第5章 2 第2课时 圆心角的度数与它所对弧的度数的关系&培优专题1-2：利用点与图的位置关系求线段的取值&几何直观—题中无圆，心中有圆(隐圆问题)

同行学案学练测 4,x2=-4,则A(-4,0),B(4,0),.OA=OB=4.:E 是线段BD的中点，.OE为△ABD的中位线，.OE= 参考答案 2AD,当AD最大时，OE最大.而AD过圆心C时， 1 数学九年级下LJ AD最大，即点D运动到D'位置时，AD最大.，AC= 第五章圆 √32+4=5，∴.AD'=AC+CD=5+2=7,∴.线段OE 1圆 的最大位是子 1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.3 cm<r<5 cm 8.(1)6或10(2)6.5cm或2.5cm9.C10.1211.A 12.D[解析]先连接OP,易知OP是Rt△AOB斜边上的中 线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可 得OP=号AB.由于木杆不管如何滑动，长度都不变，所 以OP就是一个定值，所以点P就在以O为圆心，以 号AB的长为半径的圆弧上. 2圆的对称性 13.√2[解析]：AC=AD,∠CAB=30°，.∠ACD= 第1课时圆的对称性 ∠ADC=75°.AO=OC,∴∠OCA=∠CAB=30, 1B2.B3.B445.B6.y=127.A8.C ∴∠OCD=45°，即△OCE是等腰直角三角形.在等腰 9.证明：连接AG.,四边形ABCD是平行四边形，AD∥ Rt△OCE中，OC=2,∴.OE=√2. BC,∴.∠EAD=∠ABC,∠DAG=∠AGB.AB=AG, 14.证明：如图，连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC,则 ∴∠ABC=∠AGB,∴∠EAD=∠DAG,.EF=FG OB=0D.:∠BAD=∠BCD=90,0A=2BD,0C 10.(1)C(2)B 11.3-1 =号BD,0A=OB=OD=0C∴A,B,CD四个点在 12.75°[解析]，多边形ABDEC是由边长为m的等边 同一个圆上 △ABC和正方形BDEC组成的，∴.AC=EC,∠ACE= ∠ACB+∠ECB=60°+90°=150°.⊙0过A,D,E三 点，.A0=E0.又OC=OC,.△AC0≌△ECO (SSS,∴ZA00=∠B00=7∠ACE=2X150=75 l3.3[解析]连接DE,GF.由题意得FG=DE,∴∠GCH =∠ACB.GH⊥BF,∴.∠GHC=90°，∴∠B=∠GHC 归纳总结：90° =90°，.△CGH∽△CAB,.GH:AB=CG:AC. 15.D[解析]连接PB.AB=AC,AD⊥BC,.CD=DB :AC=√JAB2+BC=√62+82=10，.GH:6=5: =号BC=5.“点E为PC的中点，DE是△PBC的中 10,.GH=3. 14.证明：(1)连接OC.点C是ACB的中点，∴AC=BC 位线，DE-PB,当PB取最大值时，DE的长最 ∠COD=∠COE.OA=OB,AD=BE,∴.OD=OE. 大.P是半径为4的⊙A上一动点，.当PB过圆心A .OC=OC,∴.△COD≌△COE(SAS),∴.CD=CE. 时，PB最大.BD=5,AD=12,.AB=√52+122= (2)连接OM,ON.:△COD≌△COE,∴.∠CDO= 13.,⊙A的半径为4，.PB的最大值为13+4=17， ∠CEO,∠OCD=∠OCE.OC=OM=ON,∴∠OCM DE长的最大值为8.5. =∠OMC,∠OCN=∠ONC,∴.∠OMD=∠ONE. ,'∠ODC=∠DMO+∠MOD,∠CEO=∠ENO+ 16.解：如图，连接AD.当y=0时，一6x2+1=0,解得x1= ∠EON,∴∠MOD=∠NOE,∴.AM=BN 15.证明：连接AC,BD.C,D是AB的三等分点，AC= AB,∴.DE⊥OC,.CD=OD.(2)解：，⊙O的直径是 C=号AB.:∠A0B=90,∠A0C=∠D0C= 4,.OE=OC=CF=2,CD=OD=1.在Rt△ODE中， 号∠A0B=号×90=300A=0B,∠A0B=90, DE=√2-1=√3.在Rt△EFD中，EF= √DE2+DF2=√(W3)2+32=2√5， ∴∠OAB=∠OBA=45°，∴.∠AEC=∠OAB+∠AOC =45°+30°=75°.C,D是AB的三等分点，.AC=CD =BD,.AC CD BD..OC=0A,..ZACO= 180,30=75,∠AC0=∠AEC,AC=AE,同理， 2 BF=BD.又'AC=BD=CD,∴.AE=BF=CD. 0 第2课时圆心角的度数与它所对 15.解：如图，连接OC,交AB于点F,延长CD,交OA于点 弧的度数的关系 E.C是AB的中点，BC=AC,∠AOC=∠BOC= 1.A2.A3.50°4.35°5.40°6.C 7.A[解析]如图，连接O1O2,O1P,O2P.