精品解析：浙江省杭州市第四中学吴山校区2025-2026学年高二上学期期中考数学试题

杭州四中（吴山）2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试题卷 命题人：张健 审核人：余云娟 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 若过点的直线的斜率为，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 3. 已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 4. 如图，四面体中，，，，为中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算，以为基底表示出向量即可. 【详解】由题可知， 由为的中点，为的中点可得， 即， 即，所以， 即. 故选：D 5. 在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 三角形 【答案】B 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式将几何条件转化为代数方程，再配方得到圆标准方程，从而确定点的轨迹. 【详解】以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设, 则由得， 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 6. 设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 8. 已知A，B是圆上的动点，且，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设AB的中点为Q，根据弦AB的长，可得点Q的轨迹以O为圆心，半径的圆，根据向量线性运算法则及数量积公式，可得的表达式，根据两圆的位置关系，可得的范围，代入所求，即可得答案. 【详解】设AB的中点为Q，连接OQ，OA，则，且， 因为圆的半径，则， 所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径的圆， 又， 所以， 因为P是圆上的动点，圆的半径，且， 所以，即， 所以. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，确定各个向量坐标，结合向量模长公式，相等向量和相反向量、向量坐标运算逐个判断即可. 【详解】  以为原点，分别以为轴建系，如图： 则， 对于A： ，模长，A正确. 对于B： ，是相等向量，B正确. 对于C： ， 而 ，C错误. 对于D： ，，因此， D正确. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 存在m使得直线的倾斜角为 C. 若，则 D. 不存在实数m使得 【答案】AC 【解析】 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 直线与的斜率之积可能为 C. 存在点使得 D. 取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆方程即可判断A正确，设出点坐标并利用椭圆性质及其范围可判断B错误，满足的点在以为原点，1为半径的圆上，此时圆与椭圆无交点，即C错误；利用椭圆定义求得的表达式并利用二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确； 对于B，设，则， 又点在上，则，即，所以， 由得，所以， 因此不可能为，B错误； 对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上， 易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误； 对于D，由椭圆的定义可得，， 易知，则，D正确． 故选：AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 平行直线与之间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由两条平行线间的距离公式得直线与之间的距离为. 13. 过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 14. 如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取OA的中点F，BO的中点G，根据异面直线所成角的定义作出直线与直线所成角，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】取OA的中点F，BO的中点G，连接ED、EF、EG、GC、CF，如下图所示， 因为D，E分别为，的中点， 所以，且 ， 又O为AB的中点，所以，则，且 ， 因为F为OA的中点，所以且， 所以四边形EDAF为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为直线与直线所成角， 在中，，则， 在中，，则， 同理， 因为E，G分别为SB、BO的中点， 所以，且， 在中，， 在中，， 由图象可得为锐角，所以， 则直线与直线所成角的大小为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． （1）求点G到直线的距离； （2）求正方形外接圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可； （2）利用正方形的性质得出其外接圆半径计算即可. 【小问1详解】 由题意可知到的距离为； 【小问2详解】 由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 16. 在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． （1）求点B到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由点到平面的距离公式即可求解； （2）由空间向量的线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系， ， 取平面内两个向量：，， 设平面的法向量为， 则 令，得， 即，又， 则点B到平面的距离； 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，，  则， 且，， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 17. 已知点，圆． （1）若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； （2）已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程 则圆心到直线的距离为， 所以弦的长 18. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【答案】（1）； （2）过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质计算参数即可； （2）设直线l方程及M，N坐标，先推导椭圆的第三定义，将斜率关系转化，再构造齐次化方程计算参数即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则， 当P为椭圆上顶点时，此时，所以， 即该椭圆方程为：； 【小问2详解】 过定点， 易知，由于直线l不过A点，可设， 设， 则， 所以，则， 椭圆方程可化为 ， 则， 易知，则是上述方程的两个根， 即，所以， 即，过定点. 19. 在梯形中，，，，P为中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州四中（吴山）2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试题卷 命题人：张健 审核人：余云娟 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只上交答题卷. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若过点的直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，四面体中，，，，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 三角形 6. 设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A B. C. D. 8. 已知A，B是圆上的动点，且，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，在长方体中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 存在m使得直线的倾斜角为 C. 若，则 D. 不存实数m使得 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 直线与的斜率之积可能为 C. 存在点使得 D. 取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 平行直线与之间的距离是__________． 13. 过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 14. 如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． （1）求点G到直线距离； （2）求正方形外接圆的标准方程． 16. 在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． （1）求点B到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知点，圆． （1）若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； （2）已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 18. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $