第2章 3 第2课时 由三点确定二次函数的表达式&培优专题6：求二次函数表达式的常见类型-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

12.解：(1)，抛物线y=ax2十bx(a>0)经过原点O和点 十n,一2X2,得m=一4。（2)”点A与抛物线 77 /4a+2b=0 4 A(2,0),B(-1,2),. lab2.a=3,6三一3 的顶点B的距离为4，点A的坐标为(2,5)，∴点B的坐 抛物线的表达式为y=号-台=号（红-1）-号 2 2 标为(2,1)或(2,90，.4n-（二)-1或9，解得m=5或 4 “抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一子）： 13,∴.抛物线y1的表达式为y1=x2-4x+5或y1=x2 -4x+13. (2)该抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,.当x<1 以 时，y随x的增大而减小，而x1<x2<1,故y1>y2· 12解，①号5 (2)设二次函数的表达式为Sn=an2+ (3):点B(-1,2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物 号-a+6+c a=1 线的对称轴x=1对称，.C(3,2).设直线AC的函数表 2k十m=0 k=2 bm十c,则5=4a十2b十c,解得b= 2这个二次函 达式为y=kx十m, 3k+m=2'解 m=一4心直线 21 2 =9a+3b+c (c=0 AC的函数表达式为y=2x一4. 第2课时由三点确定二次函数的表达式 数的表达式为S,=心+ 1.D2.A 培优专题6：求二次函数表达式的常见类型 3.解：(1)由图象知A(-1,0),B(0,-3),C(4,5),代入y= 1.A2.D a-b+c=0 3.y=x2-2x-34.y=x2-x+1 ax2十bx十c(a≠0)，得c=一3 ,解得a=1,b= 5.解：(1)由已知条件，得C(0,4),B(4,4),把B,C两点的坐 16a+4b+c=5 一2，c=一3，.二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 标代人y=一号x2+a+c,得厂8+6+c=4 \c=4 解得 (2)y=x2-2x-3=(x一1)2一4，所以抛物线的顶点坐标 b=2 1 1 为(1，一4)，对称轴为直线x=1. c=4y=-2x2+2x+4. (2):y= 2x2+2a+ 4.D 5.y=-x2+x+2 4 乞(x一2)2十6，顶点D(2,6),Sg助形c=SAAc 6.解：，∠AOC=∠ACB=90°，.∠CAO+∠AC0=90°， +5Am=2X4X4+号×4X(6-40=12 1 ∠CAO+∠ABC=90°.∴.∠ACO=∠ABC.又.∠AOC= ∠08=90，△A0△C80.8器-82.0c2 6.解：(1)过点A作AD⊥x轴，垂足为点D,如图.，斜坡的 坡比为1：2，∴.AD:OD=1:2.AD=1.5,.OD=3, OB·OA.OA=1,O℃=2，.OB=4..B(4,0),C(0, ∴A(3,1.5).设二次函数的表达式为y=ax2+bx,将 2).设抛物线的表达式为y=a(x十1)(x一4).将C(0,2) 9a+3b=1.5 代人，得-4如=2，解得a=-,∴过A,B,C三点的二次 函数的表达式为y=2c+1Dc0=名+8+2 7.B 2三次函数的表达式为y=-7x2+2G b=2 8.y=-3x2+3 822、1 9.y= 4x+2 (2),y=一 x2+2x=-合（x-2)2+2,-合<0当 1 x=2时，y取最大值2，∴小球到达的最高点的坐标为(2,2). 10.解：把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,∴.点B(2,3). 当y=0时，0=x+1,解得x=-1,∴.点A(-1,0).由于 抛物线的顶点在y轴上，因此对称轴为y轴，设抛物线的 表达式为y=ax2+c.把A(-1,0),B(2,3)代入，得 a十c=3解得a=1,c=-1,抛物线的表达式为y (a十c=0 D x2-1. 11.解：(1)，点A的纵坐标为5，点A在直线y2=2x十1上， 4二次函数的应用 .5=2x十1，得x=2,点A的坐标为(2,5).抛物线 第1课时最大面积是多少 y1的对称轴与直线y2的交点为A,抛物线y1=x2十mx 1.10m,10m ·16·同行学案学练测 2.解：1)下部分矩形的长=10-)14红=5一7x,由x>0,5 2 大棚的最高处到地面的距离为行米。(3)令y-,则 -7z>0,得0<<号，y=(5-7z+2x)2x=-10x2 +10x(0<x< .(2):y=-10x2+10x=-10(x <6,“大棚内可以搭建支架的土地的宽为6一号 -)广+号当z=号时y取到最大位最大值为 号（米）.