8.2 用配方法解一元二次方程 学案 2025--2026学年鲁教版八年级数学下册

第八章.一元二次方程 2用配方法解一元二次方程 第1课时直接开平方法 列清单·划重点 知识点①直接开平方法的概念 一般地，运用平方根的意义直接求出一元二次方程的解的方法叫直接开平方法 知识点②用直接开平方法解一元二次方程的步骤 (1)观察方程是否符合x2=a(a---------0)或 (x+a)2=b(a≠0，b-----0)的形式； (2)直接开平方，得到一元一次方程： (3)解一元一次方程得到原方程的根」 知识点③直接开平方法的使用范围及注意事项 (1)用直接开平方法解形如(x+a)2=b的一元二次方程时，要注意b的符号.当b_0时， 方程的解是x=士V6-a当b_0时，方程的解是x=a,当b<0时，方程实数解： (②)直接开平方法适合解一边是含的完全平方式，另一边是的形式的一元二次方程 明考点·识方法 考点①形如x2=a(a≥0)型方程的解法 典例1解方程： (1)y2=4(2)x2-3=0:(3)9x2-5=8 思路导析将方程化为x2=a(a≥0)的形式直接开平方。 变式1用直接开平方法解下列方程： (1)2y2=8(2)x2-15=0 (3)4x2-V64=0,(4)x(2x+1)=x+2 变式2解关于x的方程：bx2+1=2(b≠0) 考点②形如(x+a)2=b(b≥0)型方程的解法 典例2用直接开平方法解下列方程： (1)4(x-2)2-3=0 (2)x2-6x+9=7 (3)(x-2)2=4(2x+5)2 思路导析将方程化为((x+a)2=b(b≥0)的形式，开平方即可. 变式1若方程(x+2)2=m-1有解，则m的取值范围是一 变式2逐步分析 4(2x-1)2=36. 解：(2x-1)2=9 2x-1=9..第一步； 2x=8.第二步： x=4..第三步 ()以上解方程的过程中从第步开始出现错误； (②)请写出正确的解方程过程， 变式3用直接开平方法解下列方程： (1)9(2x-5)2-4=0 (2)V2(6-x)2=128V2, (3)25(x-4)2-4(5-2x)2=0 (4)x2-10x+25=(5-2x)2 考点③用直接开平方法求代数式的值 典例3若(x2+y2+3)(2+y2-3)=27,则2+y2的值为一 思路导析利用直接开平方法解方程，勿忽略a2+b2是非负数 变式1已知(x2+y2+1)2=81,则x2+y2=--- 变式2若关于x的方程(ax-1)2.16=0的一个根为2，则a的值为 变式3若(x2+y2-5)2=4,则x2+y2= 第2课时配方法 列清单·划重点 知识点①配方法 1定义：把一元二次方程配成得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做 配方法 2.配方的目的是，把一个一元二次方程转化为两个一元方程求解 3.配方的实质：当二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数的 知识点②配方法解一元二次方程的一般步骤 1移：把常数项移到等号的右边： 2.化：把二次项的系数化为1； 3.配：等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 4开：利用平方根的意义，将方程开平方降次； 5解：解两个一元一次方程 明考点·识方法 考点①二次三项式配方 典例1填空： (1)x2-4x+()=(x-----)3 (2)x2-x+()2=(x--)3 (3)4x2-6x+()=4(x- ---)3=(2x-y 思路导析1)(2)根据完全平方公式的特点，利用公式x2+x+(号)2=(x+)2进行配 方，(3)可直接配，也可提取4再配方 变式给下列各式配上适当的数，使其成为恒等式 (1)3x2+5x+--=3(x+--)3 (2)y2-5y+.---=(y-.-)月 (3)x2+x+-=(x+-)2 考点②用配方法解一元二次方程 典例2用配方法解方程： (1)x2-4x-7=0: (2)x(x-4)=2, (3)-3x2+4x+1=0. 思路导析先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一 次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可。 变式1用配方法解一元二次方程2x2-4x-1=0时，配方正确的是（) A(x-1)2= B.(x-1)2=克 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 变式2解方程： (1)x2+8x+3=0; (2)x+3)x-5)=1. 