第四单元第1课时  比例的意义（3个知识点+5类热点题型精讲+习题巩固）（分层作业）数学苏教版六年级下册

第四单元第1课时  比例的意义 知识点一图形放大和缩小的意义 1、图形放大的意义。 把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2∶1，就是把原来的长方形按2∶1的比放大。 2、图形缩小的意义。 把长方形按1∶2的比缩小，这里的比指的是缩小后的长方形与原来长方形的对应边长的比是1∶2。 3、放大(缩小)后的图形与放大(缩小)前的图形对应边的比是相同的。 知识点二作放大或缩小后的图形 1、在方格纸上把一个简单图形按指定的比放大或缩小的步骤。 一看：看原图形每边各占几格。 二算：按给定的比计算出图形的各边放大或缩小后得到的新图形各边各占几格。 三画：按计算出的结果画出原图形放大或缩小后的图形。 知识点三比例的意义 1、表示两个比相等的式子叫作比例。 2、根据比例的意义组比例。 判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 题型一图形的放大和缩小 1．下面的图形是按一定的比例缩小的，x是（    ）。 A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据“原来长方形的长∶缩小后长方形的长＝原来长方形的宽∶缩小后长方形的宽”，列比例：12∶x＝8∶5，解比例，即可解答。 【解答】12∶x＝8∶5 解：8x＝12×5 8x＝60 x＝60÷8 x＝7.5 图形是按一定的比例缩小的，x是7.5。 故答案为：B 2．把哪吒的图片按比例放大或缩小，（    ）和原图最像。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】图形变大了，但形状没有发生变化，叫做图形的放大；图形变小了，但形状没有发生变化，叫做图形的缩小。 【解答】②是按照2∶1把原图进行按比例放大，其余图都不符合，所以②和原图最像。 故答案为：B 3．把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，下面关于面积的说法正确的是（    ）。 A．扩大原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的4倍 D．不变 【答案】A 【分析】把一个图形按n∶1变化后，得到的图形与原图形比较，对应边扩大到原来的n倍，周长扩大也扩大到原来的n倍，但是面积扩大到原来的n2倍，据此解答。 【解答】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，对应边扩大到原来的2倍 22＝2×2＝4 所以把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，面积扩大到原来的4倍。 故答案为：A 题型二运用图形的放大和缩小解决面积变化问题 4．一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是（    ）cm2。 A．32 B．72 C．128 D．256 【答案】C 【分析】一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，也就是根据图形放大的意义，将长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍，即用原来长和宽的长度分别乘4，求出放大后的长方形的长和宽；再根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，代入数据求出面积即可。 【解答】4×4＝16（cm） 2×4＝8（cm） 16×8＝128（cm2） 一个长4cm，宽2cm的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是128cm2。 故答案为：C 5．一个直角边分别是12cm和9cm的三角形，按1∶3缩小后的图形面积是（    ）。 A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．18平方厘米 D．54平方厘米 【答案】A 【分析】分别计算出按1∶3缩小后三角形的两条直角边的长度，再根据三角形的面积＝底×高÷2，把数据代入计算即可。 【解答】（12÷3）×（9÷3）÷2 ＝4×3÷2 ＝6（平方厘米） 一个直角边分别是12cm和9cm的三角形，按1∶3缩小后的图形面积是6平方厘米。 故答案为：A 【点睛】注意计算扩大或缩小后的图形一定要先计算扩大或缩小后对应边的长度再计算面积。 6．一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据图形放大与缩小的意义，按2∶1放大后的长是3×2＝6（厘米），宽是2×2＝4（厘米），由此可求出这个图形的面积。 【解答】3×2＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 6×4＝24（平方厘米） 一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是24平方厘米。 【点睛】此题主要是考查图形放大与缩小的意义，图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，面积是这个倍数的平方倍。 