又：大桶的长为16米，∴需要搭建支架部分的士 答：x取号时，透光面积最大，最大透光面积是号m。 地面积为16×号-8（平方米），故共需要准备88×4- 3.2s 352(根)竹竿. 4.解：设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的 6.解：以左边柱子与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左 面积为Smm2,则有S=SAx-Sm=号×12X24-号 1 边柱子为y轴建立平面直角坐标系，如图.由题意，得 A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1).设函数表达式为y=ax2 ×4t×(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.4> +bz十c,把A,B,C三点的坐标分别代入，得 0,.当t=3时，S取得最小值，即移动3s时，四边形 c=2.5 a=2 APQC的面积最小. 4a十2b+c=2.5,獬得b=-4,∴.y=2x2-4x+2.5 5.C6.D7.243 0.25a+0.5b+c=1 (c=2.5 8,解：D:E,F为AB,AD中点，EF=合BD,同理，GH =2(x-1)2+0.5.2>0,.当x=1时，ym血m=0.5,∴.绳 子的最低点距地面的距离为0.5米 =2BD.:EF+BD+GH+AC=80,∴BD=40- 2x. 四边形ABCD是菱形，∴y=(40-号x)z=-子x 米 +20z.(2AC≤号BD,∴≤号(40-7）x≤ 3225<x<32y=-子r2+20r=-6x-40r+ 一2米 7.解：(1)由题意，知抛物线顶点为(5,3.2)，设抛物线的表达 40.又：-<0，当x=32,即AC为32cm时面积最 式为y=a(x-5)2+3.2,将(0,0.7)代入，得0.7=25a+ 3.2,解得a=- 0y=b-5+82=02+ 1 大，此时最大面积为-子×(32-40)2+400=384(cm2). 9.解：(1)，(21-12)÷3=3(m),.I,Ⅱ两块矩形的面积为 x+0“抛物线的表达式为y=一+x+ 7 12×3=36(m2).设水池的长为am,则水池的面积为a× 1=a(m2),.36-a=32,解得a=4,∴.DG=4m,∴.CG= (2)当y=16时，0+x十0=16，解得x=1或 1 CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m,DG的长为 x=9,.她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9一3= 4m.(2)设BC的长为xm,则CD长度为(21-3x)m, 6(m). .总种植面积为(21-3x)x=-3(x2-7x)= 8.解：(1)在y=-0.4x十2.8中，令x=0得y=2.8,∴.点P -3(-号）+14-30,0<21-3x≤12当x= 的坐标为(0,2.8)，把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2, 得a十3.2=2.8，解得a=-0.4,.a的值是-0.4. 名时，总种植面积有最大值为14m,即BC应设计为 (2),OA=3m,CA=2m,.OC=5m,.C(5,0).在y= m总种植面积最大，此时最大面积为m配。 7 -0.4x十2.8中，令y=0,得x=7;在y=-0.4(x-1)2+ 3.2中，令y=0,得x=-2V2十1（舍去）或x=2W2+1. 第2课时抛物线形实际问题 ,|7-5>2√2-4|，.选择吊球方式，球的落地点到C 1.102.243.4 点的距离更近. 44反-02号 第3课时利润问题 1.B2.B 5解：16=名c=1.(②)曲y=-日+名+1= 1 3.解：(1)y=-2x+200(2)W=-2x2+280x-8000 (红-召)”+爱，可知当x=名时y有最大值器故 (3),W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800(40 ≤x≤80)，.当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当☑同行学案学练测九年级数学下BS 第2课时 由三点确 (教材P44 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：用“一般式”求二次函数表达式 1.一个二次函数，当x=0时，y=-5;当x= -1时，y=一4；当x=2时，y=5,则这个二 次函数的表达式是( A.y=2x2-x-5 B.y=2x2+x+5 C.y=2x2-x十5 D.y=2x2+x-5 2.