第3章 培优专题10：圆中的等腰三角形与全等三角形&培优专题11：圆周角定理及其推论的综合应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

1.5(cm).设OM=xcm,∴.ON=MN-OM=(3.5-x)cm 13.(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,..OM2+MD2 ∴∠ADE=∠ABC.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. =0N2+BN2,.x2+22=(3.5-x)2+1.52,∴.x=1.5, ∠ACB=∠ADB,∠ADB=∠ADE.(2)解：如图， .OM=1.5cm,∴.OD=√OMf+MD=√1.52+2= 连接CO并延长交⊙O于点F,连接BF,则∠FBC=90° 2.5(cm),.纸杯的直径为2.5×2=5(cm). 在R△BCF中，CF=4,BC=3,nF-器-是 '∠F=∠BAC,Sin∠BAC= 4 B 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.A3.70°4.13° 5.C6.28°7.60°8.C9.D10.B11.D12.4 13.30° 14.(1)证明：C是BD的中点，.CD=BC.AB是⊙0 14.(1)解：点A,B,C,D都在⊙0上，OC⊥AB,.AC= 的直径，且CF⊥AB,.BC=BF,.CD=BF,∴.CD BC.:∠ADC=30°，∴.∠AOC=∠BOC=2∠ADC= [∠F=∠CDG 60°，∴∠BOC的度数为60°.(2)证明：AC=BC, BF.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC, AC=BC.,∠BOC的度数为60°，BO=CO,∴.△BOC BF=CD 为等边三角形，.BC=BO=CO.AO=BO,.AO= ∴.△BFG≌△CDG(AAS).(2)解：方法一：如图①，连 BO=AC=BC,∴.四边形AOBC是菱形. 接OF,设⊙O的半径为r.在Rt△ADB中，BD2=AB2 15.(1)证明：如图，易知AB=AD,∠1=∠2，.在△ADF和 AD2,即BD2=(2r)2-22.在Rt△OEF中，OF2=OE2+ (AD-AB D △ABE中，∠1=∠2，∴.△ADF≌ EF,EF=r2-(r-2)2..CD=BC=BF,..BD= DE=BE CF,.BD=CF,∴.BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,即 △ABE(SAS).(2)解：由(1)知E (2r)2-22=4[r2-(r-2)2],解得r=1(舍去)或3， △ADF≌△ABE,.AF=AE,DF= B ∴.BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12,.BF=23. BE,∠3=∠4.在正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠BAF+∠3=90°，∠BAF+∠4=90°，.∠EAF= 90°，∴△EAF是等腰直角三角形，EF2=AE2+AF2, ∴.EF2=2AE2,.EF=√2AE,即DE-DF=√2AE, .DE-BE=√2AE.(3)BE-DE=√2AE. 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 1.C2C3149m5安6B7A 0 ② 8.证明：A,D,C,B四点共圆，∴∠A=∠BCE.BC= 方法二：如图②，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于 BE,∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E,∴AD=DE,即 点H,连接AC,BC.·CD=BC,∠HAC=∠BAC. △ADE是等腰三角形. CE⊥AB,.CH=CE.AC=AC,.Rt△AHC≌ 9.D10.45或135°11.C Rt△AEC(HL),∴AH=AE.,CH=CE,CD=CB, 12.解：如图，连接OA,OC.:∠ABC= .Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),.DH=BE=2,∴.AH= 45°，OA=OC=2,∴.∠AOC=90°，易 AE=2+2=4,∴.AB=4+2=6.AB是⊙O的直径， 得AC=2√2.过点A作AE⊥AC,交 ∴∠ACB=90°，∠CEB=∠ACB=90°.