第3章 4 第2课时 直径所对的周角、圆内接四边形&培优专题9：圆心角、弧、弦之间关系的应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

1.5(cm).设OM=xcm,∴.ON=MN-OM=(3.5-x)cm 13.(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,..OM2+MD2 ∴∠ADE=∠ABC.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. =0N2+BN2,.x2+22=(3.5-x)2+1.52,∴.x=1.5, ∠ACB=∠ADB,∠ADB=∠ADE.(2)解：如图， .OM=1.5cm,∴.OD=√OMf+MD=√1.52+2= 连接CO并延长交⊙O于点F,连接BF,则∠FBC=90° 2.5(cm),.纸杯的直径为2.5×2=5(cm). 在R△BCF中，CF=4,BC=3,nF-器-是 '∠F=∠BAC,Sin∠BAC= 4 B 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.A3.70°4.13° 5.C6.28°7.60°8.C9.D10.B11.D12.4 13.30° 14.(1)证明：C是BD的中点，.CD=BC.AB是⊙0 14.(1)解：点A,B,C,D都在⊙0上，OC⊥AB,.AC= 的直径，且CF⊥AB,.BC=BF,.CD=BF,∴.CD BC.:∠ADC=30°，∴.∠AOC=∠BOC=2∠ADC= [∠F=∠CDG 60°，∴∠BOC的度数为60°.(2)证明：AC=BC, BF.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC, AC=BC.,∠BOC的度数为60°，BO=CO,∴.△BOC BF=CD 为等边三角形，.BC=BO=CO.AO=BO,.AO= ∴.△BFG≌△CDG(AAS).(2)解：方法一：如图①，连 BO=AC=BC,∴.四边形AOBC是菱形. 接OF,设⊙O的半径为r.在Rt△ADB中，BD2=AB2 15.(1)证明：如图，易知AB=AD,∠1=∠2，.在△ADF和 AD2,即BD2=(2r)2-22.在Rt△OEF中，OF2=OE2+ (AD-AB D △ABE中，∠1=∠2，∴.△ADF≌ EF,EF=r2-(r-2)2..CD=BC=BF,..BD= DE=BE CF,.BD=CF,∴.BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,即 △ABE(SAS).(2)解：由(1)知E (2r)2-22=4[r2-(r-2)2],解得r=1(舍去)或3， △ADF≌△ABE,.AF=AE,DF= B ∴.BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12,.BF=23. BE,∠3=∠4.在正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠BAF+∠3=90°，∠BAF+∠4=90°，.∠EAF= 90°，∴△EAF是等腰直角三角形，EF2=AE2+AF2, ∴.EF2=2AE2,.EF=√2AE,即DE-DF=√2AE, .DE-BE=√2AE.(3)BE-DE=√2AE. 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 1.C2C3149m5安6B7A 0 ② 8.证明：A,D,C,B四点共圆，∴∠A=∠BCE.BC= 方法二：如图②，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于 BE,∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E,∴AD=DE,即 点H,连接AC,BC.·CD=BC,∠HAC=∠BAC. △ADE是等腰三角形. CE⊥AB,.CH=CE.AC=AC,.Rt△AHC≌ 9.D10.45或135°11.C Rt△AEC(HL),∴AH=AE.,CH=CE,CD=CB, 12.解：如图，连接OA,OC.:∠ABC= .Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),.DH=BE=2,∴.AH= 45°，OA=OC=2,∴.∠AOC=90°，易 AE=2+2=4,∴.AB=4+2=6.AB是⊙O的直径， 得AC=2√2.过点A作AE⊥AC,交 ∴∠ACB=90°，∠CEB=∠ACB=90°.∠EBC= CD于点E,过点E作EA'⊥BC于点 A',过点A'作A'N'⊥AC于点N. ∠CBA.△BCn△BCA,÷-.BC ,CD平分∠ACB交⊙O于点D, D BA·BE=6X2=12,∴.BF-BC=2√3 ∴点A与点A'关于直线CD对称，A'N'的长即为MA 培优专题9：圆心角、弧、弦之间关系的应用 +MN的最小值，AC=A'C=2√2.，∠ACB=60°， 1.A2.A3.(1)70°(2)60 AN=AC,0=22X5=后，即MA+MN的最小值 4.C5.C6.B 2 7.