题型三作放大或缩小后的图形 7．把网格中的图形按3∶1的比放大并画出来。 【答案】见解析 【分析】先确定图形的各边占格数（假设每个小格边长为1），数出原图形各边的格数。按放大，就是把各边的长度乘3。根据放大后的边长，画出放大后的图形，保持图形形状不变。 【解答】如图所示： 8．将如图的图形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，请画出缩小后的图形。 【答案】图见详解 【分析】按1∶2的比例画出长方形和三角形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽以及三角形的三边都缩小到原来的，据此作图即可。 【解答】如下图所示： 9．在网格内，按要求画图。 （1）按2∶1把下面梯形放大。 （2）按1∶3把下面三角形缩小。 【答案】见详解 【分析】（1）按2∶1把梯形放大，图中梯形的上底为2格，下底为5格，高为3格，放大后上底为4格，下底为10格，高为6格，且保持两条腰的角度，据此可得出答案； （2）按1∶3把三角形缩小，图中三角形底长9格，高为3格，则缩小后底为3格，高为1格，且保持三角形的角度不变，据此画出图形。 【解答】（1）（2）作图如下： 题型四比例的意义 10．下面能组成比例的一组是（    ）。 A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20 C．和 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，据此分别求出各选项中各比的比值（比的前项除以后项即为比值），看比值是否相等。 【解答】A．15∶18＝15÷18＝＝，30∶36＝30÷36＝＝，所以15∶18和30∶36能组成比例。 B．4∶8＝4÷8＝0.5，5∶20＝5÷20＝0.25，0.5≠0.25，所以4∶8和5∶20不能组成比例。 C．＝，＝，≠，所以和不能组成比例。 11．能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 【答案】D 【分析】根据比例的意义，若两个比的比值相等，则这两个比可以组成比例，据此逐一分析各项即可。 【解答】∶ ＝÷ ＝×8 ＝2 A．8∶2 ＝8÷2 ＝4 4≠2 则8∶2与∶不可以组成比例； B．1∶2 ＝1÷2 ＝ ≠2 则1∶2与∶不可以组成比例； C．∶ ＝÷ ＝×4 ＝ ≠2 则∶与∶不可以组成比例； D．2∶1 ＝2÷1 ＝2 2＝2 则2∶1可以与∶组成比例。 故答案为：D 12．下面四张不同的长方形贴纸中，（    ）的长与宽的比与5∶4正好能组成比例。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别算出四张长方形纸长与宽的比，再判断哪个比与能组成比例，据此解答。 【解答】A.长方形纸长为14厘米，宽为10厘米，其长与宽的比为，化简可得； B.长方形纸长为18厘米，宽为15厘米，其长与宽的比为，化简可得； C.长方形纸长为12厘米，宽为9厘米，其长与宽的比为，化简可得； D.长方形纸长为15厘米，宽为12厘米，其长与宽的比为，化简可得； 因为D选项长与宽的比为与题目给出的比相同，所以能组成比例。 故答案为：D 题型五判断是否组成比例 13．海海3分走了180m，乐乐1小时走了3.6km。你认为谁说得对？请说明理由。 【答案】海海说得对；理由见详解 【分析】根据题意可知：海海利用两人各自的所走路程和所用时间的比，判断是否可以组成比例，在分析过程中注意先统一单位，再写成比，求出比值，进行判断，据此解答。 【解答】答：海海说得对。 理由如下： 比值相等，可以组成比例。 14．根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 【答案】（1）18 （2）3 【分析】（1）在比例a∶b＝c∶d（b≠0，d≠0）中，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，即ad＝bc。这是判断四个数能否组成比例的重要依据。根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第四项应该是多少，再用第四项变化后的数减去18即为所求； （2）根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第二项应该是多少，用9减去第二项变化后的数即为所求。 【解答】（1）（9＋9）×6÷3 ＝18×6÷3 ＝108÷3 ＝36 36－18＝18 故第四项加上18后式子仍然能组成比例，3∶18＝6∶36。 （2）（18－6）×3÷6 ＝12×3÷6 ＝36÷6 ＝6 9－6＝3 故内项9减去3后比例仍然成立，3∶6＝6∶12。 15．（1）写出下图中图A、图B两个正方形的边长与边长的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？ （2）写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能组成比例吗？ 【答案】（1）边长与边长的比1∶2，周长与周长的，1∶2；能 （2）1∶4；不能 【分析】（1）分别计算出两个正方形的边长比、周长比，并判断这些比是否能组成比例；如果两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比例。 （2）正方形的面积＝边长×边长，据此分别计算出两个正方形的面积，看它们的比值是否等于边长的比，如果相等就能组成比例，否则不能组成比例。 【解答】（1）3∶6＝（3÷3）∶（6÷3）＝1∶2＝ 3×4＝12（cm） 6×4＝24（cm） 12∶24＝（12÷12）∶（24÷24）＝1∶2＝ 答：这两个比能组成比例。 3×3＝9（） 6×6＝36（） 9∶36＝（9÷9）∶（36÷9）＝1∶4＝ ≠ 答：这个比与边长之间的比不能组成比例。 一、选择题 1．下面（    ）中的两个比能组成一个比例。 A．8∶7和14∶16 B．0.6∶0.2和9∶3C．19∶11和10∶7 D．6∶7和 2．在比例4∶18＝6∶27中，如果第一个比的后项加上36，那么第二个比的前项应减去（    ），比例仍然成立。 A．5 B．4 C．3 D．2 3．在∠AOB中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝15°，下面的三个选项能组成比例的是（    ）。 A．（∠1＋∠2）∶（∠1＋∠4）和（∠1＋∠3）∶（∠1＋∠2＋∠3） B．（∠1∶∠2）和（∠1＋∠3）∶（∠2＋∠4） C．∠2∶（∠3＋∠4）和（∠1＋∠4）∶（∠1＋∠2＋∠3） 4．把边长6厘米的正方形按1∶3缩小后，得到的新正方形的面积是（    ）。 A．4平方厘米 B．2平方厘米 C．12平方厘米 D．6平方厘米 5．将如图图形按1∶2的比缩小后的图形是（    ）。    A．   B．   C．   D．   二、填空题 6．4∶8的比值是（   ），3∶6的比值是（   ）。因为这两个比的比值（   ），所以这两个比可以组成（   ），组成的比例是（   ）或。 7．在比例4∶9=20∶45中，( )和( )是外项，( )和( )是内项。 8．王阿姨和赵阿姨一起到超市买菜，两人买了同一种西兰花。 根据上面的数据，写出两个比例。( )( )。 9．2026年将上演的马年春晚主标识以“四马齐驱”为创意灵感，美术课上同学们临摹的标识画稿长28cm，宽20cm。小林将画稿缩小，宽变成10cm，要让标识不变形，缩小后的长是( )cm。 10．《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约( )cm，宽约( )cm。打印后，图的( )不变，( )改变。 三、作图题 11．按1∶4的比画出缩小后的图形。 四、解答题 12．“木落雁南度”描述了北雁南飞的自然景象。大雁迁徙飞行情况如下表所示。 根据表中的数据写出三个不同的比例。 时间/天 1 2 3 4 … 路程/km 350 700 1050 1400 … 13．把一个长方形按1∶3的比缩小，缩小后的长方形与原来的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？ 14．分别按3∶1和1∶2的比画出平行四边形放大和缩小后的图形，再联系自己的操作过程回答后面的问题。 原平行四边形和放大、缩小后图形的面积分别是多少？放大后图形的面积是原平行四边形面积的多少倍？缩小后图形的面积是原平行四边形面积的几分之几？ 参考答案 1．B 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出各选项中两个比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【解答】A．8∶7＝8÷7＝ 14∶16＝14÷16＝ ≠，比值不相等，不能组成比例； B．0.6∶0.2＝0.6÷0.2＝3 9∶3＝9÷3＝3 3＝3，比值相等，能组成比例； C．19∶11＝19÷11＝ 10∶7＝10÷7＝ ≠，比值不相等，不能组成比例； D．6∶7＝6÷7＝ ∶＝÷＝×7＝ ≠，比值不相等，不能组成比例。 故答案为：B 2．B 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，4∶18的后项加上36后变成了4∶54，即2∶27，第二个比是6∶27，最后求出这两个比的前项之差，据此解答。 【解答】4∶（18＋36） ＝4∶54 ＝（4÷2）∶（54÷2） ＝2∶27 6－2＝4 所以，第二个比的前项应减去4，比例仍然成立。 故答案为：B 3．B 【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 【解答】A. ∠1＋∠2＝30°，∠1＋∠4＝30°，则（∠1＋∠2）∶（∠1＋∠4）＝30∶30比值为1；∠1＋∠3＝30°，∠1＋∠2＋∠3＝45°，则（∠1＋∠3）∶（∠1＋∠2＋∠3）＝30∶45，比值为，比值不相等不可以组成比例； B．∠1∶∠2＝15∶15，比值为1，和∠1＋∠3＝30°，∠2＋∠4＝30°，（∠1＋∠3）∶（∠2＋∠4）＝30∶30，比值为1，比值相等，可以组成比例。15∶15＝30∶30 C. ∠2∶（∠3＋∠4）＝15∶30，比值是0.5，（∠1＋∠4）∶（∠1＋∠2＋∠3）＝30∶45，比值是，比值不相等，不可以组成比例。 故答案为：B 4．A 【分析】按1∶3缩小就是边长缩小为原来的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，先求出缩小后的边长，再根据正方形面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【解答】6×＝2（厘米） 2×2＝4（平方厘米） 5．