8.1一元二次方程 导学案 2025-2026学年鲁教版数学八年级下册

8.1一元二次方程（1） 【自主探究】 知识点一：一元二次方程概念及一般形式 1.一元二次方程的概念：只含有 个未知数x的 ，并且都可以化成_____ ____(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式：我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中 分别称为二次项、一次项和常数项，_________，_________，分别称为二次项系数和一次项系数. 针对训练一 1.有下列方程：①3x-1=0；② ③ ④(5x+2)(3x― 其中，一元二次方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列一元二次方程中，常数项为0的是( ) 3. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值不能是（  ） A． B． C． D． 4.将方程 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为_____＿，一次项系数为＿__＿＿. 5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项。 （1） （2） （3） 【基础巩固】 1.下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A.2x2－7=3y+1 B.5x2－6y－2=0 C.x－+x D.ax2+（b－3）x+c+2=0 2.已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 3.下列一元二次方程中是一般形式的是（ ） A.x2=1+x B.x2=x－3 C.2（x+1）=3x（x+2） D.－x2+2x－1=0 4.若方程x2+mx－15=0可以化成（x+3）（x+n）=0的形式，则m的值是（ ） A.3 B.－2 C.－4 D.6 5.关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A．0 B．±3 C．3 D．-3 6.把方程化成的形式，则a、b、c的值分别为（    ） A．3，，5 B．3，2，5 C．3，， D．3，2， 【素养提优】 1.若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为_____. 2.若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为( ) A.3 B.-3 C.±3 D.±9 3.若方程（m－1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A.m≠1 B.m≥0 C.m≥0且m≠1 D.m为任何实数 4.关于x的一元二次方程的一根为0，则m的值是 ． 【中考链接】 （德州·中考）若m是方程的一个实数根，则 【方法提炼】 （1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是一元二次方程的判断标准之一,但b,c可以为0. （2）如果明确指出方程ax2＋bx十c=0是关于x的一元二次方程,那么就隐含了a≠0这一重要条件.若ax2＋bx＋c=0是关于x的方程,则a的取值要分两种情况进行讨论:一是a≠0,方程为一元二次方程;二是a=0，方程不是一元二次方程. 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）（2分） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别是（  ）（2分） A．， B．， C．， D．， 3.方程的二次项系数为____ ______,一次项系数为___ ____,常数项为___ ___.（3分） 4.已知关于的方程．当m 时，为一元二次方程．（1分） 5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。（2分） （1） （2） 8.1一元二次方程（2） 【自主探究】 知识点一：一元二次方程的解的估算 根据上一课的第一个问题，化简方程为：。你能求出x吗？ （1） 根据题目中的已知条件，你能确定x的大致范围是___________________； （2） x可能小于0吗？__________可能大于4吗？___________可能大于2.5吗？__________ 理由是______________________ （3） 填写下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 （4） 你知道所求宽度x是多少吗？_______________________ 任务二：一个直角三角形的斜边长是11cm,两条直角边的差为7cm,求两直角边的长. （1）设短的直角边为x（cm），则根据题意可列方程：____________________________; （2）试着将这个方程化简_______________ （3） x可能小于0吗？可能小于2吗？可能大于4吗？试估计x的取值范围____________ （4）填写下表： x 2 2.5 3 3.5 4 初步确定x的取值范围_______________________; 进一步计算： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 此时，x的取值范围为_____________________. （5）所以x的整数部分是________,十分位是________. 归纳总结：上述思想是利用了“逼近”的方法，用“逼近”法估算方程的解的一般步骤： 1. 化为一般形式：______________________________; 2. 根据实际情况估计x大体的__________________； 3. 在x范围内取合适的值，能够使方程左边等于_______，则这个数就是方程的解； 4. 若在x范围内取值，没有一个数能够使方程的左边等于0，则找出使方程左边最接近0的未知数的值；根据精确度要求，用“两边夹逼”的方法确定一元二次方程的近似解。 针对训练一 1.根据下面的表格，确定方程的一个根的范围是（ ） x 1.0 1.1 1.2 1.3 0.5 -0.09 -0.06 -1.21 A.1.0<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.0<x<1.3 2.根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的取值范围是（ ） A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25＜x＜3.26 3.如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知关于x方程（） … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A． B． C． D． 【基础巩固】 1. 根据下表，确定一元二次方程的一个解x的取值范围（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.68 -0.32 0.08 0.52 A.1.1<X<1.2 B.1.3<X<1.4 C.1<X<1.2 D.1.2<X<1.3 2. 补全表格并求方程的解： x -2 -1 0 1 2 3 4 所以方程的解是________________________。 【素养提优】 1.根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（   ） 0 1 A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 2.已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【中考链接】 （日照·中考）若 ，那么关于x 的方程 必有一根是( ) A.1 B.-1 C. D. 0 【方法提炼】 夹逼法估计方程的根 1. 列表表示出未知数与对应的代数式的值 1. 由代数式一正一负的值,确定出未知数的取值范围,直到确定出整数部分上的数字. 1. 继续缩小取值范围,确定十分位上的数字…… 1. 最后按照实际需要确定近似解根. 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1. 若方程，那么其中一个解的范围在（ ）（2分） A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 2. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）（2分） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. x≈0.11 B.x≈1.69 C.x≈1.71 D.x≈1.19 3.探索关于的一元二次方程的一个解的过程如下表所示： 1 4 0.06 0.02 可以看出该方程的一个解应介于整数和之间，则整数，分别是（  ）（2分） A．， B．，1 C．1，4 D．4，5 4.某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）m取何值时该方程是一元二次方程，并指出二次项系数、一次项系数和常数项；（2分） （2）m取何值时是一元一次方程，并解此方程. （2分） 答案： 8.1一元二次方程（1） 【自主探究】 知识点一：一元二次方程概念及一般形式 1.一、 整式方程、( 2. (a，b，c为常数，a≠0) 3. a、b、 针对训练一 1.B. 2.D 3.B 4.1、-6 5. （1）解： 二次项：、二次项系数5、一次项：-4x、一次项系数：-4、常数项：-1 （2）解： 二次项：、二次项系数4、一次项：0、一次项系数：0、常数项：-81 （3）解： 二次项：、二次项系数3、一次项：-7x、一次项系数：-7、常数项：1 【基础巩固】 1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 【素养提优】 1.2 2.B 3.C 4.-1 【中考链接】-2022 【达标测评】 1.D 2.B 3.3、-2、-4 4.0 5. （1）解： 二次项系数1、一次项系数：-10、常数项：10 （2）解： 二次项系数2、一次项系数：-4、常数项：1 8.1一元二次方程（2） 【自主探究】 知识点一：一元二次方程的解的估算 （5） 0<x<2.5 （6） 不可能、不可能、不可能、实际问题中x<0无意义，若x>4则8-2x<0无意义，若x>2.5则5-2x<0 （7） 11、39.2、0、-4、-7、1.5 （8） 1m 任务二：（1）（2）（3）均不可能 （4）-18、-12.25、-6、0.75、8；3<x<3.5 -4.69、-3.36、-2.01、-0.64、0.75；3.4<x<3.5 （5）整数部分是3,十分位是4. 归纳总结：1.；2.取值范围；3.0 针对训练一 1.A 2.C 3.B 【基础巩固】 1.D 2.20、12、6、2、0、0、2 【素养提优】 1.C 2.C 【中考链接】 A 【达标测评】 1.C 2.C 3.B 4.（1）且解得m=1，方程为 二次项系数：2 一次项系数：-1 常数项：-1 （2） 当时，m=0，方程为，解得x=-1 当m+1=0时，m=-1,方程为-3x-1=0,解得 学科网（北京）股份有限公司 $