解：作点B关于直线MN的对称点B',则点B'必在⊙O 是v6. 上，且BN=NB'.连接OB,OB',由已知得∠AON=60°， :点B是AN的中点，∠B'ON=∠BON=2∠AON 5确定圆的条件 =30°，∠AOB=90°.连接AB交MN于点P',则点P 1.D2.B3.(-1,-2)4.5 即为所求的点.此时AP'+BP'=AP'+P'B'=AB'= 5.解：(1)作法：如图，①连接AC;②作AC的垂直平分线，交 CD所在直线于点O,则点O就是此残片所在圆的圆心. √2OA,即AP十BP的最小值为√2. (2)连接OA,设OA=OC=xcm.,CD⊥AB,AB 培优专题10：圆中的等腰三角形与全等三角形 24cm,CD=8cm,∴.AD=12cm,OD=(x-8)cm.在 1.A2.22.53.30°4.4 Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2十OD2,即x2= 5.证明：(1)如图，连接BD.:AB=CD, 122+(x一8)2，解得x=13,.所作圆的半径为13cm. .∠ADB=∠CBD,.AD∥BC. (2)如图，设OC与BD相交于点F. .'BC=CD,..BC=CD,BF=DF.A ∠DFE=∠BFC,∠EDF=∠CBF, .△DEF≌△BCF(ASA),.DE=BC.由(1)知AD∥ BC,四边形BCDE是平行四边形.又·BC=CD,∴.四 6.A7.69°8.429.5√5或5√210.D 边形BCDE是菱形. 6.(1)解：四边形OBAD是菱形，理由如下：如图，作AS⊥ 1.C12B1B.8cm2或32cm21410,5 3 DE于点S,作AT⊥BC于点T.OP平分∠MON,∴.AS 15.(1)证明：AE=DE,OC是半径，∴.CD=AC,∴∠CAD =AT,∠AOD=∠AOB.在Rt△ASD与Rt△ATB中， =∠CBA.(2)解：：AB是直径，∴∠ACB=90 AD=ABR△ASD≌R△ATB(H,SD=TB. (AS-AT ,AE=DE,∴.OC⊥AD,.∠AEC=90°，.∠AEC= ∠ACB.又：∠EAC=∠CBA,.△AECD△BCA, 在Rt△AS0与R△A70中，AS=AT AO-AORAAS0 器-0号-8cR-60-AB=5 Rt△ATO(HL),∴.S0=TO,.SO-SD=TO-TB,即 ..OE=0C-CE=5-3.6=1.4. OD=OB.'AD∥OM,∴.∠AOB=∠OAD.∠AOD= 16解：602 (2)如图，Rt△ABC的外接圆是它的最小覆 ∠AOB,∠AOD=∠OAD,.AD=OD,∴.AD=AB= OD=OB,.四边形OBAD是菱形.(2)证明：如图，连接 盖圆。 ,(3)6 2 4 FE,'AS LDE,AT LBC,.SD-SE-DE,TB-TC -BC.SD-TB,.DE-BC.OD-OB,OD+ DE=OB+BC,即OE=OC.在△OEF与△OCF中， [OE=OC N ∠EOF=∠COF,.△OEF≌2△OCF(SAS),∴.∠OEF= 6直线和圆的位置关系 OF=OF 第1课时切线的性质 ∠OCF.CF⊥OM,∠OEF=∠OCF=90°.，AS⊥ 1.B2.C DE,DG⊥ON,∴.∠ODG=∠OSA=∠OEF=90°，∴.DG 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在AN SA/E,S-梁=-1AG=AR Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=5cm. 根据三角形面积公式有CD=AC·BC AB 2.4cm,即圆心C到AB的距离C d=2.4cm.(1)当r=2cm时，有d>r,因此⊙C与AB 相离.(2)当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙C与AB相 M 切.(3)当r=3cm时，有d<r<4,因此⊙C与AB相交. 培优专题11：圆周角定理及其推论的综合应用 4.A5.B6.C7.4-258.32°9.2√3 1.A2.A3.15°4.128°5.13°6.15 10.B11.C12.r=√3或2<r≤2√313.2√3 7.25829A10号 14.(1)证明：如图，连接AC,OC.CD为切线，∴.OC⊥CD. ,CD⊥AD,∴.OC∥AD,.∠OCB=∠E.,OB=OC, 同行学案学练测·19·☑同行学案学练测九年级数学下BS 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 (教材P81~83练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 A,B,D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O 知识点一：直径所对的圆周角是直角 的交点，则∠BAE的正切值为 1.(聊城中考)如图，BC是半圆 知识点三：圆内接四边形的对角互补 0 O的直径，D,E是BC上两 6.(淮安中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内 点，连接BD,CE并延长交 接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度 于点A,连接OD,OE.