C 【分析】把圆按1∶2缩小，就是将圆的半径缩小到原来的，缩小后圆的半径与原来圆的半径比是1∶2，据此按缩小后的半径画圆，据此解答。 【解答】A．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意； B．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意。 C．，是按照1∶2的比缩小后的图形，符合题意； D．，不是按照1∶2缩小后的图形，不符合题意。 将图形按1∶2的比缩小后的图形是。 故答案为：C 【点睛】本题考查的目的是理解掌握图形放大、缩小的方法以及应用。 6．；；相等；比例；； 【分析】先明确 “比值” 的计算方法（比的前项除以后项），再根据 “比值相等的两个比可以组成比例” 这一规则，完成填空。 【解答】计算的比值：，所以的比值是。 计算的比值：，所以的比值是。 判断并组成比例：因为这两个比的比值相等，所以可以组成比例； 组成的比例是，或。 7．4；45；9；20 【分析】组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 【解答】比例中，两端的两项分别是4与45，是这个比例的外项；中间的两项分别是9与20，是这个比例的内项。 在比例中，4和45是外项，9和20是内项。 8．10∶4＝15∶6 4∶6＝10∶15 【分析】由题意可知，西兰花的单价是相同的，因此可以根据单价相同，在等号的左右两边分别表示出王阿姨和赵阿姨购买的单价，即可得出比例，然后再根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将内项或者外项互换位置即可。 【解答】①10∶4=15∶6②4∶6=10∶15（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查比例的认识，能够根据比例的定义来书写出正确的比例，并可以根据比例的性质改写出其他正确的比例来。 9．14 【分析】要使标识不变形，即缩小前后图形的长和宽的比例不变。先设缩小后的长为xcm，再根据缩小前的长宽比28∶20与缩小后的长宽比x∶10相等列出比例式，最后利用比例的基本性质将其转化为方程求解，即可得出缩小后的长。 【解答】解：设缩小后的长为xcm。 28∶20＝x∶10 20x＝28×10 20x＝280 20x÷20＝280÷20 x＝14 所以缩小后的长是14cm。 10．106；5；形状；大小。 【分析】按的比缩小，意义就是原来的5份对应为现在的1份，根据此意义进行计算可得缩小后的长与宽。 图形按比放大与缩小，只改变图形的大小，图形的形状不改变。 【解答】（厘米） （厘米） 图形按比放大与缩小，只改变图形的大小，图形的形状不改变。 《清明上河图》为北宋画家张择端创作的风俗画，长约530cm，宽约25cm。把它按1∶5的比缩小打印出来后，长约106cm，宽约5cm。打印后，图的形状不变，大小改变。 11．图见详解 【分析】把长方形的边长按照比例缩小，长是8厘米，缩小到原来的后长变成2厘米；宽是4厘米，缩小到原来的后宽变成1厘米，据此画图。 【解答】8×＝2（厘米） 4×＝1（厘米） 作图如下： 12．示例：；；（答案不唯一） 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得速度一定时，路程和时间成正比，然后根据表示两个比相等的式子，叫做比例，根据大雁飞行的速度相等，写出三个不同的比例即可。（本题答案不唯一） 【解答】，，，， 答：三个不同的比例分别是，，。（答案不唯一） 13．72平方厘米 【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，把长方形按1∶3的比缩小，那么面积会按照1∶32进行缩小，即原来的长方形的面积是缩小后长方形面积的9倍，用64÷（9－1）即可求出缩小后的面积，再乘9即可求解。 【解答】64÷（3×3－1） ＝64÷（9－1） ＝64÷8 ＝8（平方厘米） 8×（3×3） ＝8×9 ＝72（平方厘米） 答：原来长方形的面积是72平方厘米。 【点睛】本题主要考查图形的放大和缩小以及长方形的面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 14．图见详解； 8平方厘米；72平方厘米；2平方厘米 9倍； 【分析】首先数出原平行四边形的边长，分别根据放大和缩小的比例计算出新的边长，画出相应的图形；然后利用平行四边形面积＝底×高，分别计算原平行四边形和放大、缩小后图形的面积；最后，计算放大后和缩小后图形的面积与原平行四边形的面积之间的倍数关系。 【解答】原平行四边形的底是4厘米，高是2厘米； 按3∶1放大后的底是4×3＝12（厘米），高是2×3＝6（厘米）； 按1∶2缩小后的底是4÷2＝2（厘米），高是2÷2＝1（厘米）。 如图： 原平行四边形的面积：4×2＝8（平方厘米） 放大后图形的面积：12×6＝72（平方厘米） 缩小后图形的面积：2×1＝2（平方厘米） 72÷8＝9 2÷8＝ 答：原平行四边形的面积是8平方厘米，放大后的面积是72平方厘米，缩小后的面积是2平方厘米，放大后图形的面积是原平行四边形面积的9倍，缩小后图形的面积是原平行四边形面积的。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $