第2章 二次函数 章末复习-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

章末 即考点整合 >>>>>>>>>>>综合运用 考点一：二次函数图象的平移 1.(绍兴中考)若抛物线y=x2十ax十b与x轴 的两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦 抛物线.若某定弦抛物线的对称轴为直线x= 1,将此抛物线向左平移2个单位长度，再向 下平移3个单位长度，得到的抛物线过点 () A.(-3,-6) B.(-3,0) C.(-3,-5) D.(-3,-1) 2.(牡丹江中考)将抛物线y=(x十3)2向下平 移1个单位长度，再向右平移 个单 位长度后，得到的新抛物线经过原点。 考点二：二次函数的图象和性质 3.(阜新中考)下列关于二次函数y=3(x十1)(2 x)的图象和性质的叙述中，正确的是() A.点(0,2)在函数图象上 B.开口方向向上 C.对称轴是直线x=1 D.与直线y=3x有两个交点 4.(陕西中考)下表中列出的是一个二次函数的 自变量x与函数y的几组对应值 x …-3035 y …16-5-80… 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的 是() A.图象的顶点在第一象限 B.有最小值一8 C.图象与x轴的一个交点是（一1,0） D.图象开口向下 5.(资阳中考)已知二次函数 y=ax2十bx十c的图象如 图，OA=OC,则由抛物线 的特征写出如下含有a,b, 第二章二次函数☑ 复习 c三个字母的等式或不等式：①4acb- Aa -1;②ac+b+1=0;③abc>0;④a-b+c> 0.其中正确的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 考点三：确定二次函数的表达式 6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数 的表达式为( Ay=2(x-2)2+3 1 By=2(x-2)2-3 1p1234起 1 C.y=-2(x-2)2+3 D.y=- 2(x-2)2-3 7.(绍兴中考)已知二次函数y=一x2十bx十c. (1)当b=4,c=3时， ①求该函数图象的顶点坐标， ②当一1≤x≤3时，求y的取值范围. (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时， y的最大值为3.求二次函数的表达式 做神龙题得好成绩（63 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 考点四：二次函数与一元二次方程的关系 8.已知二次函数y=x2一3x十m(m为常数)的 图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的 一元二次方程x2一3x十m=0的两个实数根 是() A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 9.(宿迁中考)已知二次函数y= ax2十bx十c的图象如图所示， 有下列结论：①a>0;②b2 4ac>0;③4a+b=1;④不等O13 式ax2+(b-1)x十c<0的解集为1<x<3. 其中正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 考点五：二次函数的应用 10.(河北中考)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同 学借此情境编制了一道数学题，请解答这道 题.如图，在平面直角坐标系中，一个单位长 度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包 (看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1: y=a(x一3)2+2的一部分，淇淇恰在点 B(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运 1 动路线为抛物线C:y=一8x2+ 8x+c+ 1的一部分 (1)写出C1的最高点坐标，并求a,c的值. (2)若嘉嘉可以接到在x轴上方1m的高度 上，且到点A水平距离不超过1m的范围内 的沙包，求符合条件的n的整数值. ↑y/m -C2 B C 6 x/m 64做神龙题得好成绩 11.[应用意识]某商家计划在某短视频直播平 台上直播销售当地特产，将其中一种特产在 网上进行试销售.该商家在试销售期间调查 发现，每天销售量y（万件)与销售单价 x(元/件)(5≤x≤20)的数据如表. x/(元/件)：…10121416… …… … y/万件 …1412108… (1)根据所给数据判断函数类型，并求y关 于x的函数表达式： (2)总成本P(万元)与销售量y(万件)之间 存在如图所示的变化趋势，当4≤y≤12时 可看成一条线段，当12<y≤19时可看成抛 物线P=-3y2+6y十c的一部分. ①销售量不超过12万件时，利润为45万元， 求此时的销售单价为多少， ②当销售单价为多少元时，利润最大？最大利 润是多少万元？（利润=销售总额一总成本） P1 120 40 考点六：二次函数的综合题 12.