如果 数是( ) ∠A=70°，那么∠DOE的度数为( A.80° B.100° C.140° D.160 A.35° B.389 C.40 D.42 2.(盐城中考)如图，AB为⊙O的直径，CD为 ⊙O的弦，∠ADC=35°，那么∠CAB的度数 为() A.35° B.45° C.55° D.65° B 、E 第6题图 第7题图 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,DA=DC, ∠CBE=50°，∠AOD的大小为() A.130° B.100° C.120° D.110° 第2题图 第3题图 知识点四：圆内接四边形的外角等于它的内对角 8.如图，已知A,B,C,D是⊙O上的四点，延长 3.(娄底中考)如图，C,D两点在以AB为直径 DC,AB相交于点E,若BC=BE.求证： 的圆上，AB=2,∠ACD=30°，则AD= △ADE是等腰三角形 知识点二：90的圆周角所对的弦是直径 4.[应用意识]（日照中考）一圆形玻璃镜面损坏 了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅 用直角尺作如图示的测量，测得AB= 12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为 第4题图 第5题图 5.（广元中考)如图，在4×4的正方形网格图 中，已知点A,B,C,D,O均在格点上，其中 74做神龙题得好成绩 第三章圆☑ 即能力提升 >》>>》>》>>>难度等级中等题 13.[推理能力]（威海中考）如图，四边形ABCD 9.(安顺中考)如图，半径为3的 y 是⊙O的内接四边形，连接AC,BD,延长 ⊙A经过原点O和点C(0,2), CD至点E B是y轴左侧⊙A优弧上 (1)若AB=AC,求证：∠ADB=∠ADE 点，则tan∠OBC的值为( (2)若BC=3,⊙O的半径为2，求sin∠BAC 的值. A号 B.2√2 10.(襄阳中考)已知⊙O的直径AB长为2，弦 AC长为√2，那么弦AC所对的圆周角的度 数为 素养提升微专题 【圆中的最值问题】 11.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两 点，AB=4,∠COB=60°， D是BC的中点，P是线 A 0 段AB上一动点，则PC十 即培优创新 >>>>>>>>> 难度等级综合题 PD的最小值是() 14.[一题多解]（绵阳中考）如图，AB是⊙O的 A√2 直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦， B.2 C.22 D.42 12.如图，△ABC内接于半径为2的⊙O,其中 且CF⊥AB,垂足为点E,连接BD交CF于 点G,连接CD,AD,BF ∠ABC=45°，∠ACB=60°，CD平分∠ACB交 (1)求证：△BFG≌△CDG. ⊙O于点D,点M,N分别是线段CD,AC (2)若AD=BE=2,求BF的长. 上的动点，求MA十MN的最小值. 做神龙题得好成绩 75 /同行学案学练测九年级数学下BS 培优专题9：圆心角、弧、弦之间关系的应用 学 应用一：利用圆心角、弧、弦之间关系求角的度数 5.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次 1.如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥ 后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数 AB,若DE的度数为40°，则∠BOC=() 是( 抽象能力 A.1109 B.80° N C.40° D.70° 运算 力 E A.120° B.135° C.150° D.165 D 几何直观 应用三：利用圆心角、弧、弦之间关系求线段的 长度 空 第1题图 第2题图 6.(咸宁中考)如图，已知⊙O的 间观 半径为5，弦AB,CD所对的 2.如图，在⊙O中，若点C是AB的中点，∠A 圆心角分别是∠AOB, 推 50°，则∠B0C=() ∠COD,若∠AOB与∠COD A.40° B.45° 互补，弦CD=6,则弦AB的长为( C.50° D.60 3.[一题多辨](1)如图①，在⊙O中，AB=AC, A.6 B.8 C.5√2 D.5 观 ∠A=40°，则∠B= 应用四：利用圆心角、弧、弦之间关系解决最值 问题 7.[模型观念]如图所示，点A是半圆上的一个 三等分点，点B是AN的中点，点P是直径 应用意 MN上一动点，若⊙O的半径为1，问P在直 线MN上的什么位置时，AP+BP的值最 创新 ② 小？并求出AP+BP的最小值. 意识 (2)如图②，已知AB是⊙O的直径，PA= PB,∠P=60°，则CD所对的圆心角等 于 应用二：利用圆心角、弧、弦之间关系求弧的度数 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 26°，以点C为圆心，BC长为半径的圆分别交 AB,AC于点D,E,则BD的度数为( A.26 B.64° C.52° D.128 76做神龙题得好成绩