第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末总结课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

章末总结 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 单元知识汇总 03 01 02 单元专题归纳 高考命题点分析 学习目标 01 4 5 单元专题归纳 02 专题1 三角形的四心问题 三角形有“四心”：重心、外心、内心、垂心，可以用向量的运算对它们的性质进行 分析. （1）重心：设是所在平面内一点，则点是 的重心的条件是 或（其中 为平面内任意一点）. （2）垂心：向量所在的直线过 的垂心 （在边上的高 所在的直线上）; 7 设是所在平面内的一点，则点是 的垂心的条件是 . （3）内心：向量所在直线过的内心（在 的平分线 所在的直线上）; 设是所在平面内的一点，为的内心的条件是 或 ，，是的内角，，所对边的边长， 为平面内任意 一点 . 8 （4）外心：设是所在平面内的一点，则点为 外心的条件是 （即点 到三个顶点的距离相等），或 . 9 例1 (2025·河南省郑州市第一中学期中)已知点，，在 所在平面内，且 ，，，则点 ， ，依次是 的( ) C A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 10 【解析】由知点到点，，的距离相等，即点是 的 外心. ，易知经过线段 的中点，所以直 线也经过线段的中点，同理直线经过线段的中点，经过线段 的中 点，故是三条中线的交点，即点是 的重心. 由，得 ，即 .同理，，即点是 的垂心. 11 例2 在四边形中，为的重心，，点在线段 上，则 的最小值为( ) A A. B. C. D.0 【解析】如图8-1所示,因为为 的重心， 图8-1 所以 , 12 又 ， ， ， 所以 ， 于是 . 又 ， 当且仅当 时取等号. 所以 ． 故的最小值为 . 例3 (2025·山东省济南市期中)平面上有及其内一点 ，构成如图8-2所示图形， 若将，，的面积分别记作，， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的标志很相似，常把上述结论称为 “奔驰定理”．已知的内角，，的对边分别为,, ,若满足 ，则为 的( ) B 图8-2 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 14 【解析】 由 ，得 , 由，得 ， 根据平面向量基本定理可得, ， 所以, . 15 图8-3 延长,交于，延长,交于 ，如图8-3, 则,又,所以,所以为 的 平分线，（逆用角平分线定理） 同理可得是 的平分线， 所以为 的内心． 其实可以“特事特办”.不妨先观察式子： 则，即，，中,,分别对应的高相等，即到,, 的距离相等，即 为内心. ， ， . . . . 16 专题2 三角恒等变换中运用公式的“三用”技巧 1 正用 从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转 换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的. 例4 已知,,求 及 . 17 【解析】因为 , 所以,即 . 由,可得 . 由于，且，故 在第二象限，于是 ，从而,所以 , 所以 . 18 2 逆用 逆向转换，逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上 的变通是创新意识的体现. 例5 求值： ___. 1 19 【解析】原式 . 20 3 变用 事物之间是普遍联系的，这就要求我们思考时能因势利导，融会贯通.三角公式变换 时的常用形式： （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 21 例6 设,,且 , 为锐角，则 的值为__. 【解析】从已知条件中解出 ， 来显然是十分困难的．由题设条件比较容易联想 到正切的和角公式． 因为, , 两式相减得 , 所以 . 又 , 为锐角，所以 ． 22 专题3 三角恒等变换中的“五变”策略 1 变角——角的变换 若“条件角”与所求的“目标角”不同，则可以用“条件角”表示出“目标角”，然后根据它 们之间的关系，选用相关的三角恒等变换公式求解. 23 例7 已知,，则 的值为_ ____. 【解析】因为 , 所以 . 名师点评 当题目中涉及三种不同的角： ， ， 时，选择哪一种角为 目标最合适?一般是按照中间集中的原则，而且通过观察可以发现 ， ,这样， 是必然的选择，然后，恰当地选 择三角公式进行恒等变形，目的就容易达到了. 24 2 变名——函数名称变换 三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的 各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径．正确选用三角变换公式，通 过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率． 例8 当时，函数 的最小值是___. 4 【解析】因为，所以 ， 所以，当且仅当时取“ ”. 名师点评 注意到函数表达式的分子与分母是关于与 的二次齐次式，所以， 分子与分母同时除以，便可将原函数转化为关于 的函数进行求解． 25 3 变幂——升幂与降幂变换 分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的 要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到次数的统一． 例9 已知 为第二象限角，且，则 的值为______. 【解析】原式 ,又 为第二象限角，且,所以 ,所以 . 名师点评 由于已知条件中给出了 的值，而所求三角函数式中所涉及的角都是 与 有关的角，因此可利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等求解． 26 4 变数——常数变换 根据需要，常常将“1”进行转化，如 等. 例10 已知，则 的值为__. 【解析】由，得 , 于是原式 . 27 5 变元——换元变换 例11 已知,则 的值为______. 0或2 【解析】设 , 则，与联立，解得 , . 由得，解得或 .所以原式的值为0或2. 28 一题一课·学一题会一类 极化恒等式 ①， ②， 这两个式子具有非常重要的价值，其几何意义如下. 对于①：以, 对应的线段为邻边的平行四边形中，两条对角线的平方和等于两邻边 平方和的两倍； 对于②：向量, 的数量积等于以这组向量对应的线段为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”的平方差的 . 29 注：②式被称为“极化恒等式”. 图8-4 用图形直观来说，如图8-4，对应的则有 ③, ④, 注意到平行四边形的对称性，平分线段， ,则有 ⑤， ⑥， 这样我们便建立起了平行四边形的对角线长度与相应邻边，三角形中的边、中线与 相应边的数量积之间的联系. 特别地，⑤⑥两式由于涉及中点这一平面几何中较重要 的点，常常成为高考命题的聚焦点. 30 例12 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则 的最 小值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 如图8-5,为的中点 , 图8-5 则 , 31 要使最小,则, 的方向相反, 即点在线段 上, 则 , 即求 的最大值, 又 , 所以,当且仅当,即是 的中点时， 取等号. 故 . （利用极化恒等式求解） 如图8-6,取的中点 ，则 ,则 , 图8-6 在中，由⑥式，取的中点 ，则 . 由于点在平面内是任意的，因此当且仅当点，重合时， 取 得最小值，即取得最小值 . 例13 (2025·河南省安阳市调研)已知是等边三角形 所在平面内一点，且 ，，则 的最小值是( ) A A.1 B. C. D.2 图8-7 【解析】如图8-7，设中点为，连接,则 ， ， 由图可知，当，，三点共线时， 取得最小值，为2， 所以 ． 34 例14 (2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形中, 为 线段上的动点,且交于点,且交于点,则 的值为 ___; 的最小值为___. 1 图8-8 【解析】如图8-8,过作,交于点 ,易证得 ,四边形是矩形,所以, , 则 , 所以 . 连接,由题意知, ,则 .设 ,则 35 ，,取的中点，连接，（将, 化归入三角 形，为极化恒等式的应用作准备）则 ,所以当 时， 取得最小值,为 ， 即的最小值为 . . . 一章一练·学思维知创新 例15 新定义 切比雪夫多项式 [多选题] (2025·山东省A9联盟开学考试)由倍角公式 可知，可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一 个次多项式 ，使得 ，这种多项式 称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项 式的方法可得( ) ABD A. B. C. D. 37 【解析】对于A， . 由切比雪夫多项式可知， ， 即 ， 令,可知 ，故A正确. 对于B， ． 由切比雪夫多项式可知， ， 即 ， 38 令,可知 ，故B正确. 对于D，因为 ， ， 由,可得 ， ． 又 ，所以 ， 所以 ． 令，可知 ， 展开即得 ， 所以，解得 . 因为，所以 ，所以 ，所以 ，故D 正确. 对于C，假设，因为 ， ，所以假设不正确，故C错误．故选 ． 例16 新定义 平衡向量 (2025·浙江省杭州市期中) 平面上有一组互不相等的单位向 量，， ，，若存在单位向量 满足 ，则称是向量组，， ， 的平衡向量．已知,，向量是向量组，， 的平衡向量， 当取得最大值时， 的值为_ _____． 图8-9 【解析】当与的夹角为 ， 取得最大值，此 时 . 已知, ，如图8-9所示， 设，, ， 41 则 ， 所以，即，解得 ， 故，,或 . 当, 时， , 当, 时， . 则 , 例17 新定义 余弦方差 (2025·北京市一六一中学开学测试)对于集合， ， ， 和常数，定义：为集合相对 的 “余弦方差”． （1）若集合,，，求集合相对 的“余弦方差”； 【解析】依题意得， . 