8.2.1 两角和与差的余弦（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 11.已知a=(1,一1)，b=(入，1).若a与b的夹角a为 13.已知正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中 钝角，求实数入的取值范围. 点，BE,CF交于点P.求证： 解：：a=(1,-1),b=(入，1) (1)BE⊥CF; ∴a=2,b1=√1+，a·b=x-1. (2)AP=AB.解：建立如图所示的平面直角坐标 ,a,b的夹角a为钝角. 系，设AB=2, 即<1， 则A(0,0),B(2,0). ,2+灭1-入，以2+2a+10 y ∴.A<1且入≠-1 ∴.A的取值范围是(-∞，一1)U(-1,1). 能力提升 NENG LI TI SHENG A(O) 12.已知a 1,3,0A=a-b,0B=a+b,若 (1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1). 2’2 △AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求 :BE.CF=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, 向量b. BE⊥CF,即BE⊥CF 解：设向量b=(x,y). (2)设点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1), 根据题意得OA·OB=0,1OA1=OB. FC=(2,1),:FP∥FC, ∴.(a-b)·(a+b)=0,a-b=a+bl, .x=2(y-1),即x=2y-2, .a=b,a·b=0. 同理，由BP∥BE得y=一2x十4， x2+y2=1, 6 -2x4得 由 2=2y-2, 8 y= 5 z=3, 解得 2 2 或 点P的坐标为() y2 y=-2 .API= )+) =2=AB1,即AP =AB. 8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 课程标准 素养解读 1.通过探索得到两角差的余弦公式、并能熟记公式，灵活应用 通过两角差的余弦公式的推导及应 2.体会向量法在差角余弦公式推导过程中的作用 用，提升逻辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P68 [情境引入] (2图为os(受 -a)=sin a,cos cos a+sin 2sin a 回顾三角函数的诱导公式： (1)c0s(π-a)=cos元-cosa能否成立？ =sin a. (2)cos(受-a）=cos受cosa十sin受sin成立吗？ 所以cos(受-a)=cos受cosa十sin受sina成立. 提示：(1)不成立.因为c0s(π-a)=一cosa,cosπ [知识梳理] [知识点一]两角差的余弦公式 cosa=-1-cosa,若cos(元-a)=cos元-cosa,则 (1)公式：cos(a-)=cos acos B+sin asin. 一1=0矛盾，故不成立. ·128· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ①简记符号：C。 cos(a+B)=cos[a-(-B)]=cos acos(-B)+ ②适用条件：公式中的角a,3都是任意角 sin asin(-B)-cos acos B-sin asin B. (2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正 [预习自测] 余弦计算。 1.化简cos65°cos35°+sin65sin35°的结果是 (3)应用：①化简，②求值. ?思考1.公式的结构特征是怎样的？ A.cos 100 B.sin 100 提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反 c. D. 2.如何利用该公式推导诱导公式os(受一) 答案：C sin a? 2.下列式子中，正确的个数为 提示：c0s(受-a)=cos受cosa十sin号sina=0叶 元 (1)cos (a-B)=cos a-cos B; (2)cos sina; sin a-sin a. 3.cos(a一3)与cosa-cos3相等吗？ (3)cos (a-B)-cos acos B-sin asin B 提示：一般情况下不相等.但在特殊情况下也有相 A.0个 B.1个 等的时候.例如：当a=0°，3=60°时，cos(0°-60) C.2个 D.3个 =c0s0°-cos60° 答案：A [知识点二]两角和的余弦公式 3.cos65°·c0s125°+cos25°·sin125°= 在两角差的余弦公式中，以一3替代3就得到两角 答案：司 和的余弦公式.即C。+g: 课堂。互动学案 对应学生用书P68 规律方法 题型 公式的正、逆用 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后用公 [例1]求下列各式的值： 式直接求值. (1)c0s75°cos15°-sin75°sin195°. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角 (23c0s15+9in15 差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式 (3)cos105. 求值 [思路点拨](1)sin195°=sin(180°+15)= (3)公式Ca-的结构特点 ①同名函数相乘，即两角余弦乘余弦，正弦乘 sin15°；(2)7=cos60°，号=sin60 正弦. [解](1)原式=cos75°cos15°+sin75°sin15°= ②把所得的积相加， cas(75”-151）=c0s60=2 ◇[变式训练] 1.求c0s105°+sin195的值. (2)原式=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos45° 解：原式=cos105°+sin(90°+105°) - =c0s105°+c0s105 21 =2c0s105°=2c0s(135°-30°) (3)原式=c0s(60°+45°) =2(cos135°cos30°+sin135sin30°) =cos60°c0s45°-sin60°sin45 22 2 4 ·129· 必修第三册 数学B 题型二 给值求值荷题 ◇[变式训练] [例2](1)若sin(π+0)=一 三，9是第二象限角， 2.设cos(。-号)日sin(受一月可号其中a∈ sin(受+p）= ，9是第三象限角，求c0s(0 25 (经(0，)求eas p)的值： 解ae(会小co,) (2)已知sina= 2,c0s(a+3)= 5a,B均为锐 角，求cosB的值. 号（导号c〔至） [思路点拨寻找要求角与已知角之间的关系， im(。-号)=√-o。-号)=- [解](1)，sin(x+0)=-sin0= ,.'sin 0 5 是-m号习--哥-9 又0是第二象限角，∴.c0s0=一 4 5 (号十9)=0sg=-25,且9为第三象 os空8=cos[（e-号)-(：] 限角， 。)m(号m)m(号 .sin o= 3 9 27 .'cos(-)=cos Ocos +sin Osin 题型写 给值求角问题 5 [例3]已知sina= 号sing= D,且a和月均为纯 (2)由sina= 和a为锐角可得05。=厅n。 角，求a+3的值 思路点拨]“根据已知条件，确定角a干3的范 2 围，求角a十B的某个三角函数值，进而得a十3的 由cos(a十3)= 号和0a十B180可得na十8)= 大小. V-cosa+=手.于是cms月=cos[a十8)-a [解]因为α和月均为钝角， =cos(a+B)cos a+sin (a+B)sin a 所以cosa=一√个-sina= 2√5 ×+× 10 cos月=√-sing=-30 10 规律方法 由a和B均为钝角，得元<a十月<2π， 给值求值的解题策略 所以cos(a+)=cos acos B--sin asin3 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三 角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中 =(-25)x(-3-5×西-2 5 10 5 102 角的关系，即拆角与凑角 (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程 所以a十B=7 41 中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常 规律方法 见角的变换有： 已知三角函数值求角的解题步骤 ①a=(a-3)+B; (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. @-242, 2 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好 ③2a=(a十B)+(a-): 选取在上述范围内单调的三角函数 ④23=(a十B)-(a-): (3)结合三角函数值及角的范围求角. ·130· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] ∴0<a-K受 3.(1已知e,g均为锐角，且sna=25n9, 101 故a一月=平 则a一B= 1 (2)已知cosa=7cos(a+B)=-是a,e(0, (2)a9e(0,)a+8C(0,. 1 1 受)，则月 ”cosa=7,cos(a+=- 14 解析：(1)a,3均为锐角， sin a=4 5,cos B=310 ..cos a=5 ∴.cosB=cos[(a+B)-a] 10 -cos(a+B)cos a+sin (a+B)sin a .'cos(a-B)=cos acos B++sin asin B -9×酒+25×9 =(×+× 7 -21 10 5 102 0<登g=吾 又：sina>sin,0<gKa<, [答案]1)(2)号 随堂。步步夯实 对应学生用书P69 1.计算sin53°cos23°-sin37°cos67的值为( 4若sin(会+-青ae(受小则eos(后 A.-7 B名c9D- 解析：B[sin53°cos23°-sin37°cos67 解析：由诱子公式得sim(受十c0sa=一青 =cos37°cos23°-sin37°sin23 =c0s(37°+23°) 又a(，所以sima= 3 -6os60=J 所以c0(--ososa叶snna 2.已知sina= 号e(小则eos(任-的值为 =×(）+×g- A.② R焉 答案：3B-4 10 C.-2 D.-72 5已知sn(等+d是∈（各号）求cosa的值， 10 5 解折：B[a∈（sina=， 解e(后等)号+（爱 又m(（餐+j号 ..cos a= 4 uos(-aososa+sin牙sina cs(爱+)-m号+a】最 cosa=cos[g+e音] 3.求值：c0s105°cos15°+sin105sin15°= =cos(后+oams晋+sin(晋+a)sin 解析：原式=c0s(105°-15)=c0s90°=0. 答案：0 26 ·131· 必修第三册 数学B 课后。素养提升 对应学生课时P41 --● 基础过关 JI CHU GUO GUAN 25,c0sp= 25 5 1.sin14°cos16°+sin76°cos74的值是 A号 B号 “9是第三象限角，∴sing=-5 .'cos(0-)=cos dcos +sin 0sinp C.- n.-合 -〔)×()×()] 解析：B[sin14°cos16°+sin76°cos74 =cos 76'cos 16+sin 76sin 16 5.e知me-)停则srm(-) =c0s(76°-16°) -os60-2】 A.-23 3 B.±28 3 2.化简-sin(x十y)sin(x-y)-cos(x十y)cos(2x一y)的结 C.-1 D.±1 果为 A.sin 22 B.cos 2z 解：C[:ms一)oss晋十nn C.-cos 22 D.-cos 2y 浴 解析：D[原式=-cos[(x+y)-(x-y)门= >Cos十2-s1n2 3 -cos2y,故选D.] 3 3.在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B,则 sin xsin 2 cos 3 △ABC一定为 ) 3 2sin A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析：D[,sin Asin B<cos Acos B, 选C.] .cos Acos B-sin Asin B>0, 6.