（菏泽中考)已知抛物线y=一x2十bx十c与 x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,4), 其对称轴为直线x三一2： (1)求抛物线的表达式 (2)如图①，点D是线段OC上的一动点，连 接AD,BD,将△ABD沿直线AD翻折，得 到△AB'D,当点B恰好落在抛物线的对称 轴上时，求点D的坐标， (3)如图②，动点P在直线AC上方的抛物 线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直 线AC,线段BC于点E,F,过点F作FG⊥ x轴，垂足为G,求FG十√2FP的最大值， O GB ① ② 第二章二次函数☑ 即数学思想 >>》>》>>》>>>》>>》>》核心素养 思想一：数形结合思想 13.[运算能力]（湘西州中考）已知二次函数 y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b, 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻 折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到 一个新图象（如图所示），当直线y=一x十b 与新图象有4个交点时，b的取值范围 是 [(x-2)2-2(x≤4) 14.[推理能力]已知函数y= (x-6)2-2(x>4)1 使y=a成立的x的值恰好只有3个时，则 a= 思想二：分类讨论思想 15.（贵阳中考)如图，在直角坐标系内，已知点 A(-1,0),B(1,1)都在直线y=2x+2 1 ,1 上，若抛物线y=ax2-x十1(a≠0)与线段 AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 () A.a≤-2或a≥1 Ba<8或-2a1 C1<a<8或a<-2D-2a<号 16.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与 x轴有且只有一个交点，则a的值为 17.已知二次函数y=(x-一h)2+1(h为常数)， 在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与 其对应的函数值y的最小值为5，则h的值 为 做神龙题得好成绩65第2课时利用图象法求一元二次方程的近似根 十285=0，解得x1=15,x2=19.,4y≤12，即4≤-x十 1.C2.C3.D4.C 24≤12，.12≤x≤20，.此时的售价为15元/件或19元/件 5.解：(1)x2-3(2)图象如图所示. ②设利润为w万元，当4≤y≤12时，即12≤x≤20，则w =xy-10y=(x-10)y=(x-10)(-x+24)=-x2+ 6 34x-240=-(x-17)2+49..-1<0,∴.当x=17时， w有最大值，最大值为49.当12<y≤19时，把y=12,P =120代入P=-号y+6y+c,得-号×12+6X12+ c=120,解得c=96,P=32+6y十96dw=y 由图象得出方程的近似解为x1=一1.4，x2=4.4. p=w-(-3y2+6y+96）=(24-y+3,2-6 章末复习 96=号(-罗)°+只.”-号<0当y=号时，w 1.B2.2或43.D4.C5.A6.C 7.解：(1)①：b=4,c=3,.y=-x2+4x+3=-(x-2)2+ 有最大值，大值为号此时=21-号-号签上所述， 7,.顶点坐标为(2,7).②，一1≤x≤3中含有顶点(2， 当售价为17元时，利润最大，最大利润是49万元. 7),.当x=2时，y有最大值7.：2-（-1)>3-2， 12.解：(1)抛物线与y轴交于点C(0,4),∴.c=4.对称轴为 .当x=一1时，y有最小值为-2，∴.当-1≤x≤3时，一2 ≤<7。(2)由题意，得抛物线的对称轴直线x=名在y 直线x=一号一乌2=一是6=-3抛物线的表达 式为y=一x2-3x十4.(2)如图①，点B'在对称轴直线 轴的右侧，∴.b>0.,抛物线开口向下，且当x≤0时，y的 最大值为2，c=2.又：4X1)×c-b x=-名上，令-父2-3x十4=0，解得1=1,4=-4， 4×(-1) =3,b=士2. .A(-4,0),B(1,0),AB=1-(-4)=5.由翻折可得 ,b>0,.b=2..二次函数的表达式为y=一x2十2x +2. AB'=AB=5:对称轴为直线z=一号AH=-号 8.B9.C -(-4)=5, ,.AB=2AH,∠AB'H=30,∠B'AB 10.解：(1)，抛物线C1:y=a(x-3)2+2,.C1的最高点坐 标为(3,2).点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2 =60°，∠DAB= 2∠B'AB=30.在Rt△AOD中，OD 上，1=a(6-3)2+2,a=-号，抛物线C1:y= =0A·tan30=分3，∴D(0,33） 4 4 -}x-3)+2,当x=0时，c=1.(2)由题意，得嘉嘉 (3)如图②，设PF交x轴于Q,设BC所在直线的表达式 为y1=1x十b1,把B,C坐标代人直线的表达式，得 能接到沙包的坐标范围是(5,1)~(7,1).当经过(5,1)时， |k1+b1=0 1=-日×25+号X5+1+1,解得m号当经过(， (b1=4 解得飞，一4 6,=4y=-4x+4.:04= ×49+号×7+1+1，解得n=号，号≤≤ 时，1=一1 OC,∴∠CAO=45.