第3章 圆 章末复习-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 章末 即考点整合 >>>》>>>>>>>综合运用】 考点一：垂径定理 1.(广西中考)赵州桥是世界现存最早、跨度最 大的空腹式单孔圆弧石拱桥.如图，主桥拱呈 圆弧形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵 州桥主桥拱半径R约为( A.20m B.28m C.35m D.40m 37m m 海平线 第1题图 第2题图 2.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日 出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A,B 两点，他测得“图上”圆的半径为10cm,AB= 16cm.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳 出海平线的时间为l6min,则“图上”太阳升起 的速度为() A.1.0 cm/min B.0.8 cm/min C.1.2 cm/min D.1.4 cm/min 3.(牡丹江中考)AB是⊙O的弦，OM⊥AB,垂 足为点M,连接OA.若△AOM中有一个角 是30°，OM=2√3，则弦AB的长为 考点二：圆周角和圆心角 4.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两 点，且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相 交于点E,F,则下列结论不一定成立的 是() A.OC//BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF-FD B 第4题图 第5题图 5.(淄博中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角 形，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC边上 98】做神龙题得好成绩 复习 点，连接AD并延长交⊙O于点E.若AD= 2,DE=3,则⊙O的半径为( ) A.√10 &品而 C.2√10D.3√10 考点三：直线与圆的位置关系 6.(徐州中考)如图，在⊙O中，直径AB与弦 CD交于点E,AC=2BD,连接AD,过点B的 切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°， 则∠DEB= B 第6题图 第7题图 7.(滨州中考)如图，⊙O是正方形ABCD的内 切圆，切点分别为E,F,G,H,ED与⊙O相 交于点M,则sin∠MFG的值为 8.(陕西中考)如图，AC是⊙O的直径，AB是 ⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线.作BM= AB,并与AP交于点M,延长MB交AC于 点E,交⊙O于点D,连接AD. (1)求证：AB=BE. (2)若⊙O的半径R=5,AB=6,求AD 的长 考点四：弧长及扇形的有关计算 9.(广安中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=30°，BC=4,以BC为直径的半圆 O交斜边AB于点D,则图中阴影部分的面积 为() A.g B.2 3π-2 1W3 1 C.32 D.3r3 第9题图 第10题图 10.(遵义中考)如图，在正方形ABCD中，AC 和BD交于点O,过点O的直线EF分别交 AB于点E(E不与A,B重合)，交CD于点 F.以点O为圆心、OC长为半径的圆交直线 EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分 的面积为() A晋-日 B晋 c受日 n受月 11.(宁波中考)抖空竹在我国有着悠久的历史， 是国家级非物质文化遗产之一.如图，AC, BD分别与⊙O相切于点C,D,延长AC,BD 交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为6cm,则 图中CD的长为 cm.(结果保留π) D 12.（成都中考)为传承非遗文化，讲好中国故 事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该 场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是 10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到 第三章圆☑ 栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里 观看演出，如果每平方米可以坐3名观众， 那么最多可容纳 名观众同时观看 演出.（π取3.14，√3取1.73） 第12题图 第13题图 13.(大庆中考)如图，作⊙O的任意一条直径 FC,分别以F,C为圆心，以FO的长为半径 作弧，与⊙O相交于点E,A和D,B,顺次连 接AB,BC,CD,DE,EF,FA,可以得到六 边形ABCDEF,则⊙O的面积与阴影区域 的面积的比值为 14.