8.2.1 两角和与差的余弦课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 高考考向分析 06 高考模拟 05 知识测评 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 两角差的余弦公式 1 两角差的余弦公式 对任意 , ,都有 . 此公式给出了任意角 , 的正弦、余弦值与其差角 的余弦值之间的关系, 称为两角差的余弦公式,通常简记为 . . . 6 特别提醒 1.公式中的 ， 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 2.要掌握公式的逆用，如 . 3. 一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如, 当 , 时， . 4. , 是 的特例. 7 2 两角差的余弦公式的推导 图8.2.1-1 教材深挖 POINT 两角差的余弦公式的推导方法有很多，为了开拓视野，除了教 材上的推导方法，这里再给出两种证明方法.#1.1 如图8.2.1-1,设角 ， 为锐角，且 .角 的终边与单位圆的交点为, ,则 .#1.1.1 过点作垂直于轴，垂足为，那么 .#1.1.1.1 过点作垂直于,垂足为过点作垂直于轴，垂足为过点作 垂 直于,垂足为则 , , 并且 . 于是. 8 以上结果是在 , , 都是锐角，且 的情况下得到的，经验证，角 , , 为任意角时上述结论也成立. 于是，对任意角 , 都有 .#1.1.1.5 图8.2.1-2 如图8.2.1-2所示，在单位圆中以原点为顶点、 轴正半轴为始边作角 与单位圆交于，则 ,以 为始边作角 与单位圆交于,则 , 以轴正半轴为始边作角 与单位圆交于 ，则 , 为单位圆与轴正半轴的交点，则,显然 ,故 , 整理得 . 综上，对任意角 , 都有 . 说明 这两种证明方法的基本思路：方法1利用单位圆将同一线段用不同的方 法表示进行证明；方法2利用单位圆构造出公式两边所需的三角函数，找到其中的相 等关系进行证明. 典例详解 例1-1 [教材改编P93 T1] _ _____. 【解析】（ ）也可直接将角变换为 ,或 （ ）（角的变换） . . . . . 11 例1-2 [教材改编P93例4] (2025·江苏省徐州市第三十七中学月考) 的值等于( ) D A. B. C. D. 【解析】 （注意公式的逆用） ． 例1-3 [教材改编P93例3] 已知,,则 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】,,, , . . . 12 例1-4 若，且，则 的值为( ) C A. B. C. D.1 【解析】因为,弦切互化求出 的值，从而求 且 , 所以 , 则 . . . 13 知识点2 两角和的余弦公式 1 公式推导 在中，用 代替 ，则有 , 即 . 此公式即为两角和的余弦公式，记为 . . . 14 知识延伸 向量的数量积推导两角和的余弦公式 图8.2.1-3 如图8.2.1-3所示的单位圆中，设 , , 则 另一方面， , 所以 . 15 2 两角和与差的余弦公式的结构特征 比较公式和 ，可得二者的结构特征： 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，加减相反”. （1）“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； （2）“加减相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反， 即两角和的余弦展开后两项之间用“-”，两角差的余弦展开后两项之间用“ ”. 16 典例详解 例2-5 [教材改编P94 T3] (2025·山西省运城市期末)已知 ， 都是锐角， ，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】已知 ， 都是锐角，， ， 则，．同角三角函数的关系： 故 ． . . 17 例2-6 [教材改编P93例4] (2025·海南省海口市第二中学月考) 的值等于( ) D A. B. C. D. 【解析】 的结构特征，逆用公式 . . . 18 重难拓展 知识点3 角的变换 角的变换是三角恒等变换的首选方法，在进行三角恒等变换时，对角与角之间 的关系必须进行认真的分析. 1 分析角之间的和、差、倍、分关系 （1）,, ; （2）, ; （3） , ; （4）, ; （5） . 19 2 熟悉两角互余、互补的各种形式 如, ,正确使用诱导公式的正用、逆用、变形应用. 3 常值代换 如1，，，，, 等均可转化为某个特殊角的三角函数值，从而将常数代 换为三角函数值使用.常用的代换有: 为任意角， , , , 等. 20 典例详解 例3-7 (2025·北京市顺义区月考)已知 ， 都是锐角， ， ,则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 , 都是锐角，, , , ,（勾股数3,4,5） ，（勾股数5,12,13） （将角转化为正余弦值可求解的两角的差，从而使用公式 解题） . . . . . . . 21 题型解析 03 题型1 给角求值 例8 求下列各式的值: （1） ; 【解析】 . 23 （2） . 【解析】 （利用诱导公式转化为公式 的结构） . . . 24 名师点评 解答类似第（1）小题的问题时需要注重两个转化：①大角与小角的转化 （工具——诱导公式）；②非特殊角化特殊角（工具——两角和与差的余弦公式）. 解答第（2）小题时我们只要逆向应用两角和与差的余弦公式即可，当角不统一时， 用诱导公式化成同角. 25 两角和与差的余弦公式的正用与逆用 （1）正用公式应记住特点：同名相乘，加减相反．（2）逆用公式时应准确找出式 子与公式右端的异同，创造条件逆用公式，注意逐一分析条件中哪两个角对应公式 中的角 , ．特别是当形式不满足时,要借助诱导公式或提取负号把形式统一到两 角和与差的余弦公式的展开式中,如 . 26 【变式题】 1.(2025·安徽省阜南实验中学月考) 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】原式 . 27 题型2 条件求值 1 给值求值 例9（1）若,,则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得,则,所以 【另解】直接展开,结合求解，但运算量较大 . . . 28 （2）(2025·江苏省南通市月考)已知， ，则 的值为_____. 【解析】因为, , 所以 ①, ②. 得， , 即,解得 . 29 （3）(2025·山西大学附属中学校月考)若,, ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 30 【解析】注意到，则 ， 所以 . 又，所以 ， 所以 ， 所以 ， 从而 . 31 （4）已知,,,,则 的值 为___. 【解析】由,易知 , 所以由,得 . 由，易知 , 所以由,得 . 所以 ， 所以（ ）（虽然 不能直接从 , 得到，但可以以 进行过渡，再利用诱导公式得解） . . . 32 思路点拨 （1）观察与 的关系，由 ,借助两角差的余弦公式 求解. （2）根据同角三角函数的平方关系创设使用两角差的余弦公式的条件，求得 的值． （3）关注目标角与条件角 和角 的关系，不难发现 ，剩下的工作就是确定函数值的符号. （4） 33 2 给值求角 例10（1）(2025·湖北省荆州市期末)已知,,且 , 那么 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由,得 , 又, , , , 则 ,故 . 34 （2）(2025·江苏省南通中学段考)若，，且 ， ，则 的值是( ) B A. B. C.或 D.或 【解析】，， ，， ， 又, ，（注意结合三角函数值，合理缩小角的范围）即 ， ， ， ， . . . 35 又， ， . . 又,, , . 37 条件求值问题的解题思路和常用技巧 所谓给条件求值，本质上是寻求差异，包括角的差异和函数名的差异，因而三角变 换求值本质上是差异分析，不妨称之为差异分析法.即在探求过程中不断寻求角的差 异、函数名的差异，并运用角的变换和函数名的变换使得差异趋同进而解决问题. 1.对于给值求值问题，即根据给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数 值的问题，解题的关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”.再利用已知条件，结 合同角三角函数的基本关系式求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定三角 函数值的符号． 2.解给值求角型问题一般分下列三个步骤：（1）求角的某一三角函数值；（2）确 定角所在的范围；（3）根据范围确定角. 38 【变式题】 图8.2.1-4 2.新考法 数学文化 (2025·广东省江门市培英高级中学期中)古 希腊的数学家特埃特图斯通过如图8.2.1-4所示的图形来构造 无理数，，， ．记 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题可得，， ， ，故 ，故选B． 39 3.若，，且 ， 则 ( ) B A.或 B. C. D.以上答案都不对 【解析】 , , . , , 整理得 ， 即, . 40 , ,或 . 同理可得,解得或 . ,解得或 . ,,, . 故 的值为 . 41 题型3 三角形中的有关问题 例11 已知在中，，,则 ___. 【解析】,，,且 . ,, . 若,，且, , 易错点 POINT 此处如果没有进一步挖掘题目的隐含条件“”,就会得到错误答案: 或 . 42 则 ,,与 矛盾， ，故，则 , . . . 