8.2.4 三角恒等变换的应用课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 半角公式 1 半角公式 在倍角公式 ,中，以 代替 ，以 代替 ,即得,.从而 , , . 上述结果还可表示为： 对于和,,但是对于，要保证 . 6 ，简记为 ,简记为 ,简记为 其中根号前的正负号,由角 所在象限确定.一般称这3个公式为半角公式 （半角公式不要求记忆，知道如何从倍角公式推导即可）. . . 特别提醒 半角公式根号前符号的确定规律 （1）当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号. 第一象限 第一、三象限 ， ， 第二象限 第一、三象限 ， ， 第三象限 第二、四象限 ， ， 第四象限 第二、四象限 ， ， （2）当给出角 的范围时，可先求的范围,再根据 的范围来确定各三角函数 值的符号. （3）若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号. 8 2 半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式，可以得到： . 说明 POINT 此结论的证明详见教材第104页【例1】. 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式. . . 9 典例详解 例1-1 已知,且 ,求,, 的值. 10 【解析】由题可知，, , . . . . . 例1-2 计算： ________. 【解析】 易知 , 所以 . . 12 知识点2 积化和差与和差化积公式 1 积化和差公式及其推导 由,,, ,得 , , , ， 即 , , 13 , . 这四个公式的左边是积的形式，右边是和或差的形式，因此被称为积化和差公式. 2 和差化积公式及其推导 提示 POINT 积化和差公式与和差化积公式只要求理解，不要求记忆. 在积化和差公式中，令,,则, . 则积化和差公式相应变为： , , , , 15 即 ， ， ， . 这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式.#1.4 典例详解 例2-3 求下列各式的值: （1） ; 【解析】 . （2） . 【解析】 . 17 点拨 （1）利用和差化积公式得到 ,由 可构造逆用二倍角公式的形式，最后用诱导公式即可求得结果； （2） , ,因此对 用和差化积公式， 对 用积化和差公式，进行化简即可得到结果. 例2-4 化简： . 【解析】原式 . 18 题型解析 03 题型1 化简 例5 化简： （1） ; 【解析】原式（二倍角公式） （和差化积） . . . 20 （2） ; 【解析】原式 （升幂，化为半角） .（二倍角公式.） ，, , 原式 . 21 （3） . 【解析】 , , ,, , 原式 22 易错点 POINT 在利用半角公式去根号时，易因忽略角的范围而没有正确对函数值进行取舍导致错误. . 23 题型2 求值 例6 求下列各式的值： （1） ; 【解析】原式（和差化积） . . . 24 （2） ; 【解析】原式 （积化和差） . . . . . 25 （3） . 【解析】 . 26 . 27 令 ， ， 则 ①， ②, ①②两式相加得,即 , 故 . 28 思路点拨 （1）对于 ， , 三个角，我们发现 （特殊角），与 互补，所以我们可以利用和差化积公式求解.（2）以构 造特殊角为前提，利用积化和差公式求解.（3）思路一，先利用半角公式与积化和 差公式展开，整理后再利用和差化积公式即可求解；思路二，先将第一个式子用半 角公式展开，后两个式子提取公因式，再利用和差化积与积化和差公式进行求解； 思路三，构造特殊等式求解. 29 例7 已知,则 _________. 或 【解析】 因为，所以 . 由，可得， （【易错点】本题在利用半角 公式求 的值时，一定要对角的范围进行确定）, 则 ，，所以 . ，将代入可得或 . 已知,所以 . . . 30 若,则 ; 若 , 则 . 例8 已知 为钝角， 为锐角，且,,求与 的值. 【解析】因为 为钝角， 为锐角，且,,所以 , . 所以 . 因为 ,且 , 所以 ,即 （在应用半角公式时，一定要考虑半角的范围）， 所以 . 由,得 , . . 32 所以 . 由 , ,得 . 所以 . 名师点评 在已知 的某个三角函数值求时，直接运用 可回避运用公式时对“ ”的取舍问题.在解决有关三角函数求值问 题时，不同的思路与方法求出的值可能不同，但最终结果应是相同的，因此灵活、 恰当地选择合适的公式是解决此类题目的关键. 34 积化和差与和差化积公式的应用技巧 1.在运用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，则必须 用诱导公式化为同名；若是高次函数，则必须用降幂公式降为一次. 2.利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式的关键在于将不同角的正弦与余弦 进行恰当组合. 组合时应遵循的原则：（1）应尽量使两角的和（差）出现特殊角；（2）对于特殊 角的三角函数应求出其值. 35 根据实际问题选用公式时，应考虑运用公式之后以下几个方面: （1）能否出现特殊角； （2）能否提公因式、约分、合并或者消项； （3）能否使三角函数的结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式 进行变换创造条件. 3.对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择的解题思路不同，化积结 果可能不一致.为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当成三角 函数值应用于公式，如 ，应将其变为 ，然后化为积的形式. 36 题型3 证明 例9 已知在中，，求证： 是直角三角形. 37 【解析】 在中， ， . 利用和差化积公式，得 , （由二倍角公式可得） , 显然,故 . . . 38 即 ， 由于，,因此, ， 所以 ， 显然（否则 ）. 当时，, . 当时，, . 故 为直角三角形. 即 , 所以 ， 即 , 所以或 , 即或 ， 又，,所以， , 故或.故或 . 故 为直角三角形. 名师点评 本题条件中没有边的关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两 个角互余，即可证明三角形为直角三角形. 41 例10 已知, ,求证： . 【解析】由已知，得 ①, ②, 由,得 , 即 . 42 . （和差化积）[ （积化和差）] ， . . . . . 证明三角恒等式的基本思路 三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样，主要证明方法有：从左证到右；从右 证到左；左右归一或变更命题.选择哪一种证法的依据是“化繁为简”.在确定了“化繁 为简”的目标后，还应注意以下几点： （1）强化“目标意识”，就是在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢； （2）强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就 需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，并寻找它们之间的联系，再 利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，常用方法有直推法、代入法、换元法等. 44 知识测评 04 1.若,且 ,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以 ,所以 . 46 2.化简： ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ． 3. 的值是( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 47 4.在中，若 ,则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 . , . 即的取值范围为 . 5.已知,则 的值为__. 【解析】, . 48 6.函数 的最大值是__. 【解析】因为函数 ,所以当 时，有最大值， . 7.求值： ___. 0 【解析】原式 . 49 8.已知,求 的值. 【答案】由题意知， . 令 , 则 , 由倍角公式和积化和差公式可知, ,化简可得 ，则 . 50 9.在中，求证： . 【答案】左边 右边. 故原等式成立. 51 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 52 $