∠EBC= CD于点E,过点E作EA'⊥BC于点 A',过点A'作A'N'⊥AC于点N. ∠CBA.△BCn△BCA,÷-.BC ,CD平分∠ACB交⊙O于点D, D BA·BE=6X2=12,∴.BF-BC=2√3 ∴点A与点A'关于直线CD对称，A'N'的长即为MA 培优专题9：圆心角、弧、弦之间关系的应用 +MN的最小值，AC=A'C=2√2.，∠ACB=60°， 1.A2.A3.(1)70°(2)60 AN=AC,0=22X5=后，即MA+MN的最小值 4.C5.C6.B 2 7.解：作点B关于直线MN的对称点B',则点B'必在⊙O 是v6. 上，且BN=NB'.连接OB,OB',由已知得∠AON=60°， :点B是AN的中点，∠B'ON=∠BON=2∠AON 5确定圆的条件 =30°，∠AOB=90°.连接AB交MN于点P',则点P 1.D2.B3.(-1,-2)4.5 即为所求的点.此时AP'+BP'=AP'+P'B'=AB'= 5.解：(1)作法：如图，①连接AC;②作AC的垂直平分线，交 CD所在直线于点O,则点O就是此残片所在圆的圆心. √2OA,即AP十BP的最小值为√2. (2)连接OA,设OA=OC=xcm.,CD⊥AB,AB 培优专题10：圆中的等腰三角形与全等三角形 24cm,CD=8cm,∴.AD=12cm,OD=(x-8)cm.在 1.A2.22.53.30°4.4 Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2十OD2,即x2= 5.证明：(1)如图，连接BD.:AB=CD, 122+(x一8)2，解得x=13,.所作圆的半径为13cm. .∠ADB=∠CBD,.AD∥BC. (2)如图，设OC与BD相交于点F. .'BC=CD,..BC=CD,BF=DF.A ∠DFE=∠BFC,∠EDF=∠CBF, .△DEF≌△BCF(ASA),.DE=BC.由(1)知AD∥ BC,四边形BCDE是平行四边形.又·BC=CD,∴.四 6.A7.69°8.429.5√5或5√210.D 边形BCDE是菱形. 6.(1)解：四边形OBAD是菱形，理由如下：如图，作AS⊥ 1.C12B1B.8cm2或32cm21410,5 3 DE于点S,作AT⊥BC于点T.OP平分∠MON,∴.AS 15.(1)证明：AE=DE,OC是半径，∴.CD=AC,∴∠CAD =AT,∠AOD=∠AOB.在Rt△ASD与Rt△ATB中， =∠CBA.(2)解：：AB是直径，∴∠ACB=90 AD=ABR△ASD≌R△ATB(H,SD=TB. (AS-AT ,AE=DE,∴.OC⊥AD,.∠AEC=90°，.∠AEC= ∠ACB.又：∠EAC=∠CBA,.△AECD△BCA, 在Rt△AS0与R△A70中，AS=AT AO-AORAAS0 器-0号-8cR-60-AB=5 Rt△ATO(HL),∴.S0=TO,.SO-SD=TO-TB,即 ..OE=0C-CE=5-3.6=1.4. OD=OB.'AD∥OM,∴.∠AOB=∠OAD.∠AOD= 16解：602 (2)如图，Rt△ABC的外接圆是它的最小覆 ∠AOB,∠AOD=∠OAD,.AD=OD,∴.AD=AB= OD=OB,.四边形OBAD是菱形.(2)证明：如图，连接 盖圆。 ,(3)6 2 4 FE,'AS LDE,AT LBC,.SD-SE-DE,TB-TC -BC.SD-TB,.DE-BC.OD-OB,OD+ DE=OB+BC,即OE=OC.在△OEF与△OCF中， [OE=OC N ∠EOF=∠COF,.△OEF≌2△OCF(SAS),∴.∠OEF= 6直线和圆的位置关系 OF=OF 第1课时切线的性质 ∠OCF.CF⊥OM,∠OEF=∠OCF=90°.，AS⊥ 1.B2.C DE,DG⊥ON,∴.∠ODG=∠OSA=∠OEF=90°，∴.DG 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在AN SA/E,S-梁=-1AG=AR Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=5cm. 根据三角形面积公式有CD=AC·BC AB 2.4cm,即圆心C到AB的距离C d=2.4cm.(1)当r=2cm时，有d>r,因此⊙C与AB 相离.(2)当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙C与AB相 M 切.(3)当r=3cm时，有d<r<4,因此⊙C与AB相交. 培优专题11：圆周角定理及其推论的综合应用 4.A5.B6.C7.4-258.32°9.2√3 1.A2.A3.15°4.128°5.13°6.15 10.B11.C12.r=√3或2<r≤2√313.2√3 7.25829A10号 14.(1)证明：如图，连接AC,OC.CD为切线，∴.OC⊥CD. ,CD⊥AD,∴.OC∥AD,.∠OCB=∠E.,OB=OC, 同行学案学练测·19·第三章圆☑ 培优专题10：圆中的等腰三角形与全等三角形 的 学 类型一：圆中的等腰三角形 5.[推理能力]（临沂中考）如图，在⊙O中， 1.如图，将大小不同的两块量角器的零度线对 AB=BC=CD,OC与AD相交于点E. 齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的 (1)求证：ADBC. 圆周上，设图中两圆周的交点为P,且点P在 (2)求证：四边形BCDE是菱形 抽 小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大 能 量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的 0 角)() 运算 L 同直欢 A.54° B.55 C.56° D.57° 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦， 6.（威海中考)射线OP平分∠MON,A为OP AB,CD的延长线交于点E,已知AB= 上一点，⊙A交射线OM于点B,C,交射线 2DE,若△COD为直角三角形，则∠E= ON于点D,E,连接AB,AC,AD. 数 (1)如图①，若AD∥OM,试判断四边形 OBAD的形状，并说明理由 (2)如图②，过点C作CF⊥OM,交OP于点 F;过点D作DG⊥ON,交OP于点G.求证： AG-AF. 3.如图，A,B,C,D在⊙O上，AB=BC=DA, E N 识 AD,BC的延长线交于点P,且∠P=40°，则 弧CD的度数为 D ② B 类型二：圆中的全等三角形 4.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AE的垂直平 分线交⊙O于点C,CD⊥AB于点D,BD= 1,AE=4,则AD的长为 做神龙题得好成绩 77 /同行学案学练测九年级数学下BS 培优专题11：圆周角定理及其推论的综合应用 学 应用一：利用圆周角定理及其推论求角的度数 6.（无锡中考)如图，点A,B,C都 1.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O外 在⊙O上，OC⊥OB,点A在劣 点，连接AC交⊙O于点E,连接AB并延长 弧BC上，且OA=AB,则 交⊙O于点D,若∠A=35°，则∠DOE的度 抽象能 ∠ABC= 数是( 应用二：利用圆周角定理及其推论求线段的长度 A.110° B.120° C.120.5°D.115° 7.(黄冈中考)如图，在⊙O中，AB为⊙O的直 运算 径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB,若 能力 AD=6,则AC= 几何直观 B 第1题图 第2题图 推理 2.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，弦 第7题图 第8题图 AB与DC的延长线相交于点G,AO⊥CD, 8.[推理能力]（东营中考）如图，AC是⊙O的 垂足为E,连接BD,∠GBC=48°，则∠DBC 弦，AC=5,点B是⊙O上的一个动点，且 的度数为() ∠ABC=45°，若点M,N分别是AC,BC的 A.84° B.72° C.66° D.48 中点，则MN的最大值是 3.(泰安中考)如图，点A,B,C是⊙O上的三 应用三：利用圆周角定理及其推论求三角函数值 点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 9.[几何直观]（扬州中考）如图，在由边长为1 交⊙O于点F,则∠BAF等于 应用 的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格 点上，以AB为直径的圆经过点C,D,那么 创新 sin∠ADC的值为( ) 第3题图 第4题图 4.[运算能力]如图，点A,B,C,D,E都是⊙O 上的点，AC=AE,∠B=116°，则∠D的度数 为 2wW13 5.(宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 13 R C.3 n 90°，∠A=32°，点B,C在⊙O上，边AB,AC 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 分别交⊙O于D,E两点，点B是CD的中 H,点M是CBD上任意一点.若AH=2, 点，则∠ABE= CH=4,则sin∠CMD= 78 做神龙题得好成绩