预习09 二倍角公式及三角恒等变换（九大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习09 二倍角公式及三角恒等变换 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二倍角公式及其变形应用； 2．掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切的区别与联系； 3．能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法； 4．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 知识点一、二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 知识点二、半角公式 ① ② ③ 知识点三、积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 考点一：利用二倍角公式给角求值 例1． 的值是 .. 【答案】/0.25 【详解】原式 . 故答案为： 变式1-1．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D. 变式1-2．计算:（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 , 所以原式. 故选： 变式1-3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一： ． 解法二： ， 则. 故选：B． 考点二：利用二倍角公式给值求值 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，所以， 所以 则 . 故选：D 变式2-1．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 变式2-2．数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 . 故选：A 变式2-3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为的终边过点，所以，解得， ， 当时，， 当时，， 综上所述：或. 故选：C. 考点三：利用二倍角公式给值求角 例3．若，且，则 . 【答案】 【详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 变式3-1．已知，，. (1)求、的值； (2)求角的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：因为，，则， 所以，，故. （2）解：因为，则， 所以，， 所以 . 因为，所以. 变式3-2．已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，， 又，所以， 所以. （2）解：因为， ， 又因为，所以， 由（1）知，， 所以． 因为，，则，所以． 变式3-3．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，，得，而， 则， 又，则， 所以 . （2）由，得，即， 由，得， 解得，则， 而，所以. 考点四：利用二倍角公式化简证明 例4． （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 变式4-1．（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 变式4-2．证明下列等式： (1) (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）左边右边，得证； （2）左边 右边，得证. 变式4-3．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】，证毕. 考点五：利用半角公式求值 例5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，且， 所以， 所以， 所以． 故选：C． 变式5-1．若，，则 ． 【答案】 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 变式5-2．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，所以，， 所以，， 所以左边右边， 所以等式成立． 变式5-3．若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 考点六：积化和差与和差化积公式的应用 例6．（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）. 又. 由①②，得，即. ； （2）因为，所以.① 又因为，所以.  ② 因为， 所以由①②，得，即. 所以 . 变式6-1．已知，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）， ， 则，即． （2）由（1）知， 则，则． 变式6-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C 变式6-3．已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 考点七：简单的三角函数式化简与证明 例7． ． 【答案】 【详解】由题意可得： ． 故答案为：. 变式7-1．若实数，且，满足方程组，则 ， .（写出一组值即可） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】 得，，根据辅助角公式得， 或 即，或 ，此时， ，又因为所以可取 . 故答案为：，. 变式7-2．证明：． 【答案】见解析 【详解】证明： ． 变式7-3．（1）化简：；    （2）求值：． 【答案】（1）；（2）2． 【详解】（1） ； （2）因为， 所以， 则， 所以. 考点八：三角恒等变换在三角形中的应用 例8．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 【答案】C 【详解】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形， 故选：C. 变式8-1．在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由已知得, , , ， ， ∵, ∴, 即， 故选：. 变式8-2．（多选）已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BCD 【详解】因为方程有两根，， 所以，所以， 且或. 所以， 因为，所以，从而可得， 所以. 当时，，所以，，此时锐角三角形. 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 若，则，此时，所以，解得或（舍）， 当时，是等腰三角形. 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. 故选：BCD 变式8-3．在中，若，则的形状不可能是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形 【答案】D 【解析】由诱导公式化，由两角和与差的正弦公式和二倍角公式变形后可判断． 【详解】由已知可得，∴， ∴或，∴或， ∴可能是等腰三角形､直角三角形或等腰直角三角形， 故选：D. 考点九：三角恒等变换在实际中的应用 例9．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 【答案】 【详解】 如图，连接OC，设，则，因, 则则， 故 ．因，则， 故当，即当时， 即割出的长方形桌面的最大面积为． 变式9-1．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 【答案】 【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处， 则由条件可得，， 设，则，， 则 ， 当且仅当，即时，“”成立， 又因为在上为增函数， 所以坐在距离幕布米处，视角最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式化简是解决本题的关键. 变式9-2．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，    过作直线与水面平行， 过 作，垂足为点，过 作，垂足为点， 设，，则，其中， 则，， 所以，， 所以， 整理可得， 因为，则，所以，，解得. 故选：A. 变式9-3．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 一、单选题 1．已知角的终边过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得， 则. 故选：D. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 3．已知，，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】， 即， ，故， 则， 由于，故， 解得或， 因为，所以，故， 即，解得. 故选：C 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意， ， . 故选：C. 5．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由于，则，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 6．