精品解析：新疆乌鲁木齐市幸福中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

新疆乌鲁木齐市幸福中学2024-2025学年下学期 八年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共27分）． 1. 下列根式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，已知，则数轴上点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 7. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A B. C. D. 8. 古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A. B. C. D. 9. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分）． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 11. 最简二次根式能与合并，则_____． 12. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为_______． 13. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 14. 将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 ________ 15. 如图，正方形的边长为2，为正方形内与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为_____． 三、解答题（共55分）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 课本12页有如下问题：现有一块长，宽为的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请先判断，然后再写出理由． 19. “一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）证明： 20. 小丽在物理实验课上利用如图1所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．如图2，她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处（也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，）．小丽在实验中还记录下了．依据记录的数据，求量角器的半径长． 21. 如图．已知点P、Q是对角线上两点，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________． 22. 如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 23. 综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”主题开展数学活动． （1）作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． （2）迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆乌鲁木齐市幸福中学2024-2025学年下学期 八年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共27分）． 1. 下列根式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二次根式的定义：形如的式子是二次根式．关键是，根据定义可得答案． 【详解】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意． B．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． C． 是二次根式，故本选项符合题意． D．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、不能合并，选项错误； 故选C． 3. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题意可得：，，求出，继而得到，即可得到． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ∴． 故选：C． 4. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，，能判定为直角三角形； B．时，，不能判定为直角三角形； C．，，能判定为直角三角形； D．，则，能判定为直角三角形； 故选B． 5. 如图，已知，则数轴上点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数在数轴上的表示，勾股定理，解题关键是求出的长．先由勾股定理求出的长，再根据求得，从而可得A表示的数即可． 【详解】解：由数轴可知 ∵， ∴， ∴数轴上点A表示数为． 故选：C． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选A． 7. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质，绝对值，数轴上实数大小的比较等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键；由数轴知，从而可确定的符号，由二次根式的性质及绝对值可化简． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ； 故选：A． 8. 古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 9. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质以及四个大三角形全等，证明，故①正确；根据三角形全等得到三角形的面积相等，根据对应边相等，得到，再利用三角形和四边形的面积差得到结论，故②错误；根据勾股定理得到，根据，继而根据完全平方公式得到，继而得到，，故③正确；根据，，两式相加，得到，故④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在正方形中，，． ∴， ∴，故①正确； ，， ∵， ∴， ∴， ，即，故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴，故④正确. 故①③④正确，②错误． 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分）． 10. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 11. 最简二次根式能与合并，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查看同类二次根式，先化简，再根据最简二次根式能与合并可得，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可得c的面积b的面积a的面积即可得到答案． 【详解】解：如图， 三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，即， 根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 13. 如图，平行四边形中以点为圆心，适当长为半径作弧，交、于、，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，若，，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由作图过程可知，平分，结合平行四边形性质，推出，进而得到，最后结合平行四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：由作图过程可知，平分， ， 四边形为平行四边形， ，， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线作图，角平分线定义，平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于根据角平分线，平行线性质得到等腰三角形． 14. 将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是准确运用直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度，理清各线段的关系．先利用直角三角形性质求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 15. 如图，正方形边长为2，为正方形内与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线，证明三角形全等； 连接、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 正方形和正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共55分）． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可； （2）先根据二次根式的除法、平方差公式计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 18. 课本12页有如下问题：现有一块长，宽为的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请先判断，然后再写出理由． 【答案】能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法和无理数的估算，熟练掌握二次根式的应用是解题关键．先分别求出两个正方形的边长，再根据二次根式的加法和无理数的估算即可得． 【详解】解：由题意得：两个正方形的边长分别为，， ， ， 能采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 19. “一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）证明： 【答案】（1）无人机飞行路径的长为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； 【小问2详解】 证明：，， ， 直角三角形，且， 20. 小丽在物理实验课上利用如图1所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．如图2，她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处（也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，）．小丽在实验中还记录下了．依据记录的数据，求量角器的半径长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意，得， 解得， ∴量角器的半径长． 21. 如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点并能够添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． （2）先证明，，再利用平行四边形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵Q为中点，， ∴， ∵的面积为2， ∴，， ∴的面积为． 22. 如图，已知矩形． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【小问1详解】 解：如图1所示，直线为所求； 【小问2详解】 证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23. 综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动． （1）作判断 操作一：对折长方形纸片，使与重台，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在长方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，______度． （2）迁移探究：嘉琪将长方形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． 如图．当点在上时，______度，______度； 改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）， ，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； 根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可知，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出、、，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 取的中点为，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，， ； ，， ， ， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在点的下方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ； 当点在点的上方时，如图， ，，， ，， 由（2）可知，， 设，， ， 即， 解得：， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $