第6章 2 培优专题21：概率与代数、几何图形的综合-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第六章对概率的进一步认识☑ 培优专题21：概率与代数、几何图形的综合 数 类型一：概率与代数 图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是 素 1.（滨州中考)若从一1,1,2这三个数中任取两 ( ) 个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第 2 二象限的概率是 A.3 2.（黄冈中考)在一4，一2,1,2这四个数中随机 D.4 取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中 6.[一题多辨](1)如图①，在2×2的正方形网 a,b的值，则该二次函数的图象恰好经过第 格中有9个格点，已经取定点A和B,在余下 一、二、四象限的概率为 的7个格点中任取一点C,使△ABC为直角 3.(淮安中考)一只不透明袋子中装有3个大 三角形的概率是( 小、质地都相同的小球，球面上分别标有数 A 2 B 7 D. 1,一2,3，搅匀后先从中任意摸出1个小球 (不放回)，记下数作为点A的横坐标，再从余 下的2个小球中任意摸出1个小球，记下数作 为点A的纵坐标. B B (1)用画树状图或列表的方法写出所有可能 ① ② 出现的结果 (2)如图②，A,B是边长为1的小正方形组成 (2)求点A落在第四象限的概率， 的网格上的格点，在格点中任意放置点C,恰 好能组成△ABC且面积为1的概率是( ) A号 B写 c清 D? 5 7.已知四边形ABCD,在下面四个条件：①AB∥ 用 CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC中 任选两个作为已知条件，能判定四边形 ABCD是平行四边形的概率是 识 8.[空间观念]一个均匀的立方体六个面上分别 标有数字1,2,3,4,5,6.如图是这个立方体的 表面展开图.抛掷这个立方体，求朝上一面的 类型二：概率与几何图形 4.(泰安中考)下列图形，任取一个是中心对称 数恰好等于朝下一面的数的2的概率。 图形的概率是( 53 A. B.2 c D.1 5.（南平中考)如图，在2×2网格的格点上放置 了三枚棋子，在其他格点处再放置一枚棋子，使 做神龙题得好成绩 89 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 类型三：利用线段的长度或图形的面积求概率 14.(苏州中考)一个小球在如图所示的方格地 学 9.如图，AB=10cm,MN=2cm.在线段AB上任 砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上 意取一点，该点在线段MN上的概率为( 每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小 M N B 球停留在阴影区域的概率是 B 象能 10.如图所示，镖盘为两个半径比为1：2的同 心圆，其中阴影部分为小圆内部一个圆心角 运算 B 为90°的扇形，向大圆内投掷飞镖，则飞镖落 第14题图 第15题图 力 在阴影部分的概率为( ) 15.[几何直观]如图，一只蚂蚁在正方形ABCD A 8 D. 4 区域内爬行，点O是对角线的交点， ∠MON=90°，OM,ON分别交线段AB, BC于M,N两点，则这只蚂蚁停留在阴影 区域的概率为 推 16.(成都中考)汉代数学家赵爽在注解《周髀算 能力 第10题图 第11题图 经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的 11.(徐州中考)如图，小明随意向水平放置的大 瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形 正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小 都是全等的，它们的两直角边之比均为 正方形内部（阴影）区域的概率为( 2:3.现随机向该图形内掷一枚小针，则针 0. 1 尖落在阴影区域的概率为 12.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘， 识 其中三个正三角形涂有阴影.转动指针，指 针落在阴影区域内的概率为a;如果投掷一 枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为b.关 17.七巧板是一种传统智力玩具.如图，在正方 于a,b大小的正确判断是() 形纸板ABCD中，BD为对角线，E,F分别 A.ab B.a=b 为BC,CD的中点，AP⊥EF分别交BD, C.a<b D.不能判断 EF于O,P两点，M,N分别为BO,DO的 中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可 得到一副七巧板.在剪开之前，随机向正方 形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形 ONFP内的概率为 第12题图 第13题图 13.(成都中考)如图，已知⊙O是小正方形的外 接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随 意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概 视频讲解 率是 90 做神龙题得好成绩10.解：(1)42或3(2)根据题意，得 6十m4 10 5,解得m= 2r,CF=√2r,∴.这个点取在阴影部分的概率是 2,.m的值为2. r2-(W2r)2_x-2 (2r)2 4 11.解：1)2 (2)画树状图如下： 开始 第三局获胜 甲 第四局获胜 14. 3 第五局获胜 共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局的结果数为 15. 