若 ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由诱导公式可得， 所以， 由知，， 所以，当且仅当即时，等号成立. 所以 的最大值为. 故选：C 二、多选题 7．下列各式中，值为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A选项，，A错误； B选项， ，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD 8．随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ） A．的范围是 B．新增步道的长度可以为 C．新增步道、长度之和可以为 D．当点为的中点时，草坪的面积为 【答案】BD 【解析】设，求出的取值范围，可判断A选项的正误；利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；求出的取值范围，可判断C选项的正误；计算出草坪的面积，可判断D选项的正误. 【详解】设. 对于A选项，由题意可得，解得，A选项错误； 对于B选项，，，， ，， 所以，， 设，则， 可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 新增步道的长度可以为，B选项正确； 对于C选项，，， 所以，， ，，所以，， 所以，， 而，即新增步道、长度之和不可以为，C选项错误； 对于D选项，当为的中点时，，则，可得， 同理可得，则， 扇形的面积为， 此时，当点为的中点时，草坪的面积为，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解实际问题的解题技巧： （1）利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （2）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （3）在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 三、填空题 9．已知，，则 ． 【答案】 【详解】由得，又因为， 所以，， 所以， 则． 故答案为： 10．在中，角所对的边分别为，且满足.角= . 【答案】 【详解】由，得， 即，即. 又，， 故答案为： 11．对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不等式，对任意的恒成立， ，则 则恒成立， 令， 所以恒成立，则， 设在单调递增，所以的最大值为， 所以， 所以的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 12．已知，求的值. 【答案】 【详解】，，， ，或. 当时，， . 当时，， ， . 综上，的值为. 13．已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得， 由， 则， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以， 因为 ， 所以，，， 所以. 14．在中，求的最大值. 【答案】2 【详解】根据题意，令所求代数式为， 因为，所以， 所以， 则 ， 当且仅当且时取等号， 即时等号成立， 所以的最大值为2. 15．如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由图可知在中有在中有           由得， （2）由，在中有       令，则，其中，      故且           当即时的周长 ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习09 二倍角公式及三角恒等变换 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二倍角公式及其变形应用； 2．掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切的区别与联系； 3．能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法； 4．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用 知识点一、二倍角公式 （1） （2） （3） 降幂公式：；； 知识点二、半角公式 ① ② ③ 知识点三、积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 考点一：利用二倍角公式给角求值 例1． 的值是 .. 变式1-1．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．计算:（   ） A． B． C． D． 变式1-3．（    ） A． B． C． D． 考点二：利用二倍角公式给值求值 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，则 ． 变式2-2．数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D．或 考点三：利用二倍角公式给值求角 例3．若，且，则 . 变式3-1．已知，，. (1)求、的值； (2)求角的值． 变式3-2．已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 变式3-3．已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 考点四：利用二倍角公式化简证明 例4． （    ） A． B． C． D． 变式4-1．（1）证明：； （2）化简：． 变式4-2．证明下列等式： (1) (2). 变式4-3．求证：． 考点五：利用半角公式求值 例5．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若，，则 ． 变式5-2．已知，求证：． 变式5-3．若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 考点六：积化和差与和差化积公式的应用 例6．（1）已知，求的值； （2）已知，试求的值； 变式6-1．已知，求证： (1)； (2)． 变式6-2．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式6-3．已知，则（    ） A． B． C． D．1 考点七：简单的三角函数式化简与证明 例7． ． 变式7-1．若实数，且，满足方程组，则 ， .（写出一组值即可） 变式7-2．证明：． 变式7-3．（1）化简：；    （2）求值：． 考点八：三角恒等变换在三角形中的应用 例8．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 变式8-1．在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 变式8-2．（多选）已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 变式8-3．在中，若，则的形状不可能是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形 考点九：三角恒等变换在实际中的应用 例9．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 变式9-1．露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布 米处.（用a，d表示） 变式9-2．筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（    ）    A． B． C． D． 变式9-3．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 一、单选题 1．已知角的终边过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．3 D．2 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．若 ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列各式中，值为的是（     ） A． B． C． D． 8．随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以为圆心，半径为，圆心角为的扇形人工湖，、是分别由、延伸而成的两条健身步道．为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与相切于点，且与、分别相交于、，另两条是分别和湖岸、垂直的、（垂足均不与重合）．在区域以内，扇形人工湖以外的空地铺上草坪，则（    ） A．的范围是 B．新增步道的长度可以为 C．新增步道、长度之和可以为 D．当点为的中点时，草坪的面积为 三、填空题 9．已知，，则 ． 10．在中，角所对的边分别为，且满足.角= . 11．对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 12．已知，求的值. 13．已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值； (2)若，求的值. 14．在中，求的最大值. 15．如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$