专题01 一元二次方程的解法7种题型（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 一元二次方程的解法7种题型 题型一：直接开平方法解一元二次方程 题型二：配方法解一元二次方程 题型三：公式法解一元二次方程 题型四：因式分解法解一元二次方程 题型五：用适当的方法解一元二次方程 题型六：阅读理解题（配方法的应用） 题型七：阅读理解题（换元法的应用） 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．用直接开平方法，解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得：或． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． 4．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 题型二：配方法解一元二次方程 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解．化简后利用配方法解方程． 【详解】解：， 化简为：， 配方得：，即， 开方得． ∴，． 6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方的基本步骤，解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程 【答案】，． 【分析】利用配方法，将方程左边配成完全平方式，右边化为常数，再求解．本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（移项、配方、开方、求解）是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∴，． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的步骤、正确计算是解题的关键． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得：， 方程左右两边同加上得：， 整理得：， ∴， ∴，． 9．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先移项，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， 解得； （2）解： 移项得：， 配方得：， 即：， 开方得：， 解得． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）用配方法解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 题型三：公式法解一元二次方程 11．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得：，． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】．解：， ， ． ， 即． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用公式法解方程即可． 【详解】解：， 其中，，，， ， ， ，． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）选用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的求根公式． 先确定方程各项系数，再计算判别式的值，最后代入求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． 15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键． 原方程化为，得根的判别式，得到，即得，． 【详解】解：方程化为， ，，． ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 题型四：因式分解法解一元二次方程 16．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： 或， ∴，． 17．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程， 先整理，再因式分解，即可求出解. 【详解】解：， 整理，得， 因式分解，得， 即或， ，. 18．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，观察式子特征，运用因式分解法进行方程，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，． 19．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 ． 先将给定的方程化为一般形式，然后通过因式分解将方程左边转化为两个一次因式的乘积，再根据若两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0的原理，分别求解两个一次方程，从而得到原一元二次方程的解． 【详解】解： 移项得： 采用十字相乘法：分解为与，分解为与，交叉相乘再相加可得， 或， 解得：或． 20．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程－因式分解法．利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即，， 解得：，． 21．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先化为一般式，再由因式分解法求解即可． 【详解】解：； ； ； ∴或； ∴，． 题型五：用适当的方法解一元二次方程 22．（24-25八年级下·安徽池州·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把方程化为一般形式，再利用配方法解出方程即可． 【详解】解：， 整理得：， 则， ， ∴， ∴． 23．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）用合适的方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握解一元二次方程方法．利用因式分解求解，即可解题． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， 解得，． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当方法解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ，． 25．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 配方，得， ． 方程两边同时开方，得 ， 则，或． ，； （2）解： ． ， ． ，或． ，． 26．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握方法是解题的关键． （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 或， 或 （2）解： ， ， ， ， ， 或． 27．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 28．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 29．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，掌握并熟练运用直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题关键． （1）移项得，利用直接开平方法即可求解； （2）分解因式得，利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解：由 得， ，． （2）解：由， 得， ，． 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）选择适当的方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）先去括号，然后移项，合并同类项，进而利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型六：阅读理解题（配方法的应用） 31．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 32．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3) 【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等． （1）根据题意配方即可得到本题答案； （2）先提出2，再配方即可求最值； （3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 34．（23-24八年级下·安徽滁州·月考）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)，见解析 (3)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合（1）求解即可； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 35．（23-24八年级下·安徽淮北·月考）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为． 题型七：阅读理解题（换元法的应用） 36．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 37．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 38．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【详解】（1）设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， （2）设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 39．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 40．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于的一元二次方程； （2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可． 【详解】（1）令 ∴ ∴ ∴， ∴（舍去），   ∴； （2）令   ∴ ∴    ∴ ∴， ∴，        ∴， 经检验，，为原方程的解. 41．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2) (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤． （1）根据换元法，可得答案； （2）根据换元法，可得答案； （3）根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则； （2）解：设，则， ，即， 解得，则或（舍去） ； （3）解：设最小的正整数为，则其它三个正整数分别为，，， 根据题意，得， ， 设，则， ， 解得，（舍去） ，即， 解得，（舍去）， 这四个连续的正整数为2，3，4，5． 42．（24-25八年级下·安徽六安·月考）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意可得换元法达到降次的目的； （2）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解； （3）仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 43．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的解法7种题型 题型一：直接开平方法解一元二次方程 题型二：配方法解一元二次方程 题型三：公式法解一元二次方程 题型四：因式分解法解一元二次方程 题型五：用适当的方法解一元二次方程 题型六：阅读理解题（配方法的应用） 题型七：阅读理解题（换元法的应用） 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1．（24-25八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 3．解方程：． 4． 解方程：． 题型二：配方法解一元二次方程 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）用配方法解方程：． 7．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 9．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）解方程： (1) (2) 10．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）用配方法解方程： (1) (2)． 题型三：公式法解一元二次方程 11．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）选用适当的方法解方程：． 15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）解方程：． 题型四：因式分解法解一元二次方程 16．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程：． 17．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）解方程： ． 18．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）解方程： 19．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 20．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 21．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解一元二次方程：． 题型五：用适当的方法解一元二次方程 22．（24-25八年级下·安徽池州·期中）用适当的方法解方程：． 23．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）用合适的方法解方程：． 24．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当方法解下列方程：． 25．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程： (1)； (2)． 26．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 27．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 28．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程： (1)； (2)． 29．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）选择适当的方法解方程． (1) (2) 题型六：阅读理解题（配方法的应用） 31．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 32．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 34．（23-24八年级下·安徽滁州·月考）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 35．（23-24八年级下·安徽淮北·月考）【探究学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 题型七：阅读理解题（换元法的应用） 36．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 37．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 38．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 39．（23-24八年级下·安徽亳州·月考）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 40．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1)； (2)． 41．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 42．（24-25八年级下·安徽六安·月考）【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 43．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $