，最小值为 12．（2024·北京东城·二模）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）延长交于点，求证：为的中点； （3）在（2）的条件下，若的边长为1，直接写出的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【详解】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， 是等边三角形 为等边三角形 ， ，且， （2）如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ，且， 点是中点 （3）如图，连接， 是等边三角形， 点，点，点，点四点在以为直径的圆上， 最大为直径， 即最大值为1 题型3 几何与三角函数综合 主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．还需熟练掌握三角函数定义及特殊三角函数值。 13．（2025·北京陈经纶中学分校·零模）在中，已知，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，若，求的值： (2)如图2，当时，点为中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①图形见详解②，理由见详解 【来源】2025年北京市陈经纶中学分校中考数学零模试卷 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的三角函数比，三角形中位线性质定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质和作辅助线． （1）过点作于点，构造直角三角形，根据条件得出，再利用勾股定理和直角三角形的三角函数比即可求得结果； （2）①根据题意画出图形； ②延长到，使，连接，根据条件得出是等边三角形，再得出，根据全等三角形的性质得出平分，在上截取，连接则是等边三角形，根据条件再证明，最后根据等量代换得出． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 由旋转可得， 又∵， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， 假设，则，根据勾股定理得， ∴； （2）解：①补全图形如图所示 ② ，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 是的中点 ， 是的中位线， ， 由题意知， ， ， ， 是等边三角形， ，， 又 ， ， 在四边形中，， 如图，作于，作交延长线于，则， 又， ， 在和中 ， 又， ， 平分， ， 在上截取，连接则是等边三角形， ，， 由是等边三角形得，， ， 在和中 ， ，， ． 14．(2024·北京第五中学分校·二模)已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD． （1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）． （2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD； （3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．． 【答案】（1）α，（2）见解析；（3） 【详解】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M， ∵点C关于直线l的对称点为点D， ∴AD=AC，且AB=AC， ∴AD=AB=AC， ∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD， ∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD， ∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC， ∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α， ∴∠BDC=α， （2）如图2，连接CE， ∵∠BAC=60°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， ∵∠BDC=α， ∴∠BDC=30°， ∵BD⊥DE， ∴∠CDE=60°， ∵点C关于直线l的对称点为点D， ∴DE=CE，且∠CDE=60° ∴△CDE是等边三角形， ∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB， ∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE=BD， （3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF， ∵在△BOF中，BO+OF≥BF， ∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长， 如图，过点O作OH⊥BC， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BC=AC，∠ACB=45°，且OH⊥BC， ∴∠COH=∠HCO=45°， ∴OH=HC， ∴OC=HC， ∵点O是AC中点， ∴AC=2HC， ∴BC=4HC， ∴BH=BC-HC=3HC， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 15．（2023·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF． （1）依题意补全图1； （2）若DM＝1，求线段EF的长； （3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）1或． 【详解】解：（1）根据题意作图如下： （2）连接BM，如图2， ∵点D与点E关于AM所在直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°， ∵BM＝BF， ∴△ADM≌△ABF（SAS）， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD， ∴∠FAB＝∠NAE， ∴∠FAE＝∠MAB， ∴△FAE≌△MAB（SAS）， ∴EF＝BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝3， ∵DM＝1， ∴CM＝2， ∴BM＝， ∴EF＝； （3）设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x， ∴EF＝BM＝， ∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝， ∴AF＞AE， ∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF， ①当AE＝EF时，有＝3，解得x＝3 ∴tan∠DAM＝； ②当AF＝EF时，＝，解得，x＝， ∴tan∠DAM＝， 综上，tan∠DAM的值为1或． 故答案为：tan∠DAM的值为1或． 16．