∠AEF=90°，.直线PE与x轴 7…5 所成夹角为45°，即∠PQ0=45°.设P(m,-m2-3m+ 号为维数符合条件的元的整数值为4和5 4),设PE所在直线的表达式为y2=一x十b2,把点P代 入，得b2=-m2-2m+4,∴.y2=-x-m2-2m+4.令 11.解：(1)根据表格中数据，可知y与x是一次函数关系.设 y1=y2,则-4x十4=-x-m2-2m+4,解得x= y关于x的函数表达式为y=kx十b,将(10,14)，(12,12) 10k+b=14 m十2m,G=e=二4m+2m）+4,v2FP= 代入表达式，得 2+6=12解得/=1， 6=240关于x 3 3 的函数表达式为y=一x十24.(2)①设4≤y≤12时， E0-.巨-p)=号(m-mP心 P=my+n(m≠0)，将(4,40)，(12,120)代入表达式，得 +V2Fp=二40m+2m+4+20mgm-号(m+ 3 3 12m+m=120解得m=10, /4m+n=40 4n=0P=10gy,xy-10y= 多》+想：点P在直线AC上方，4-4<m<0当 (x-10)y=(x-10)(-x+24)=45,整理，得x2-34x ·18·同行学案学练测 m=一号时，FG+V厅FP的值最大，最大值为铝 90°-2∠A0B,在△c0D中，∠C=90-2∠C0D, ∴∠B=∠C 13.解：四边形OACB是菱形.理由如下：C为AB的中点， .BC=AC,∴.∠BOC=∠AOC.在△BOM和△AOM (OB=OA 中，∠BOM=∠AOM,.△BOM≌△AOM(SAS), A OM-OM ∴.∠OMB=∠OMA=90°，BM=AM.在Rt△AOM中， ① ② 18-9<<114215.C16-1或2或1 s∠A0M-8-号乙AaM-0∠M- .OA=OB=OC,∴.△BOC与△AOC都是等边三角形， 17.一1或5[解析]由二次函数表达式y=(x一h)2+1知， ∴.OA=AC=BC=BO,∴.四边形OACB是菱形. 其对称轴为x=h.当h<1时，在1≤x≤3时，y随x的 14.解：CD=AE=BF.理由：如图，连接AC,BD.在⊙O 增大而增大，所以当x=1时取得最小值y=5,即(1一h)2 +1=5,所以h=-1或3（舍去）：当1≤h≤3时，函数值 中，∠AOB=90°，C,D为AB的三等 y=(x一h)2+1的最小值为1，不符合题意；当h>3时， 分点∠A0C=吉∠A0B=言 在1≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x=3时取 90°=30°.OA=OB,.∠OAB= 得最小值y=5,即(3-h)2+1=5,所以h=5或1（舍 ∠OBA=45°.，∠AOC=∠BOD= 去).综上所述，h的值为-1或5. 30°，∴.∠OEF=∠OAB+∠AOC= 第三章圆 45°十30°=75°.同理，∠OFE=75°，∴∠AEC=∠BFD= 1圆 75°.，∠AOC=30°，OA=OC,∴.∠AC0=∠CA0= 1.D2.B3.D4.(1)C(2)A5.B 180°30°=75，∠AEC=∠AC0=75,AE=AC. 2 6.6.5或2.57.B8.B9.B10.D 同理，BF=BD.,C,D是AB的三等分点，AC=CD 11.证明：如图，连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC. =BD,∴.CD=AE=BF ∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD,∴.OA=OB=OD= OC,∴A,B,C,D四个点在同一个圆上 “3垂径定理 1A2B3741659670 7.解：分两种情况：当AB,CD在圆心O的两侧时，如图①， 过点O作OE⊥CD于点E,延长EO交AB于点F,连接 OD,OB.AB//CD,EF LAB,ED-CD,BF- 12.解：(1)在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=4,BC=5, 2AB.AB=12,CD=16ED=7×16=8,BF=号 ∴.AB=√JAC+BC=√42+5=√红.AB的中点 ×12=6.由勾股定理，得OE=√OD2-ED2=√102-8 为点MCM-=号AB-四.：以点C为圆心4为半 =6,OF=√OB2-BFz=√102-6=8，.EF=OE+ OF=6+8=14;当AB,CD在圆心O的同侧时，如图②，同 径作⊙C,AC=4点A在⊙C上.CM=四<，则点 理，得EF=OF-OE=8-6=2.综上所述，AB与CD之 间的距离为14或2. M在⊙C内；BC=5>4,则点B在⊙C外. r<5. D 2圆的对称性 1.B2.B3.B4.B5.C6.D ② 7.125°8.(1)C(2)B9.B 8.C9.B10.B11.2612.713.2√/1T14.7.5 10.示例：AB=CD,OE=OF 15.解：如图，MN⊥AB,MN过圆心，设圆心为点O,连接 11.4√6或4w2 OD,OB,.MN=3.5cm.CD∥AB,MN⊥CD, 12.证明：在⊙0中，AB=CD,AB=CD,∠AOB= ∠COD.OA=OB,OC=OD,∴.在△AOB中，∠B= DM=号cD=2×4=2(am,BN=号AB= 2X3=