(桂林中考)如图，四边形ABCD中，∠B= ∠C=90°，点E为BC的中点，AE⊥DE于 点E.点O是线段AE上的点，以点O为圆 心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G,交 BC于点F,连接OG (1)求证：△ECD∽△ABE. (2)求证：⊙O与AD相切. (3)若BC=6,AB=3√3，求⊙O的半径和阴 影部分的面积. 做神龙题得好成绩99 /同行学案学练测九年级数学下BS 即数学思想 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 核心素养 思想一：转化思想 15.(荆门中考)如图，正方形ABCD的边长为 2,分别以B,C为圆心，以正方形的边长为 半径的圆相交于点P,那么图中阴影部分的 面积为 A B 第15题图 第16题图 16.(重庆中考)如图，在菱形ABCD中，对角线 AC,BD交于点O,∠ABC=60°，AB=2,分 别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径 画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分 的面积为 ·(结果保留π) 17.(黄石中考)如图，AB为⊙O的直径，DA和 ⊙O相交于点F,AC平分∠DAB,点C在 ⊙O上，且CD⊥DA,AC交BF于点P. (1)求证：CD是⊙O的切线， (2)求证：AC·PC=BC2. (3)E知BC2=3FP·DC,求 AB的值 D P 0 100做神龙题得好成绩 思想二：方程思想 18.（武汉中考)如图所示，在四 A D 边形材料ABCD中，AD∥ BC,∠A=90°，AD=9cm, AB=20cm,BC=24cm.现B 用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则 此圆的半径是() A.cm B.8 cm C.6v2 cm D.10 cm 19.(东营中考)如图，在△ABC中，以AB为直 径的⊙O交AC于点M,弦MN∥BC交AB 于点E,且ME=3,AE=4,AM=5. (1)求证：BC是⊙O的切线. (2)求⊙O的直径AB的长度. 思想三：建模思想 20.有一架竖直靠在直角墙面4 的梯子正在下滑，一只猫位 于D处，紧紧盯住位于梯 子正中间的老鼠，等待与老 mKC 鼠距离最小时捕捉.把墙面、梯子、猫和老鼠 都理想化为同一平面内的线或点，模型如 图，∠ABC=90°，点M,N分别在射线BA, BC上，MN长度始终保持不变，MN=4,E 为MN的中点，点D到BA,BC的距离分别 为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 DE的最小值为√(4-2)2+3=√13；如图②，当点P在⊙0外时，过点 7.解：当圆心O在△ABC内时，如图①.，OD⊥BC于点D, O作OC⊥AB于C,连接OB.同上可知AC=4,OC=3,在 .BD=CD.又，AB=AC,∴.A,O,D在同一直线上.在 Rt△OPC中，OP=√PC+OC=V√(4+2)2+32= Rt△OBD中，BD=√OB2-OD=√5-32=4(cm).在 3√5.综上可知OP的长为√13或35. Rt△ABD中，AB=√WAD2+BD2=√/(5+3)2+4= B B 45(cm);当圆心O在△ABC外时，如图②.同上可得BD =4cm.在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD= √(5-3)2+4区=2√5(cm).综上，可知AB的长为 ① ② 4v√5cm或2√5cm. 3.7cm或1cm 4.解：当AB,AC在圆心O的同侧时，如图①，过点O作OD LAB于点D,连接QA,AD=2AB-, ,0A=1,由勾股 定理，得OD=7,∠04B=30,同理可得∠QAC=45, 1 ∠BAC=∠OAC-∠OAB=45°-30°=15；当AB,AC在 8.C 圆心O的异侧时，如图②.同理可得∠OAB=30°，∠OAC 9.4或8[解析]当点P在CD的左侧时，如图①，设⊙P与 =45°，∴.∠BAC=∠OAC+∠OAB=45°+30°=75°.综上 CD相切于点E,连接PE,则PE⊥CD.∠AOC=45°， 所述，∠BAC的度数为15°或75. ∠OPE=45°，∴.∠AOC=∠OPE,.PE=OE=√2， ∴.OP=√(W2)2+(W2)2=2(cm).这时⊙P运动时间为(6 一2)÷1=4(s);当点P在CD的右侧时，如图②，同上可求 得OP=2(cm),这时⊙P运动时间为(6+2)÷1=8(s).综 上可知，⊙P运动4s或8s后与直线CD相切 ① D 5.30°或150°[解析]①当圆周角所对的弧是劣弧时，如图， ∠ACB=号∠A0B=30,②当圆周角所对的弧是优流时， A PO 如图，易得∠ACB=150°.综上所述，弦AB所对的圆周角 等于30或150° ① ② 章末复习 1B2.A312或44C5.A6.6°75 8.(1)证明：AP是⊙O的切线，∴.∠EAM=90°，∴∠BAE 6.解：当点A在弦BC所对的优弧上时，如图①所示.连接 +∠MAB=90°，∠AEB+∠AMB=90°.又.AB=BM, OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,则BD=√3cm.