43 例12 在中， ,则这个三角形的形状是( ) B A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【解析】 , , 即 . 又 ,, . 为 的内角， 为钝角，故 为钝角三角形. 44 解三角形问题在后续学习中还有专门探究，如果涉及与三角函数诱导公式和两角和 与差的三角函数公式有关的三角形问题，要注意角的范围这一隐含条件，还需要结 合三角形中的有关知识（如 解答. 45 高考考向分析 04 考情揭秘 余弦和（差）角公式与下节将要学习的正弦和（差）角公式一样，都是高考考查的 热点，利用公式化简、求值需要能够灵活正用、逆用公式.以选择题、填空题为主， 试题难度中等偏下. 核心素养：逻辑推理（由前后角间关系选择合适的公式），数学运算（求三角函数 式的值）. 47 考向 两角和与差的余弦公式的应用 例13 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知,,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】（1）由得 ①.由 得 ②， 由①②得 所以 . 48 例14 (2025·上海春季)已知，则 ___. 0 【解析】 因为，所以 , ，所以 . 因为，所以 ，所以 . 49 高考新题型专练 1.[多选题] (2025·江苏省南通中学月考)已知 ， , ，下列选项正确的有( ) ACD A. B. C. D. 50 【解析】由,，得 ，故A正确； 由，得 ，因为 ，所以，又 ，其中 ，若，则 ，则 ，与 矛 盾，所以 ，故B错误； ，故C正确； 51 由及 ，得 ，故 ,又 且,所以 ,所以 ，故D正确． 故选 . 52 2.[多选题] (新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，点, , , ,则( ) AC A. B. C. D. 【解析】由题可知，, ， 所以 ，故A正确； , ,则 ，故B错误； 因为, ，所 以 ，故C正确； 因为 , ，故D错误.故选 . 53 知识测评 05 建议时间：20分钟 1. 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 55 2. 的值是( ) C A.0 B. C. D. 【解析】和不是特殊角，但 ,所以本题可利用角的互余关系转化函数 名，逆用 求值. . 56 3. 的值是( ) A A. B. C.1 D. 【解析】 . 4.(2025·四川省成都市期末)已知角 为第二象限角，，则 的值为 ( ) D A. B. C. D. 【解析】因为 为第二象限角，，所以 ，则 . 57 5.(2025·河北省石家庄市期中)已知，是圆心在坐标原点 的单位圆上的两点，分 别位于第一象限和第四象限，且点的纵坐标为，点的横坐标为,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可得，点,分别位于第一象限和第四象限， , ， ， . . 58 6.［多选题］(2025·广东省佛山市期中)已知 为第一象限角， 为第三象限角，且 ，,则 可以为( ) CD A. B. C. D. 【解析】 为第一象限角，且， , . , 为第三象限角， 可能是第三象限角，也可能是第二象 限角， 59 当是第三象限角时， ，故 ]= ; 当是第二象限角时， ，故 ]= . 故选 ． 60 7.已知,，则 _ _____. 【解析】, ,, , . 61 8.(2025·浙江省宁波市期中)已知函数， . （1）求 的值； 【答案】 . （2）若,,求 . 【答案】,, , . . 62 高考模拟 06 建议时间：35分钟 9.在中，内角，，所对的边分别为，， .已知 ,则角 的大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】由已知 , 化简得 , 即 , 所以，所以 . 在中， ,所以,从而 . 64 10.［多选题］(2025·辽宁省沈阳市第二中学月考)已知 ， ， ， ， ，则下列说法正确的是( ) AC A. B. C. D. 【解析】由已知，得 , . 两式分别平方相加，得 , , ,故A正确，B错误. , ,,, , ，故C正确，D错误. 65 11.已知向量,,,则 的值为__. 【解析】, , 又, , , , . 66 12.已知,,其中,,则 的值为 _ ___. 【解析】,, , , . , . . 67 13.新考法 开放探究 (2025·上海市延安中学开学考试)上课不认真听讲的某同学将两 角和的余弦公式错误地记忆为 ，老师给定了 和 的值，该同学用错误的公式计算 的值，结果居然与正确答案相同， 请问：老师给出的是怎样的 和 的值？ 【答案】由 以及错误公式 ， 得 ， 得，即或 ， 得或 68 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 69 $