第3章 9 弧长及扇形的面积&培优专题16：在圆中构造直角三角形解决问题的方法-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

PB=-8(舍去)，则AP=2十6=8. 6.解：如图，⊙O及正六边形AEFBCD即为所求. ① ② 培优专题14：巧用三角形的中位线 7.A8.B9.C 求解圆的问题 10.10-2√511.22 1.C2.D3.B4.B5.1 12.解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x.易知 6.5[解析]如图，作直径DG,连接 ∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB= CG.DG为直径，∴.∠DCG=90°， .∠CDG+∠G=90°.，AC⊥BD, 72°，∴.AB=BG=AE=2.,∠AEG=∠BEA,∠EAG= ∠DAC+∠ADB=90°.：∠DAC ∠BA△ABG∽△BEA能-EAE=BG· =∠G,∴∠ADB=∠CDG,∴AB EB,∴.22=x(x+2),解得x=-1十√5或-1-√5（舍 CG,AB=CG.OF⊥CD,.DF =CF.,OD=OG,.OF为△DCG的中位线，.CG= 去)，∴.EG=√5-1. 20r=2X号-5，AB=-5. 13.解：(1)，五边形ABCDE是正五边形，.∠ABC= 7.4[解析]如图，延长ID到点M,使DM (5-2)×180°=108.(2)△AMN是正三角形，理由： 5 =ID,连接CM.,I是△ABC的内心， 连接ON,NF,如图，由题意可得FN=ON=OF, ∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB. ∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°，.∠NMA= ,∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI= 60°.同理可得∠ANM=60°，.∠MAN=60°，.△AMN ∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB, B 是正三角形.(3)连接OD,如图，：'∠AMN=60°， ∴∠DIC=∠DCI,.DI=DC=DM, D ∴∠ICM=90°，∴.CM=√IMP-IC= M ∠A0N=120.∠A0D-380X2=144,∠N0D 8..AI=2CD=10,..AI=IM..AE=EC,..IE =∠A0D-∠AON=144°-120°=24°.，360°÷24°= △ACM的中位线，∴IE=2CM=4 15,.n的值是15. 8.(1)证明：连接OD.AD=DC,AO=OB,.OD是 △ABC的中位线，OD/BC,OD=2BC.:DG⊥BC, ∴OD⊥HG.:OD是⊙O的半径，∴.直线HG是⊙O的 切线.(2)解：设⊙O的半径为x,则OH=x+3,BC= 2.:0D/BC,∠H0D=∠B,∴as∠H0D=号，即 8品与一号得-2BC-4,BH-27mB 14.解：(1)如图，连接BD.:四边形ABCD是⊙O的内接四 吾器-号即g号解得-兰0-C 边形，∠BAD+∠C=180°.∠C E 7 =120°，∠BAD=60°.AB= BG=4-146 AD,.△ABD是等边三角形， 55 .∠ABD=60°.四边形ABDE是 8圆内接正多边形 ⊙O的内接四边形，.∠AED十 1.D2.54°3.72°4.45 ∠ABD=180°，.∠AED=120° 5.解：如图，正方形ABCD即为所求， (2)∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°. :∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，∴.n =360° 30°=12. 培优专题15：正多边形的性质及其应用 1.A2.A3.A485.156.T7.15 8.解：如图所示. 8.解：如图，延长BO交CD于点F,连接OD.⊙O与 ∠MAN的边AN相切于点B,∴.OB⊥AB,∴.∠ABF= 90.∠A=0,∠AFB=0,BF-gAB-号X5E s56 .:OE1CD,DE=CE.在R△OEF中， 9弧长及扇形的面积 ∠EF0=60,i60-8器-复0F-20e OF 3 1.B2.20π3.4V2π4.B5.B6.A7.B 0B=50E50e+23oE-5 ,解得0E=2, 8.23-π ∴.OB=√3X2=√6，.OD=OB=√6.在Rt△DOE中， 9.B10.C11.D12.A DE=√OD2-OE=√(W6)2-(W2)2=2,∴.CD=2DE 3.