(2025·北京北师大实验中学·二模)如图，在中，，，在线段上取点，作于，连接，点是中点，连接. (1)求线段与的位置关系和数量关系，并证明； (2)将绕点顺时针旋转（）； ①在（1）中线段的位置关系和数量关系是否依然成立？请证明你的结论； ②若点是的重心，直接写出的值. 【答案】(1)垂直且相等；证明见解析 (2)①成立；理由见解析；② 【详解】（1）解：与垂直且相等；理由如下： ，， ，是中点， ， 点D、C、E在以为圆心、为半径的圆上， ， ∴； 即与垂直且相等； （2）解：①（1）中的结论仍然成立；理由如下： 延长到，使得，连接，如图，设交于，交于， ，，， ∴， ，， ∴， ， ， ， 又，， ∴ ，， ， 即， ∴为等腰直角三角形， ， ，， 即与垂直且相等； ②连接交于点H，连接，如图所示： ∵D是的重心，M是的中点， ∴、D、M三点共线，H为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵H为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2025·北京八十中学·二模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1． (1)求证：平分． (2)若，，求的值． (3)若，如图2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ， ， 平分． （2）过作于． 在矩形中，，， ，， ，， 由（1）得平分， ， ， ， 又， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （3）， 矩形是正方形， 设，则， 由（2）知：， ，， ∴， ，平分， ∴， ， ， ， ． 18．（2025·北京朝阳·二模）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值； （2）延长交于点，交于点．求的值． 【答案】[问题呈现]1；[类比探究]；[拓展提升]（1），（2） 【详解】[问题呈现]解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； [类比探究]解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展提升]解：（1）， ， ， ， ，， ， ， ； （2）由（1）得：， ， ， ， ． 题型4 含相似几何证明 主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键． 19．（2025·北京第十三中学分校·三模）如图，在中，D为边上的一点，且满足，作点D关于直线的对称点E，过点A作，交延长线于点F，连接． (1)依题意补全图形，并证明； (2)过点C作的垂线，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析． 【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题 【分析】（1）根据作点D关于直线的对称点E，过点A作，交延长线于点F，连接，先作好图形，再得，结合平行线的性质以及等边对等角，故，由等角对等边，得，最后证明是的中位线，即可作答． （2）由（1）得，先整理得，结合过点C作的垂线，得，故，证明,，则，因为，则、C在以为直径的圆上，根据角之间的关系得出四点共圆，运用圆周角定理得，故，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作于K，连接，交于H， ， ， ， ， ， ， ∴是的中点， ∵作点D关于直线的对称点E， ，即H是的中点， ∴是的中位线， ； （2）解：连接、、，作于N， 由（1）得， ∵作点D关于直线的对称点E， ， 由（1）得 ， ∵过点C作的垂线，交于点G， ∴， ∴ ， ∵ , 同理得 ， ∵作点D关于直线的对称点E， ， ， 、C在以为直径的圆上 ∵作点D关于直线的对称点E， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴四点共圆， 在以为直径的圆上 ， ． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，四点共圆，勾股定理，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．（2025·北京门头·一模）如图，在四边形中，，于，于，，的延长线交于． (1)求证：； (2)过点作，交于，以为圆心，长为半径作弧，交于，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析  ②；证明见解析 【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意， ，，由，得到即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到，使，连接，则， 由（1）得 ，可证 ，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：①依题意补全图形，如图： ②与之间的数量关系是， 证明：延长到，使，连接， ， ， 又∵由（1）得， ， ∵以为圆心，长为半径作弧，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．（2024·北京顺义·二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【来源】2024年北京市顺义区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意描述作图即可； （2）根据旋转可得，证明，，根据平行线分线段成比例和得出，即可证明； （3）过点作交于点，证明，得出，从而证明，再根据且，得出，，，从而证明，即可求解； 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）． 证明：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 即， ， ， ， ， ， 22．（2023·北京中国人民大学附属中学·三模）等边中，、、分别是、、上的点，若．    (1)求的度数； (2)若是的中点，连接并延长交于点，补全图形并探究与之间的数量关系； (3)若，过作交于点交于点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)补全图形见解析， (3) 【来源】2023年北京市中国人民大学附属中学中考三模数学试题 【分析】（1）证明,得，同理，则，得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）补全图形，过点E作交于点M，过点D作交于点N，根据平行线分线段成比例定理得到，，则，证明，则，可得,，则，由即可得到结论； （3）过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，由是等边三角形，，则 ，，由勾股定理可得，可证，由（2）可知，，由平行线分线段成比例定理得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴, ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的度数为； （2），理由如下： 连接并延长交于点，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，    ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴, ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，如图，    ∵是等边三角形，， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，适当添加辅助线和熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 23．