43 （2）求证：集合,,，相对任何常数的“余弦方差”是一个与 无关的定值， 并求此定值； 【解析】由“余弦方差”的定义得， ， 所以，为定值，与 的取值无关． 44 （3）若集合, ,，，，相对任何常数 的“余弦方差”是 一个与无关的定值，求出 , ． 【解析】由“余弦方差”的定义得， 45 ，要使 是一个与无关的定值，则 因为 ，所以 与 的终边关于 轴对称或关于原点对称. 又，所以 与 的终边只能关于 轴对称，所以 . 又， ， 则当时，，当时， ， 即，或时， . 故当，或，时，相对任何常数 的“余弦方差”是一个与 无关的定值． 高考命题点分析 03 命题点1 向量的相关计算 例18 (2025·全国高中数学联赛广西赛区预赛)已知的外心为 ,且 ,则 _ ___. 49 【解析】不妨设 的外接圆半径为1. 由得 ， , 故 . 同理可得， . , 又 50 , , , , . 例19 (2025· 全国中学生奥林匹克竞赛预赛A卷)平面中的3个单位向量,,满足 =]+（其中表示不超过实数的最大整数），则 的取值范围 是_________________. , 【解析】 ,同理可得 , . 又=]+,故,0, . 若,则,]+ ]为偶数，不可能为1，矛盾. 若,则,此时 . 若,不妨设,,, . 52 记]+]= . 当或时,,当时， ,均不合要求. 当时， ,满足要求，此时 , . 综上，的取值范围是 . 53 例20 (2023·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知等腰梯形中， , ， ， ,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】以为坐标原点，向量的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 ,,, ， , , . 54 例21 (2024· 同济大学强基计划)四边形为平面四边形，， ，则 ___. 3 【解析】 , ， 因为， ， 所以 . 55 命题点2 化简求值 例22 (2025· 全国中学生奥林匹克竞赛预赛B卷)若 ,则 的值为. 【答案】0 【解析】 ,故 . 56 例23 [多选题] (2024· 清华大学强基计划)已知{ , , , ,，则 可以是( ) AB A. B. C. D. 【解析】 , , , , , ，（由集合相等，得到集合中 各元素的和也相等） , , （用积化和差公式） . . 57 , , ,（用诱导公式） , 或 , , 或， ， 经检验，或 符合，其他都不符合. 故选 . . . 例24 (2025·全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛) ____. 【解析】原式 . 59 例25 (2025·全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛)设 为正整数，定义 ,则 ___. 0 【解析】因为 , , 所以 , 即 . 所以 . 60 命题点3 三角函数的综合运用 例26 (2023· 全国中学生数学奥林匹克竞赛预赛)将方程 的所有正实 数解从小到大依次记为,,, .求 的值. 61 【解析】由于 , 原方程等价于 . 所以或 . 其中所有正实数解为或 ,故 , . 从而 . 62 例27 (2022·全国高中数学联赛重庆赛区预赛)若存在实数及正整数 使得 在内恰有2 022个零点，则满足条件的正整数 的值有 ___个. 5 【解析】由题意可知， ， 令,,（暂不确定的取值范围）此时 , 而,,,为方程的两个根， ， 所以上述方程在实数范围内一定有两个异号的根. 情形一:当（开始分析的取值范围）时，此时,一个周期 内 有两个零点，易知或 . . . . . 63 情形二:当时，此时，一个周期 内有三个零点，则需要 个周期, 即 . 情形三:当时，此时,（将代入 可得）解 得 ①当时，此时，则一个周期 内有四个零点，则需要 , 即 ； . . ②当时，此时，,则一个周期 内有三个零点，则需要 个周期， 即 ； ③当时，此时，一个周期 内有两个零点，易知 或 . 综上所述,这样的正整数的值有5个，分别是，，，， . 命题点4 三角恒等变换与三角形的结合 例28 (2025·全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛)设，，为 的三个 内角，求 的最大值. 【解析】 设为外心，为重心，外接圆半径为 ， 则由 ，平方得 , 由此得到 ,再由二倍角公式即得 , 66 当三角形为正三角形时取等，所以最大值为 . （也可通过三角恒等式 及不等式证出） 由 知 , 于是 =- 67 . 当且仅当, , 即时，原式取最大值 . 例29 (2024· 全国高中数学联赛A卷一试)在 中，已知 ，求 的值. 【解析】由条件知，，则 或 ， 即或 . 假设，则，则，但 ，相互矛盾， 因此只能是 . 由 ， 可得，所以， ， 69 所以 ， 又，所以化简得 ， 解得 . 例30 (2022· 全国高中数学联赛一试A卷)若的内角,, 满足 ，求 的值. 【解析】由知，但有意义，故 不为直角，从而只能是 ，进而有 . 所以 , 从而 . 上式等价于 ， 于是 . 71 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 72 $