点P在小量角 2∠A0B=2×120=60.:0B=0A,∠0Bn= 器上对应的刻度为63°，即∠01O2P=63°，而O1P= ∠OAF=30°，∴.∠BFO=90°，.OC⊥AB.在Rt△BOF O102,∴.∠01P02=∠0102P=63°，∴.∠P01O2=180° 63°-63°=54°，即点P在大量角器上对应的刻度为54°. 中，0B=0A=6,0F=20B=3,CF=6-3=3. ,CD⊥OA,∴∠OEC=90°，∴.∠OCE=30°.∠CFD= 90°，.DF=√3，∴.CD=2DF=23 。 0 02 8.60 9.50°[解析]如图，连接OD.由题可知BC垂直平分OD, .BD=BO..OB=OD,∴.BD=BO=DO,∴△OBD为 培优专题1：利用点与圆的位置关系求线段的取值 等边三角形，.∠DOB=60°，∴.∠AOD=∠AOB一 ∠D0B=110°-60°=50°，∴.AD的度数为50° 18<op< [解析]由题意，得OA=8,OB=6,∠AOB =90°.如图，连接AB,AC,取AB的中点D,即点D的坐 标为(4,3)，连接DP.又：D,P分别是AB,BC的中点， 0 ∴DP=号AC=号×5=号：D是定点，DP=号，∴点 10.证明：连接OC.,OA=OC,∴.∠OAC=∠AC0. P的运动轨迹是以点D为圆心，DP为半径的圆.，点D ACOD,∴.∠OAC=∠BOD,∠COD=∠ACO, 的坐标是(4,3)，∴.OD=√4+32=5，.OP的取值范围 .∠BOD=∠COD,∴BD=CD. 11.70°12.56° 是OD-DR,<OP<OD+DP,即5-<OP<5+号， 13.110°[解析]连接OE.BE的度数为40°，∠BOE= 40°.OB=OE,.∠OBE=∠OEB=(180°-40)÷2= 70°.，OC∥BE,∴.∠COE=∠OEB=70°，∴.∠BOC= ∠BOE+∠COE=110°. 14.(1)证明：如图，连接OE,CE.OC⊥AB,∴.∠AOC= 90°.CE=2AE,∴.∠C0E=2∠AOE,.∠C0E=60°， 而OE=OC,.△OCE为等边三角形.，DE∥AB,OC⊥ 同行学案学练测·9· 2.3[解析]令y=2-4=0,解得x=士4，故点B(4,0), 的最小值为(2√5一2)米. A 连接PB.点Q,O分别为AP,AB的中点，OQ是 M △ABP的中位线，∴.当B,C,P三点共线，且点C在P,B 之间时，PB最大，此时OQ最大，则OQ的最大值=2BP =2(BC+1)=2(V+3+1)=3. B77777777777n 培优专题2：几何直观一题中无圆， *3垂径定理 1.B2.243.C4.15.B6.B7.A8.C 心中有圆（隐圆问题） 9.解：分两种情况：当两条弦在圆心O异侧时，如图①，过点 1.A[解析]如图，连接AM.,点B和点M关于直线AP O作OE⊥AB于点E,延长EO交CD于点F,连接OB, 对称，'AB=AM=3,∴点M在以A为圆心，3为半径的 OD,可得OB=OD=5..AB∥CD,∴.EF⊥CD,∴.E为 圆上，.当A,M,C三点共线时，MC最短.AC= AB中点，F为CD中点.又AB=6,CD=8,.EB=3, √32+4=5，AM=3,∴.线段MC的最小值=5-3=2. FD=4.在Rt△OEB和Rt△ODF中，利用勾股定理，得 OE=√OB2-EB2=4,OF=√OD2-FD2=3,则弦AB 与弦CD之间的距离EF=OE+OF=4十3=7；当两条弦 A D 在圆心O同侧时，如图②，同理求出OE=4,OF=3,则弦 AB与弦CD之间的距离EF=OE-OF=4-3=1.综上， 弦AB与弦CD之间的距离为1或7. B P E 2.D[解析]如图，连接AB,取AB的中点N,连接ON, 0 MN.OM≥ON-MN,∴.当OM取最小值时，O,M,N 三点共线，即M在O,N之间，此时OM=ON一MN, ① ② :M,N分别是AC,AB的中点，MN=2BC=2 10.C[解析]过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于点G, 连接OB,OD,OE.由垂径定理得出DF=CF,AG=BG ,OA=OB,OA⊥OB,∴.AB=√OA2+OB2=2√2， =2AB=3,进一步得出EG=AG-AE=2,由勾股定理 ON=BN=2,∴OM=ON-MN=2-2,即OM的 得出OG=√OB2一BG=2,从而证出△EOG是等腰直 最小值是巨-是 角三角形，得出∠OEG=45°，OE=√2OG=2√2，所以可 求出∠OEF=30,由直角三角形的性质得出OF=2OE =√2，由勾股定理得出DF=√I,最后由垂径定理可得 CD=DF+CF=2V11. 11.4w2 12.B[解析]如图，作OG⊥BC于点G,延长GO交EF于点 3.解：如图，连接BE,BD.由题意得BD=√2+4= 2√5（米）.∠MBN=90°，MN=4米，EM=NE,∴.BE= H,连接B0,E0,则BG=号BC= B 合MN=2米点E的运动轨迹是以B为圆心，2米为半 0.7cm,∴.G0=√OB2-BG2= 2.4cm.EF∥BC,.OH⊥EF, 径的弧，当点E落在线段BD上时，DE的值最小，DE EH=号=24mOH= ·10·同行学案学练测 √OB2-EH=0.7cm,h=OH+OG十AB=0.7+3.(-1,-2)[解析]如图，分别过点M,N作x轴的垂线， 2.4十2.6=5.7(cm),即香水瓶的高度h是5.7cm. 过点A作AB⊥MN,连接AN,则BM=BN.设⊙A的半 13.(4√6一8)[解析]如图，设部分液体蒸发后的液面A'B 径为r,则AN=r,BM=BN=4-r.在Rt△ABN中，根 交OD于点E,连接OA'.由题意，得OA=OA'=OD= 据勾股定理得22十(4-r)2=r2,解得r=2.5,.BN=4- 5cm,OD⊥AB,OD⊥A'B',∴.AC=BC,A'E=B'E. 2.5=1.5,则点N到y轴的距离为AO-BN=2.5-1.5 .'CD=4 cm,.'OC OD-CD 1 cm,.AC= =1.又：点N在第三象限，.点N的坐标为（一1，一2）. √OA-OC=√52-1严=2√6(cm),∴.AB=2AC= 4/6cm.'DE 2 cm,:'OE OD -DE 3 cm, .A'E=√OA2-OE=√52-32=4(cm),∴A'B'= 2A'E=8cm,∴.AB-A'B'=(4√6-8)cm,即截面圆中 弦AB的长减少了(4√6-8)cm, 4.3十√2[解析]如图，过点P作PCLx轴于点C,交AB 于点D,作PE⊥AB于点E,连接PB.⊙P的圆心坐标 是(3a),.OC=3,PC=a.把x=3代人y=x得y=3, ∴.D点坐标为(3,3)，∴.CD=3,∴△OCD为等腰直角三角 形，∴△PED也为等腰直角三角形.PE⊥AB,∴AE= 14.A[解析]过圆心O作OE⊥CD于点E,连接OD,则 DE=CD=号X6=8:在R△0DE中，OD=专AB BE=号AB=2区.在R△PBE中，PB=3,∴PE=1, 合×10=5,0E=V0D-DE=V6-3=4,易 .PD=√2PE=√2，∴a=3+√2. y=x 得S四边形DMc=OE·CD=4X6=24. 培优专题3：考点整合—垂径定理的应用 1.B P 2.D[解析]如图，作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N, A 连接OB,OD.由垂径定理得BM=AM=2AB=4,DN 10 =CN=2CD=3.由勾股定理得OM=√OB-B-= 5.C [解析]如图，连接OC,OF,设OB=x.:四边形 43-4=四，同是，得ON=VO-DN ABCD是正方形且顶点D和C在圆周上，∴AB=BC= 2x,∠OBC=90°.，BG=4,四边形BEFG是正方形， V么5-了-385.：孩AB,CD互相垂直，OM LAB, .OE=x+4,EF=BE=BG=4,∠FEB=90°.在 ON⊥CD,∠MEN=∠OME=∠ONE=90°，∴.四边形 Rt△BCO中，OC=√x2+(2x)=√5x,在Rt△FEO中， MONE是矩形.ME=ON三3,5，tan∠OEA=aA OF=√(x+4)2+4=√2+8x+32.OF=OC, ∴5x2=x2+8x十32，解得x=4或x=-2(舍去).当x= √17 2 √85 4时，OC=45,则半圆0的半径是45. 3√5 15 2 A O B E 6.B[解析]如图，作OK⊥PC于点K,设正方形PFGH的 边长是x.,四边形PCDE是正方形，∴.∠CPD=45°.第2课时 圆心角的度数 (教材P11 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点：弧的度数 1.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两 条弧，则该弦所对的圆心角的度数是() A.90° B.45° C.1359 D.45°或135 2.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD的各 顶点均在⊙O上.若BC=CD=DA=2cm, 则⊙O的周长为() A.4πcm B.6πcm C.8πcm D.10πcm 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以 点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D, 交AC于点E,则BD的度数为 4.如图，在⊙O中，直径AB弦CD.若∠COD= 110°，则AC的度数为 0 B 第4题图 第5题图 5.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点： 若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则 BC的度数为 即能力提升 >>>>>》>>>>>>>>> 难度等级中等题 6.