（2023·北京八一教育集团&北京十九中·零模联考）在中，，，将线段绕点逆时针旋转角得到线段，连接，过点作于点，连接交，于点，． (1)当时，如图1，依题意补全图形，直接写出的大小； (2)当时，如图2，试判断线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若为的中点，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【来源】2023年北京市八一教育集团&amp;北京市第十九中学九年级零模联考数学试卷 【分析】（1）根据题意作图，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可求解； （2）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可求出；连接，可证明是直角，再根据等腰直角三角形的判定和性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）过点F作，通过，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）依题意补全图形，如图所示： 由旋转得， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴； （2），证明如下： 连接， 由旋转得， 又， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 又 即 （3）过点F作，则， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 24．（2025·北京海淀·二模）在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝ 【详解】解：（1）①如图1，补全图形    ②连接AD，如图1． 在Rt△ABN中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝， ∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM＝AN＝， AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴， ∴； （2）如图，连接NQ，    由平移知：AN∥DM，且AN＝DM． ∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且AN＝PQ． ∴四边形ANQP是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴， 又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4， ∴， ∴NB＝或（负数舍去）． ∴ME＝BN＝． ∴CE＝ 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：50分钟） 1．在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． (1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)连接，依题意补全图2．若，求的大小． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论． （2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解． 【详解】（1）解：线段与的数量关系：． 证明：连接，如图1． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ． ． ． 是等边三角形． ，． 中，，， ． 依题意，得，点在上． ． ． ． ． ． 在中，． ． ． （2）解：依题意补全图2，如图． 方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2． ， ． ， 是等边三角形． ，． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ， ． ， ． ． ， ． ，， ． ． ． ． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ． ， ． ． ，， ． ． ． 由（1）可得． 为中点， ． ． ，，， ． ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 2．如图，中，，将绕点C顺时针旋转一个角度，使点B的对应点D在的内部，得到，延长交于点F．    (1)求证：； (2)连接，，延长交于点G． ①补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明性质，以及旋转的基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）连接，通过旋转性质得到，，进而得到，从而可得证； （2）①按题意补全图形即可； ②在上截取，先利用证得，得到，再利用角度之间的关系得到，进而得到，再通过等量代换即可得到． 【详解】（1）证明：连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如下：    ②，理由如下： 如图，在上截取， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点04几何动态与变换综合题 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/考向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知 ★技巧点拨 ★类题夯基 考向几何证明 第三部分重提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 -◆》》)◆ 重●难●考●向●解●读 2023、2024、2025年考法解读 2026年考法预测 中考数学中几何证明的各种点主要考向分为 两类： 预测考查方向：旋转变换与手拉手模型，将某三 一、 全等证明（每年1道，7分）； 角形绕公共顶点旋转，构造全等三角形转移线段。 二、相似证明（每年1题，7分）； 还需关注与等边三角形、正方形结合。 考查内容稳定，以解答题为主，含辅助线，难 度较大. 探究数量关系 最值问题 几何证明压轴题 几何与三角函数综合 含相似几何证明 重●难●要●点●剖●析 考向几何证明 型1探宝数量关系 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 回棉豪妙竹 考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂 直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活 运用，添加适当的辅助线是解此题的关键. 