(多选题)已知cosa= .cos(A+B)>0,即cos(π-C)>0,.-cosC 亏，sin=- 9是第四 >0, 象限角，则cos(B-a)的值是 ( ÷osC<0.0<C<>C>受， A器 B需 .△ABC为钝角三角形.] c器 D. 4.若sin(π+0)=- ，0是第二象限角in(受+g 解析：AC[由条件知，a为二、三象限角，cosB =-25 ,9是第三象限角，则c0s(0-p)的值是 当a为第二象限角时，sina= 5cos(B-a)=cos poos a A.⑤ 5 R号 +sin sin a= ×()+()×-器 C.1⑤ D.5 4 25 当a为第三象限角时，sina=- cos(g-a）=cosg 解析：B[,sin(x十0)=一 …sin0=3 3 , sa叶s如n。音×()+()×() ,0是第二象限角，c0s0=一 5 ·132· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 7.计算2sim60-5。 cos60°= 11.已知cosa= 7,os(a+)=-是，且a, 解析：原式=sin30°·sin60°-cos30°·cos60° O,受)求cos9的值. =-c0s(30°+60°)=-c0s90° =0. 解：a9(0,号)a十e0,x 答案：0 又：cosa=7os(a十= 8若case角=寸则(sna十smm十(msa十osm in aco 解析：原式=2十2(sin asin B-+cos acos3) =2+2c0sa-0=8 sna》V1osa+- 又B=(a十B)-a, 答案： .'.cos B=cos[(a+B)-a] -cos(a+B)cos a+sin(a+B)sin a 9.(多空题)已知a,P均为锐角，sina=5 ，cos月= =()×+票× 7 则asa十) ,则a-3 能力提升 解析：a,月均为锐角，sina-5, NENG LI TI SHENG 5 12.已知cos(a-3)= 是sa+g-景且ac cos o。25n8 10 (受xa+c(受2x小求角9的值。 ∴.cos(a+3)=cosa·cosB-sina·sin3 =25.四_5.3⑩ 解：由ac(受： 5 105 10 -√50_2 且cosa-)= 50 01 5 又sina<sinB,∴.a<B, 得sin(e一)= ·-受<a-K0. 由a+c(2x, 六cos(a-=cosa·cos+sina·sin月=2， 里.coa十g号 a-月=-至 得mam=意 答案：- cos23=cos[(a+3)-(a-3)] -cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+B)sin(a-B) 10.计算：(1)sin75°； (2)sin zsin(z+y)+cos zcos(+y). ×()+()×是=-1 解：(1)sin75°=cos15°=c0s(45°-30°) 又。c(臣+c(受2m =cos45°cos30°+sin45°sin30° 号×+9×} 2c(受8 4 (2)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy. 29=,则月=受 ·133· 必修第三册 数学B 13.已知角a的终边过点P(-4,3). 2cos a 8 (1)求 tan(3π+a) 的值； sin(5π-a)一 元 cos 2十a (2)因为B为第三象限角，且anB=专， (2)若B为第三象限角，且anB3,求cosa一的值. 所以sing=-青，os月=一号 4 解：(1)因为角a的终边过，点P(一4,3)， 由(D知sina=号，osa= 4 所以sina= 5,cos a=- 5 所以cos(a-3)=cos acos B+sin asin3 sin a 所以 tan(3x+a) cos a （-)×(-)+×(-)=0. sin(5x-a)-cos +a sin a+sin a 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第1课时 两角和与差的正弦 课程标准 素养解读 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和两角和的余弦公式 通过两角和与差的正弦、余 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征 弦公式的应用，培养学生逻 3.能灵活运用公式进行化简和求值 辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P70 [情境引入] 2思考1.你能分别用C+m与C。m求cos75°的值吗？ 回顾三角函数的诱导公式 提示：方法一：c0s75=c0s(45°十30°) (I)sin(π十a)=sinπ十sina对任意a能否成立？ (2)sin(受十a）=sin受cosa十eos受sine成立吗？ =cos45c0s30°-sin45sin30°=6-V2 方法二：c0s75°=cos(120°-45°) 提示：(1)不成立.因为sin(x+a)=一sina,sinr十 sin a-sin a. =cos120°cos45°+sin120°sin45°=6-2 (2)图为sin(受十a）=cosa,sincosa十cossina 2 2.两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推 导而来的？ =cosa,所以sin( 元 叶a)=sin2cosa十cos2sine 提示：在两角差的余弦公式cos(a一)=cos acos B十 成立 sin asin3中，只要用一B替换B,便可以得到两角和 [知识梳理] 的余弦公式 [知识点一] 两角和与差的余弦公式 [知识点二 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 cos(a十3)= a,3∈R 余弦 C(a+B) 两角和 sin (a+8)= cos acos B-sin asin B 的正弦 Sutp a,3∈R sin acos B+cos asin B 两角差的 cos (a-B)= C(a-P a,B∈R 余弦 cos acos B+sin asin B 两角差 sin (a-B)= 的正弦 S- a,B∈R sin acos B-cos asin B ·134