4 [解析]根据正方形的性质可得∠MBO=∠NCO= 7,所以甲队最终获胜的概率是8 45°，OB=O℃，∠BO℃=90°，通过角的计算可得出∠MOB 培优专题21：概率与代数、几何图形的综合 =∠NOC,由此即可证出△MOB≌△NOC,从而可得 .1 1号2 S朝影=4SE方形Am,再根据几何概率的计算方法即可得 出结论. 3.解：(1)列表如下： 12 -2 16.13 78 (1,-2) (1,3) *3用频率估计概率 -2 (-2,1) (-2,3) 第1课时用频率估计概率 3 (3,1) (3,-2) 1.A (2)由表可知，共有6种等可能的结果，其中点A落在第四 2.(1)0.520.500.520.520.490.510.50 (2)0.5 象限有2种结果，所以点A落在第四象限的概率为 2 3.D4.A 5.解：(1)4件同型号的产品中，有1件不合格品， 4.C5.C6.(1)D @A1.号 ·P(抽到的是不合格品)= 4 (2)画树状图如下： 8.解：根据展开图可知，1与4相对，2与5相对，3与6相对 第1件 不合格 画树状图如下： 开始 第2件合格，合格2合格：不合格合格：合格：不合格合格1合格：不合格合格1合格： 上面 共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的结果有 下面 4 6种，P(抽到的都是合格品)=12=2· 61 (3):大量重 共有6种等可能的结果，朝上一面的数恰好等于朝下一面 复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴.抽到合 的数的}的结果有1种，所以朝上一面的数恰好等于朝 格品的概率约等于0.95十-0,95，解得工=16， 1 1 下一面的数的2的概率为 的值大约是16. 9.B10.B11.C12.B 1 6.6 7.0.9 13.2 4 [解析]如图，连接OA,OC,作OD⊥CF,OB⊥ 8解：(1)参加此项游戏得到玩具的领率是80=马 400=5, AE,设⊙O的半径为r.,⊙O是小正方形的外接圆，是 大正方形的内切圆，∴.OB=OC=r,△AOB,△COD是等 (②设袋中共有x个球，则摸到红球的概率为至.：8 腰直角三角形…AB-0B=7,0D-CD-号AE 号，解得x=40,∴袋中白球的数量接近40一8=32（个）。 9解：2点制上的颜率为点-015,4点朝上的频率 6.解：小英设计的模拟试验比较合理.小海选择的啤酒瓶盖 质地不均匀；小东操作转盘时试验次数太少，没有进行大 为品-16（②）小明的说法错误，因为只有当试验的 量重复试验 7.解：(1)该抽奖方案符合厂家的设奖要求.理由：分别用黄1、 次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概 黄2、白1、白2、白3表示这5个球.从中任意摸出2个球， 率附近；小亮的说法错误，因为事件发生具有随机性.（理 可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、 由合理即可)（③）P(小明投宽点数不小于3)-音-号。 (黄1，白3)、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1， 10.解：(1)480.81(2)这名运动员射击一次时“射中9环 白2)、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可 以上”的概率约为0.8.理由：从频率的波动情况可以发现 能性相同.所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记 频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时“射中 为事件A的结果有1种，即（黄1，黄2），所以PA)=0 9环以上”的概率约是0.8.（理由合理即可） 即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%. 第2课时用频率估计概率的应用 (2)示例：如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄 1.0.92 色，其余的区域涂上白色.顾客每购买一台该型号电视机， 2.解：(1)0.950.95(2)如图所示： 可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘 m 合格的频率 停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得 0.98 小奖.若指针指向分界线，重新转动，直到指向某一区域 0.96 0.94 为止 0.92 0.90 02004006008001000抽取足球数n 白色 369 黄色 (3)从这批足球中任意抽取1个是合格品的概率的估计值 是0.95.理由：因为从折线统计图中可知，随着抽取足球数 的增大，合格的频率逐渐稳定在常数0.95附近，所以从这 培优专题22：易错疑难集训 批足球中任意抽取1个是合格品的概率的估计值是0.95. 1.B2.5 (理由合理即可) 3.1004.(1)0.30.7(2)70个. [解析](1)出现向下的数字为4的频率为 5.16.560 7.解：(1)0.250.34(2)如图所示： 品-子·(2)两枚股子向下的数字之和的所有等可能的结 ↑出现红色球的频率 果如下表所示： 1.0 0.9 2 4 0.8 0.7 2 3 4 5 0.6 0.5 4 6 0.4 0.3 3 4 5 6 0.2 0.1F 6 7 04080120160200240280320360400摸球次数 共有16种等可能的结果，和为3的倍数的结果有5种， (3)随着摸球次数的增大，出现红色球的频率逐渐趋于稳 P(和为3的倍数)=16 定（合理即可） 8解：0.5（②号 4.解：(1)列表如下： 2 3 (3)π×1X3=3π（平方米）.答：估计整个封闭图形ABCD 3 的面积为3π平方米. 第3课时通过模拟试验估计概率 6 1.A2.D3.1~124.B5.0.250.50 6 同行学案学练测·25·