1.(2022北京西城·二模)在ABC中，AB=AC,过点C作射线CB,使∠ACB'=∠ACB（点B与点B在 直线AC的异侧)点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°. IB IB B C() 图1 图2 (1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB的位置关系是-，若BC=a,则CD的长为-；（用含a的式子 表示) (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE. ①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明； ②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明. 2.(2023北京朝阳.一模)如图，∠MON=a,点A在ON上，过点A作0M的平行线，与∠MON的平分线 交于点B,点C在OB上（不与点O,B重合），连接AC,将线段AC绕点A顺时针旋转180°-Q,得到线 段AD,连接BD. D (1)直接写出线段A0与AB之间的数量关系，并证明LMOB=∠DBA； (2)连接DC并延长，分别交AB,OM于点E,F.若α=60°，用等式表示线段EF与AC之间的数量关系， 并证明， 3.(2025北京延庆区一模)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在 等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上. D D D p 图① 图② 图③ 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)【动手操作】 如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题 意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度； (2)【问题探究】 根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,探究线段BA,BP,BE之 间的数量关系，并说明理由。 4.(2023北京大兴.一模)在ABC中，AC=BC,∠C=90°，点D为射线CB上一动点（不与点B,C重 合)，连接AD,点E为AB延长线上一点，且DE=AD,作点E关于射线CB的对称点F,连接BF,DF. 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段CB上时， ①依题意补全图形，求证：∠DAB=∠DFB; ②用等式表示线段BD,BF,BC之间的数量关系，并证明： (2)如图2，当点D在线段CB的延长线上时，直接用等式表示线段BD,BF,BC之间的数量关系。 5.(2024北京东城一模)已知∠MAN=30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与 点A,B重合)，点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ,点A关于直线BQ的对称点为点C, 连接PQ,CP. C N D M B P M B 图1 图2 (1)如图1，若点P为线段AB的中点. ①直接写出∠AQB的度数； 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系： (2)如图2，若线段CP与BQ交于点D ①设∠BQP=,求∠CPQ的大小（用含O的式子表示）： ②用等式表示线段PC,DQ,DP之间的数量关系，并证明. 6.(2025北京第十三中学分校三模)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是直线AB上一点（点D不 与点A、B重合)，连接DC并延长到E,使得CE=CD,过点E作EF⊥BC,交直线BC于点F, 图1 图2 (1)如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否 发生改变，并证明. ◆型2最值问题 回棉豪妙计 考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知 识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二 次函数或者利用几何性质解答。 7.(2025北京汇文中学.三模)在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D为平面内一点. D B 图1 图2 (1)如图1，若点D在线段BC上，且∠BAD=∠CAD,求1an∠BAD的值； (2)如图2，若点D为ABC内部一点，且∠BDC=I35°，连接AD,点E为AD的中点，连接BE,用等式 表示线段BD,BE,CD的数量关系，并证明 (3)若点D满足∠BDC=135°，当AB=√2时，请直接写出AD的最小值. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(2024北京交大附中二分校，模拟)在等边ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D 重合)将线段EB绕点E顺时针旋转至EF,使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形： E E D B D 图1 备用图 (1)求∠CEF的度数； (2)探究线段AC,AE,AF之间的数量关系； (3)将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H,连接CH,当AE=BH时，请写出CH+CE的 最小值 9.(24-25九下·北京海淀区十一学校二模)如图，在ABC中，AB=AC,，∠BAC=,P为线段BC上的动 点（不与点C重合），将线段AP绕点A顺时针旋转α得到线段AQ. P B 图1 图2 图3 (1)如图1，当P是BC中点时，连接BQ,求证：BP=BQ; (2)如图2，过点Q作直线QM∥AC,交直线BC于点M,作QN1QM交射线MB于点N,请补全图2，探 究线段MW和线段CP的等量关系并证明： (3)如图3，若AB=AC=6,a=120°，O为BC的中点，M为线段A0上的动点，N为线段BC上的动点， MN=2,D为线段MN的中点，求线段QD的最小值. 10.(2025北京顺义二模)在等腰ABC中，AB=AC,线段BC上存在一动点E(不与点B,C重合)，连 接AE,将线段AE绕点A按逆时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF,连接EF,M,N分别是 线段BC,EF的中点. B E(M) E 图1 图2 图3 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MN (1)如图1，若∠BAC=60°，当E恰好是边BC的中点时， BE ∠NMC的度数为一 (2)如图2，若∠BAC=60°，当E是边BC上的任意一点时（不与点B,C重合），上述两个结论是否成立？