第八章 一元二次方程（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（鲁教版）

第八章《一元二次方程》 考试时间:120分钟 满分：120分 1． 选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1.（24-25八年级下·山东威海·期中）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级下·山东泰安·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 3.（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·山东淄博·期中）若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 5.（24-25九年级上·山东济宁·期中）某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 7.（2025·山东青岛·一模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 8.（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（2025·山西晋城·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 10.（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11.（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为 ． 12.（24-25九年级上·山东济宁·期中）写出一个一元二次方程 ，使它有两个不相等的实数根，且其中一个根是1． 13.（24-25九年级上·山东滨州·期中）爷爷的生日晚宴上，餐桌上大家两两碰杯一次．总共碰杯45次，那么参加这次宴会的人数为 ． 14.（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为 ． 15.（2025·江苏宿迁·二模）若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 16.（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元一次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ． 三．解答题（共8题，满分72分） 17.（6分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）解方程 (1) (2) 18.（6分）（24-25八年级下·山东威海·期中）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 19.（8分）（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 20.（8分）（24-25九年级下·北京·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 21.（10分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 22.（10分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？ 23.（12分）（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 24.（12分）（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章《一元二次方程》 考试时间:120分钟 满分：120分 1． 选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1.（24-25八年级下·山东威海·期中）下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握其概念是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、整理可得，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项正确，符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2.（24-25九年级下·山东泰安·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以，， 故选：A． 3.（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4.（24-25八年级下·山东淄博·期中）若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，是关于的一元二次方程，为常数)的两个实数根，则． 根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值． 【详解】解：设是方程的两根， ， ∵两根互为倒数， ∴， 解得或2； ∵方程有两个实数根，， ∴当时，，舍去， 故的值为． 故选：C． 5.（24-25九年级上·山东济宁·期中）某蔬菜种植基地2022年的蔬菜产量为968t，2024年的蔬菜产量为800t．设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x，则年平均下降率x应满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据该种植基地2022年及2024年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每年蔬菜产量的年平均下降率都为x， 则， 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 7.（2025·山东青岛·一模）已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为m，n， ∴， ∴， 故选：A． 8.（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，时，方程有两个不相同的根；时，方程有两个相同的根；时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，由，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 9.（2025·山西晋城·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，设停车位的宽为，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为，根据图形，结合矩形面积为，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设停车位的宽为，则长为，通车道的宽度为， 根据题意，可得：， 故选：C． 10.（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11.（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 (其中a、b、c是常数，)，其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项．根据一元二次方程的一般式可得答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 可得：． 一次项系数为： 故答案为∶ ． 12.（24-25九年级上·山东济宁·期中）写出一个一元二次方程 ，使它有两个不相等的实数根，且其中一个根是1． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟悉掌握因式分解法是解题的关键． 假设方程的另一个根为，利用因式分解法得出方程即可． 【详解】解：∵方程的其中一个根是，假设方程的另一个根为， 则由题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 13.（24-25九年级上·山东滨州·期中）爷爷的生日晚宴上，餐桌上大家两两碰杯一次．总共碰杯45次，那么参加这次宴会的人数为 ． 【答案】10人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设参加这次宴会的人数为人，根据餐桌上大家两两碰杯一次．总共碰杯45次建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设参加这次宴会的人数为人， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 即参加这次宴会的人数为10人， 故答案为：10人． 14.（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意可得： ， 故答案为：． 15.（2025·江苏宿迁·二模）若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：． 16.（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元一次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由关于x的一元一次方程有两个实数根，得到，由分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，，联立求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程有两个实数根， ∴， ∵分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的一元一次方程为， ， ∴k的值为， 故答案为：． 三．解答题（共8题，满分72分） 17.（6分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ 解得：，． （2）， ，． 18.（6分）（24-25八年级下·山东威海·期中）已知等腰三角形的三边长为、、1，且，的长是关于的一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】的值 【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分两种情况讨论，当腰1时，则或有一条边为腰，即的解为1，代入求出，再解出方程的根，根据三角形的三边关系验证；当1为底时，则为腰，得到，求出，求出方程的根，再根据三角形的三边关系验证． 【详解】解：∵ ， ∴无论取何值，此方程必有实数根； 当腰1时，则或有一条边为腰， 的解为1， ∴， 解得：， ∵时， 解得原方程两根为1和3，此时三角形三边为1，1，3，这样的三角形不存在， ∴不合题意，应舍去， 当1为底时，则为腰， 方程有两个相等的实数根， ，解得， ∴， 方程两根为，此时三角形三边为1，3，3，这样的三角形存在， 综上所述，的值． 19.（8分）（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设进馆人次的日平均增长率为，根据题意列出方程，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的日平均增长率，计算出第四天的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 进馆人次的日平均增长率为； （2）第四天的进馆人次为：（人）， ， 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次． 20.（8分）（24-25九年级下·北京·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式： （1）根据根与系数的关系判断即可； （2）利用求根公式判断即可． 【详解】（1）证明： 该方程总有两个实数根 （2）解：根据求根公式得 该方程有一个根小于 21.（10分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)场地的宽为8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 22.（10分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)此时每套辅导书的售价为30元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意列出y关于x的一次函数即可． （2）根据总利润为列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 与之间的函数关系式为：； （2）由题意可得： 整理得：， 解得：，， 要最大限度让利消费者， ， 答：此时每套辅导书的售价为30元． 23.（12分）（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 24.（12分）（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$