如图，△ABC的两顶点A,B在⊙O上，点C 在圆外，∠C=46°，边AC交⊙O于点D, 第五章圆☑ 与它所对弧的度数的关系 12练习) DEBC且经过圆心交⊙O于点E,则AD 的度数为() A.46° B.92° C.88° D.44° 7.[创新意识]如图，将大小不同的两个量角器 的0°刻度线对齐，且小量角器的中心O2恰好 在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点 为P,且点P在小量角器上对应的刻度为 63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 （只考虑小于90°的角)() 02 A.54 B.55° C.56° D.57° 8.如图，将△AOB绕点A顺时针旋转得到 △ACD,使得点C,D都在⊙O上，且点C在 BO的延长线上，则旋转角的度数为 B 第8题图 第9题图 9.(济宁学院附中期中)如图，在扇形AOB中， ∠AOB=110°，将扇形AOB沿过点B的直线 折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交 OA于点C,则AD的度数为 做神龙题得好成绩 同行学案学练测数学九年级下LJ 素养提升微专题 【模型意识一平行线与直径所夹的弧】 10.(母题)如图，已知AB是⊙O的直径，弦 AC/OD.求证：BD=CD 11.(变式1)如图，已知AB和CD是⊙O的两 条直径，CE∥AB.若CE的度数为40°，则 AE的度数为 B E 第11题图 第12题图 12.(变式2)如图，AB为半圆O的直径，C,D 两点在AB上，且AD∥OC,连接BC,BD, 若CD=62°，则AD的度数为 13.（变式3)如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O 上的一点，BE的度数为40°，过点O作OC∥ BE交⊙O于点C,则∠BOC的度数为 视频讲解 做神龙题得好成绩 14.如图，AB是⊙O的直径，点C,E都在⊙O 上，OC⊥AB,CE=2AE,DE∥AB交OC于 点D,延长OC至点F,使FC=OC,连 接EF (1)求证：CD=OD. (2)若⊙O的直径是4，求EF的长. 即培优创新 >>>>>>>难度等级综合题 15.[推理能力]如图，在扇形AOB中，∠AOB= 120°，半径OA=6,C是弧AB的中点，CD⊥ OA,交AB于点D,求CD的长. D ( 第五章圆 数 培优专题1：利用点与圆的位置关系求线段的取值 学 素 1.如图，在直角坐标系中，已知点A(8,0)、点 养 2.(利津一模)如图，抛物线y=寻2-4与x轴 B(0,6),⊙A的半径为5，点C是⊙A上的动 交于A,B两点，P是以点C(0,3)为圆心，1 点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取 为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点， 值范围是 连接OQ,则线段OQ的最大值是 力 6 B 视频讲解 几何直 培优专题2：几何直观一题中无圆，心中有圆（隐圆问题) 1.(攀枝花中考)如图，在矩形ABCD中，已知 3.（广东中考)有一架竖直靠在直角墙面的梯子 AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点（点 正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间 P不与点B,C重合)，连接AP,作点B关于 的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙 直线AP的对称点M,则线段MC的最小值 面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的 念 为() 线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M,N分 别在射线BA,BC上，MN长度始终保持不 变，MN=4米，E为MN的中点，点D到 BA,BC的距离分别为4米和2米.在MN滑 动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值是 B 多少？ A.2 C.3 D.√10 A 2.如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2), E 点C为平面直角坐标系内一点，BC=1,点M 为线段AC的中点，连接OM,则OM的最小 B7777777777 7777777 值为() B 0 A.2W2-1 B.2√2+1 C.2+2 1 D2-月 做神龙题得好成绩 9