若成 立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 3)如图3，若∠BAC=90,AB=3√2，当点G在边BC上，且CG=,CB,在点E的运动过程中，求线段 GN的最小值. 11.(22-23九下.北京西城区北京四中.二模)已知正方形ABCD,将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE, ∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F,过点C作直线BE的垂线CH,垂足为点H, D E (1)当α为锐角时，依题意补全图形，并直接写出∠DEB的度数； (2)在(1)的条件下，写出线段BE和FH之间的数量关系，并证明； (3)设直线CH与直线DE相交于点P,若AB=2,直接写出线段AP长的最大值和最小值. 12.(2024北京东城二模)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A,C重合）， 连接BP,过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接 DE,CE. (1)求证：BD=CE; (2)延长ED交BC于点F,求证：F为BC的中点； (3)在(2)的条件下，若AABC的边长为1，直接写出EF的最大值. E D 的 型3几何与三角函数综合 6/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 回棉豪妙竹 主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、 翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线.还需熟练掌握三角 函数定义及特殊三角函数值。 13.(2025北京陈经纶中学分校零模)在ABC中，已知∠ACB=a(0°<a<180),以点B为中心，将线段 AB逆时针旋转a得到线段BD,连接CD 图1 图2 (1)如图1，当au=90°时，若AB=CD,求sin∠BAC的值： (2)如图2，当a=120°时，点E为CD中点，连接BE. ①依题意补全图形： ②用等式表示线段AC,BC,BE的数量关系，并证明. 14.(2024北京第五中学分校二模)已知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,直线1经过点A(不经过点B 或点C),点C关于直线1的对称点为点D,连接BD,CD. (1)如图1，求∠BDC的度数（用含a的式子表示）. (2)如图2，当a=60°时，过点D作BD的垂线与直线1交于点E,求证：AE=BD; (3)如图3，当α=90时，记直线1与CD的交点为F,连接BF,将直线1绕点A旋转，当线段BF的长取 得最大值时，直接写出tan∠FBC的值.， D 图1 图2 图3 15.(2023北京东城一模)如图，在正方形ABCD中，AB=3,M是CD边上一动点（不与D点重合），点 D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF,AF. (1)依题意补全图1； (2)若DM=1,求线段EF的长； (3)当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值. 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D M 图1 备用图 16.(2025北京北师大实验中学.二模)如图，在△AEC中，∠AEC=90°，AE=CE,在线段AE上取点B, 作BD⊥AC于D,连接BC,点M是BC中点，连接DM、EM. A A B M M (1)求线段DM与EM的位置关系和数量关系，并证明； (2)将△ABD绕点A顺时针旋转o(0°<a<45°)： ①在(1)中线段DM、EM的位置关系和数量关系是否依然成立？请证明你的结论； ②若点D是ABC的重心，直接写出cOs∠BAC的值 17.(2025·北京八十中学.二模)已知点E是矩形ABCD边DA延长上一点，且AE=AC,O是对角线AC和 BD的交点.连接CE,交AB于F,交BD于G,连接OF,如图1. B C B F E D A (图1) (图2) (1)求证：CE平分∠ACB. (2)若AB=3,AD=4,求tan ZAOF的值， 6若B0,图2,88C的能。 18.(2025北京朝阳二模)【问题呈现】 如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD,CE,易知 BD CE 【类比探究】 如图2， 4BC和ADE都是等腰直角三角形，LABC=∠ADE=90~,连接BD,CE.则 CE 【拓展提升】 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，ABC和DE都是直角三角形，L4 BC-ZADE=90,且轮轮-，连接D,CE (1)求BD的值： CE (2)延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin ZBFC的值. 图1 图2 图3 ◆题型4含相似几何证盟 回棉豪妙竹 主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角 形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键. 19.(2025·北京第十三中学分校三模)如图，在ABC中，D为AB边上的一点，且满足CD=CA,作点D 关于直线BC的对称点E,过点A作AF⊥AB,交DC延长线于点F,连接EF, (1)依题意补全图形，并证明EF∥BC; (2)过点C作BC的垂线，交AF于点G,连接BG,用等式表示线段BD,BG,GF之间的数量关系，并证 明， 20.(2025北京门头一模)如图，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ADB,CB⊥BD于B,AF⊥BD于F, CB=AF,AF的延长线交CD于E, 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 求证：EF=4r: (2)过点A作GA⊥AD,交BD于G,以G为圆心，BG长为半径作弧，交AB于H,连接HD. ①依题意补全图形： ②用等式表示EF与HD之间的数量关系，并证明. 21.(2024北京顺义二模)如图，ABC中，AB=AC,∠BAC=,D为AC上一点（不与点A、C重合）， 将线段DA绕点D顺时针旋转a,得到线段DE,连接BD.并延长到点F,使DF=BD,作射线FE,交 射线BA于点G. (1)依题意补全图形： (2)求证：BG=2DE; (3)在射线BA上取点H(不与点G重合)，使AH=AG.连接CH、CF,用等式表示线段CH与CF的数量 关系，并证明. 22.(2023北京中国人民大学附属中学.三模)等边ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点， 若AD=CF=BE. B E 备用图 (1)求∠DFE的度数： (2)若G是DE的中点，连接BG并延长交AC于点H,补全图形并探究BG与GH之间的数量关系； (3)若DE=6,过B作BH⊥DE交DE于点H交AC于点G,请直接写出BG的长. 23.(2023北京八一教育集团&北京十九中.零模联考)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,将线段 10/12