灭[解析]如图，圆为心O,连接OA,OB,OC,0D, =4. 0 培优专题17：旋转或折叠中的面积计算 1.C2.A O 3.解：如图，连接OM交AB于点C,连接 :OA=OB=0D=5,∠B0C=2∠BAC=45°，：.BC的 OA,OB.由题意知OM⊥AB,且OC= 长为5-要 1 41 MC=2,在Rt△A0C中，OA=1, 14.解：AB=AC,∠BAC=50°，.∠ABC=∠ACB=65°. BD=CD=BC,△BDC为等边三角形.∴∠DBC= F2cos∠A0C=0C=1 OA-2AC-0A-OC- ∠DCB=60°.∴.∠DBE=∠DCF=55.BC=6,∴.BD =CD=6.l金=1e-5XmX6_:DE,DF的长 ,∠A0C=60°，AB=2AC=3,∠A0B=2∠A0C 3 180 61 度之和为1r+11x_1x =120°，则S号形ABM=S赌形0AB一S△A0B 120mX1-×5 360 6+6=3, 1 15.(1)证明：如图，连接OC,则OC⊥AB.CD=CE,∴∠AOC ×分=号-9，Se=5m-2Sw=方xX1- (∠AOC=∠BOC =∠BOC.在△AOC和△BOC中，3OC=OC 2(骨9)-吾 ∠OCA=∠OCB=90 4.A5.6π ∴.△AOC≌△BOC(ASA),∴.OA=OB.(2)解：由(1)可得 6.解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2, AC=BC=号AB=25,在R△A0C中，0C=2, AC=2√3，AB=4.,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转 90得到Rt△ADE,∴.△ABC的面积等于△ADE的面积， ZA0C=∠B0C=60,∴Sar=2BC.0C=2× 2 ∠CAB=∠DAE,AE=AC=2√3，AD=AB=4, 23X2=25,.S形a0E 60XxX2=名元 ∴.∠CAE=∠DAB=90°，.阴影部分的面积S=S扇形AD 360 3π，S阴影= 十S△ABC一S期形CAE一S△ADE=S扇形BAD一S扇形CAE =90π×42 S△xc-S期形E=2/3- 360 3π 90πX(2√3)2 360 培优专题18：圆中的分类讨论 1.6或3 2.解：如图①，当点P在⊙O内时，过点O作OC⊥AB于C, 培优专题16：在圆中构造直角三角形 解决问题的方法 则AC=BC=2AB=4,连接OB,则OC=VOB-BC 1.102.√7-13.√/134.B5.√26.857.2√/10 =√52-4=3.在Rt△OPC中，OP=√PC2+OC= 同行学案学练测·21·第三章圆☑ 9 弧长及扇形的面积 (教材P100~101练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 5.[几何直观]（青海中考）如图，一根5m长的 知识点一：弧长公式及其应用 绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴 1.[应用意识]（兰州中考）如图①是一段弯管， 着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小 弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧 羊A在草地上的最大活动区域面积是() AB,圆弧的半径OA=20cm,圆心角∠AOB= YYYYYY YYYY 90°，则AB=() 120°1 v5而 4m B Y YS 思辨学习 6m→l AmB设emc25mn名m 17 ② 6.(临沂中考)如图，⊙O中，AB=AC,∠ACB= A.20πcmB.10πcmC.5πcmD.2πcm 75°，BC=2,则阴影部分的面积是() 2.(青海中考)如图，从一个腰长为60cm,顶角 为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个 A2 B28+号x 最大的扇形OCD,则此扇形的弧长为 C442 D2+ cm. C 第2题图 第3题图 第6题图 第7题图 3.(贵阳中考)如图，用等分圆的方法，在半径为 7.(资阳中考)如图，将扇形AOB翻折，使点A OA的圆中，画出了如图所示的花瓣图，若 与圆心O重合，展开后折痕所在直线1与AB OA=2,则花瓣图的周长是 交于点C,连接AC.若OA=2,则图中阴影部 知识点二：扇形面积公式及其应用 分的面积是( 4.(雅安中考)如图，某小区要绿化一扇形空地 2π3 OAB,准备在小扇形OCD内种花，在其余区 A.32 号一5 域内（阴影部分）种草，测得 ∠AOB=120°，OA=15m,B c号-9 n骨 OC=10m,则种草区域的 8.