考点③配方法的其他应用 典例3先阅读下面的内容，再解决问题 例题：若m2+2mn+2n2-6n+9-0,求m和n的值. 解：：m2+2mn+2n2-6n+9=0, ：m2+2mn+n2+n2-6n+9=0, ÷(m+n)2+(n-3)2=0, m+n0,n-3=0, m=.3,n=3. 解决问题： (1)若x2-2xy+2y2+4y+4=0,求y的值； (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41,求第三边c的取值范围 变式1当x=时，代数式-2x2+4x+3有最（填“大”或“小”）值为 变式2已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-4b十13+3-c=0,请 问△ABC是什么形状的三角形？ 2用配方法解一元二次方程 第1课时直接开平方法 【列清单·划重点】 知识点1开平方 知识点2(1)2≥(2)两个(3)两个 知识点3(1)>=没有 (2)未知数非负数 【明考点识方法】 典例1 解：(1)开平方，得y=±2， 所以y1=2,y2=2 (2)移项，得x2=3, 方程两边同乘以3，得x2=9 方程两边同时开方，得x=±3， 所以X1=3,X2=-3 3)移项合并同类项，得9x2=13,方程两边同除以9，得x2=号，方程两边同时开方，得 x=士▣，所以=⑤x2=国 变式1 解：(1)方程两边同除以2，得y2=4,开平方，得y=±2， 解得y1=2,y2=-2 2移项，得x2=15, 方程两边同除以号，得x2=25, 开平方，得x=±5 解得81=5，X2=-5 (3)原方程可化为4x2-8=0, 移项，得4x2=8, 方程两边同除以4，得x2=2, 开平方，得x=±V2, 解得x1=V2,x2=-V2: (4)原方程可化为2x2=2, 方程两边同除以2，得x2=1, 开平方，得x=±1， 解得81=1，X2=-1. 变式2 解：方程整理，得bx2=1(b≠0)，即x2=言b时0)， 若b>0,开方得x=士合，若b0,方程无实数根 典例2 解：(1)移项，得4(x-2)2=3, 方程两边同除以4，得(x-2)2=寻 开平方，符x-2=士号 即x2=与或x2=.号 2) 所以x1=2+9,x=2号 (2原方程可化为(x-3)2=7, 开平方，得x-3=±万， 即x-3=V万或x-3=V万， 所以X1=3+V万，x2=3-V7 (3)开平方，得 x-2=±2(2x+5), 即x-2=2(2x+5)或x-2=-2(2x+5), 所以x1=4,82=-号 变式1m≥1 变式2 解(1)一 (2)4(2x-1)2=36 (2x-1)2=9 2x-1=±3， 2x=1+3或2x=1-3, X=2或x=-1 变式3 解：（①）整理原方程，得(2x-5)2= 直接开平方，得2x-5=士号 x1=名，x2=号 (2)V2(6-x)2=128V2 方程两边同除以2，得((6-x)2=128, 开平方，得6-x=±8V2 即6-x=8V2或6-x=-8V2 “x1=6-82,x2=6+8V2 3)原方程可化为[5(x-4)]2-[2(5-2x=0, 移项，得[5(x-4)]2=[2(5-2x)]2 5(x-4)=±2(5-2x), 即5(x-4)=2(5-2x)或5x-4)=-2(5-2x), X1=9,82=10 (4原方程可化为(x-5)2=(5-2x)2 方程两边开平方，得x-5=(5-2x), 即x-5=5-2x或x-5=2x-5, 4x1=9x2=0 典例36 变式18 变式2号或·月 变式33或7 第2课时配方法 【列清单划重点】 知识点11.完全平方式 2.降次一次3.一半平方 【明考点识方法】 典例10)42②是景（③）星 变式1号②异52(3)总 典例2 (1)x2-4x-7=0,x2-4x=7, x2-4x+4=7+4,即(x-2)2=11 .x-2=tv11, X1=2+V11,x2=2-V11; (2)整理原方程，得x2-4x=2, x2-4x+4=2+4,(x-2)2=6, x-2=±6， :x1=2+V6,x2=2-V6 (3)-3x2+4x+1=0,3x2-4x-1=0, 3x2-4x=1,x2-3x=3 x2-x+号=青+ (x)2- x土9， x=+9x=号 变式1A 变式2 解：(1)x2+8x+3=0,x2+8x=-3,x2+8x+16=16-3,(x+4)2=13, :x+4=±V13 ǎx1=-4+V13,x2=-4-V3 (2)(x+3)(x-5)=1,x2-2x=16, x2-2x+1=16+1,(x-1)2=17, “x1=土V17, “x1=1+7,x2=1-V17 典例3 解：(1)：x2-2xy+2y2+4y+4=0,