在 .∠MAB=∠AMB,∴.∠BAE=∠AEB,.AB=BE. Rt△OBD中，，OB=2cm,BD=√3cm,∴.sin∠BOD= (2)解：如图，连接BC.AC是⊙O的直径，∴∠ABC= BD 90°.在Rt△ABC中，AC=10,AB=6,.BC=8.,BE= OB =,∠BOD=60.又OB=OC,OD⊥BC, AB=BM,∴.EM=12.由(1)知∠BAE=∠AEB, ∴∠COD=60°，.∠BOC=120°..∠A= ∠BOC= 1 △ABC∽△EAM∠C=∠AME,部-%即9- 号×120°=60.当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图② AM=s又∠D=∠C,∠D=∠AMD, 8 所示，可得∠BOC=120°，∴.∠A=120°.因此，∠A的度数 为60°或120°. AD=AM=48 5 E ① 2 ·22·同行学案学练测 9A10.B11.2x12.18413.2 18.B 3π 19.(1)证明：.在△AME中，ME=3,AE=4,AM=5, 14.(1)证明：AE⊥DE,.∠AED=90°，.∠DEC+ .AMP=ME2+AE2,∴△AME是直角三角形， ∠AEB=90°.∠C=90°，∴.∠CDE+∠DEC=90°， ∴.∠AEM=90°.又MN∥BC,∴.∠ABC=∠AEM= .∠CDE=∠AEB..∠C=∠B,.△ECD∽△ABE. 90°，∴.AB⊥BC.AB为直径，.BC是⊙O的切线. (2)证明：如图，延长DE,AB交于点M,作OH⊥AD于 (2)解：如图，连接OM,设⊙O的半径是r.在Rt△OEM 点H.E为BC的中点，∴.CE=BE.在△DCE和 中，OE=AE-OA=4-r,ME=3,OM=r.,OM2= (∠C=∠EBM △MBE中，CE=BE ,∴.△DCE≌△MBE(ASA), ME+0Er=分+(4-r,解得-怎AB=27 ∠DEC=∠MEB .DE=EM.,AE⊥DE,.AE垂直平分DM,∴.AD= - 4 AM,∴，∠DAO=∠MAO.OH⊥AD,OG⊥AB,.OH =OG,∴.⊙O与AD相切.(3)解：如图，连接OF.在 R△ABE中，：BE=3,AB=3V3,an∠AEB=4能 BE 35=3,∠AEB=60,∴.△OEF是等边三角形， 3 ∠OAG=30°，.AE=2BE=6,AO=2OG.设半径为r, ∴.6-r=2r,∴r=2,∴.EF=2,FB=EB-EF=1,AG= 20.2√5-2 2W3,GB=AB-AG=√3..∠GOF=180°-∠EOF 第一章检测题 ∠AQc=r,Sas=2x1+2x6-0X4-39 1.A2.B3.C4.A 360 2 5.A[解析]如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD 即h1,△PQR底边OR上的高为PE即h2.在Rt△ADC 31 中，h1=AD=5×sin55°，在Rt△PER中，h2=PE=5× sin55°，.h1=h2,故选A 55° 1250 15.2w3- 162g-号 D C R E 6.A7.D 17.(1)证明：连接OC,,OA=OC,.∠OAC=∠OCA. 8.D[解析]如图，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于点 AC平分∠DAB,.∠DAC=∠OAC,∴.∠DAC= ∠OCA,.DA∥OC.CD⊥DA,.OC⊥CD,∴.CD是 F,过点E作EM⊥AC于点M.,斜坡DE的坡度（或坡 ⊙O的切线.(2)证明：，AB为⊙O的直径，∠ACB 比)i=1：2.4,DE=CD=78米，.设EF=x,则DF= =90°.AC平分∠DAB,.∠DAC=∠BAC.∠DAC 2.4x.在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2,则x2+ =∠PBC,∴.∠BAC=∠PBC.又·∠ACB=∠BCP, (2.4x)2=782,解得x=30,.EF=30米，DF=72米， ACBADCPc PC-C .CF=DF+DC=72+78=150(米)..EM⊥AC,AC⊥ CD,EF⊥CD,∴.四边形EFCM是矩形，.EM=CF= (3)解：过P作PE⊥AB于点E,由(2)可知，AC·PC= 150米，CM=EF=30米.在Rt△AEM中，，∠AEM= BC2.BC2=3FP·DC,∴AC·PC=3FP·DC.CD 43°，.AM=EM·tan43°≈150×0.93=139.5（米），.AC ⊥DA,∴∠ADC=90°.，AB为⊙O的直径，∴∠BCP= AM+CM=139.5+30=169.5(米)，.AB=AC-BC= 90°，∴.∠ADC=∠BCP.'∠DAC=∠CBP,∴.△ACD 169.5-144.5=25(米).故选D. O△BPC,S-.AC·PC=BP,DC,BP, A DC=3FP·DC,.BP=3FP.,AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°，∴.FP⊥AD.AC平分∠DAB,PE⊥ AB,'FP-PE.SAARE 2AF·FP 2AF·FP D P△APB号AB·PE BP·A 1 9.D10.A 福鄙器 11.2212.40°13.3