(菏泽中考)如图，在菱形 面积为() OABC中，OB是对角线， A.25元m2 B.125 m OA=OB=2,⊙O与边AB 3 3 相切于点D,则图中阴影部 C. 125元m 分的面积为 D. 6 做神龙题得好成绩 93 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 易错点：题意理解不清 14.如图，在△ABC中，AB=AC.分别以B,C 9.(凉山州中考)如图，在△AOC中，OA=3cm, 为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两 OC=1cm,将△AOC绕点O顺时针旋转90° 弧交于点D,与AB,AC的延长线分别交于 后得到△BOD,则AC边在旋转过程中所扫 点E,F,连接AD,BD,CD.若BC=6, 过的图形的面积为( A.cm ∠BAC=50°，求DE,DF的长度之和.（结 B.2πcm2 果保留π) c号m D 8πcm2 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 10.（泰安中考)如图，将⊙0沿 弦AB折叠，AB恰好经过 圆心O,若⊙0的半径为3， 则AB的长为( A B.π C.2π D.3元 11.(广东中考)如图，某数学兴趣小组将边长为 3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆 心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则 所得扇形DAB的面积为() 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 15.如图，AB与⊙O相切于点C,OA,OB分别 交⊙O于点D,E,CD=CE, B (1)求证：OA=OB. A.6B.7 C.8 D.9 (2)已知AB=4√3，OA=4,求阴影部分的 12.(宿迁中考)如图，正六边形的边长为2，分别 面积. 以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与 正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面 积之和（阴影部分面积）是( A.6√3-π B.63-2π C.6√3+π D.6√3+2π B D 第12题图 第13题图 13.(河南中考)如图所示的网格中，每个小正方 形的边长均为1，点A,B,D均在小正方形 的顶点上，且点B,C在AD上，∠BAC= 22.5°，则BC的长为 94做神龙题得好成绩 第三章圆☑ 培优专题16：在圆中构造直角三角形解决问题的方法 数 方法一：直接作垂线构造 AB=2,连接BQ,则线段BQ的长为 1.(衢州中考)如图是 一个圆形餐盘的正 面及其固定支架的 截面图，凹槽ABCD B 16 cm 是矩形.当餐盘正立 6.[推理能力]如图，AB是⊙O的直径，点M是 且紧靠支架于点A,D时，恰好与BC边相 ⊙O内的一定点，PQ是⊙O内过点M的一 切，则此餐盘的半径等于 cm. 条弦，连接AM,AP,AQ,若⊙O的半径为4， 方法二：利用平行关系构造 AM=√5，则AP·AQ的最大值为 2.如图，在扇形AOB中， ∠AOB=90°，OA=4,点C 在弦AB上，且AC=√2， 点D在弧AB上，且CD∥ OB,则CD= 方法三：根据垂径定理构造 第6题图 第7题图 3.如图，AC是⊙O的直径，弦 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 BD⊥AC于点E,连接BC, 直径，I为△ABC的内心，且OI⊥AI.若 过点O作OF⊥BC于点F, AB=10,则BI的长为 若BD=12,AE=4,则OF 方法六：综合应用垂径定理及切线的性质构造 的长是 8.如图，∠MAN=30°，O是∠MAN内部一点， 方法四：根据切线的性质构造 ⊙O与∠MAN的边AN相切于点B,与边 4.(武汉中考)如图，在四边 A AM相交于点C,D,AB=5√2，作OE⊥CD 形ABCD中，AB∥CD, 于点E,若OB=√3OE,求弦CD的长， AD⊥AB,以D为圆心， D AD为半径的弧恰好与 BC相切，切点为E,若B=， CD=3,则sinC的值 是() A号 8 3 n 方法五：根据直径所对的圆周角是直角构造 5.已知AB为半圆O的直径，现将一块等腰直 角三角尺如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜 边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若 做神龙题得好成绩 95