若y=ax2十bx十c,则由表格中信息可知 y与x之间的函数关系式是( ) x -1 0 1 ax2 1 ax2+bx+c 8 3 A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4 C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8 3.如图，二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图 象经过A,B,C三点、 (1)观察图象，写出A,B,C三点的坐标，并求 出二次函数的表达式 (2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴. 48做神龙题得好成绩 定二次函数的表达式 45练习) 知识点二：用“交点式”求二次函数表达式 4.已知二次函数的图象如图所示，则该二次函 数的表达式是() ↑y o 2 A.y=-2x2-4x B.y=-x(x-2) C.y=-(x-1)2+2D.y=-2x2+4x 5.若二次函数的图象经过（一1,0），(2,0)，(0， 2)三点，则该函数的表达式为 6.如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上， 斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA= 1,OC=2,求经过A,B,C三点的二次函数的 表达式 V A B x 即能力提升 >>>>>>>>难度等级中等题 7.已知二次函数的图象经过（一1，一9）， (1,一3)和(3，一5)三点，则该函数的表达式 为() A.y=x2+3x-5B.y=-x2+3x-5 C.y=x2-3x+5D.y=-x2-3x+5 8.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出 了它的一些特点： 甲：对称轴是y轴； 乙：与x轴有两个交点，其中一个交点的横坐 标为1； 丙：与y轴交点的纵坐标是正数，且以这三个 交点为顶点的三角形的面积为3. 请写出满足上述全部特点的二次函数表达式 为 9.(杭州中考)设抛物线y=ax2十bx十c(a≠0) 过A(0,2),B(4,3),C三点，其中点C在直线 x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等 于1，则抛物线的函数表达式 为 10.如图，抛物线的顶点M在y轴上，抛物线与 直线y=x十1相交于A,B两点，且点A在 x轴上，点B的横坐标为2，求抛物线的函数 表达式 第二章二次函数☑ 11.已知抛物线y1=x2十mx十n,直线y2=2x十 1,抛物线y1的对称轴与直线y2的交点为 A,且点A的纵坐标为5. (1)求m的值. (2)若点A与抛物线y1的顶点B的距离为 4,求抛物线y1的表达式。 即培优创新 >>>>>>>>难度等级综合题 12.[创新意识]如图，∠AOB=45°，过OA上到 点0的距离分别为1,2,3,4,5，…的点作 OA的垂线与OB相交，再按一定规律标出 一组如图所示的黑色梯形.设前个黑色梯 形的面积和为Sm (1)请完成下面的表格， 1 3 S, (2)已知Sm与n之间满足一个二次函数关 系，试求出这个二次函数的表达式。 B 01234567A 做神龙题得好成绩49 /同行学案学练测九年级数学下BS 培优专题6：求二次函数表达式的常见类型 g 素 养 类型一：用待定系数法求二次函数表达式 BD,CD 1.如图，二次函数y=x2十bx十c A (1)求此抛物线的表达式 的图象过点B(0,一2).它与 (2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形 抽象能 反比例函数y=一8的图象 ABDC的面积. 交于点A(m,4),则这个二 -2B 运算 次函数的表达式为( ) A.y=x2-x-2 B.y=x2-x十2 C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+2 且观 类型二：用平移法求二次函数表达式 2.(广西中考)将抛物线y=2x2-6x+21向左 念 平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达 推 式为() 类型五：根据实际问题求二次函数表达式 1 1 A.y=2(x-8)2+5 B.y=2(x-4)2+5 6.[应用意识]如图，一个小球从斜坡A点处抛 2(x-8)2+3 1 出，正好穿过B点的篮筐，落在斜坡底部的O C.y= D.y 2(x-4)2+3 点，以O为坐标原点建立直角坐标系，B的坐 类型三：根据图象信息求二次函数表达式 3.一个二次函数的图象在平 标为2，，斜坡的坡比为1：2，A点距地面 面直角坐标系中的位置如 的高度为1.5米，球的抛出路线可以用二次 图所示，则这个二次函数的 函数刻画， 识 表达式为 -3 (1)求二次函数的表达式 类型四：根据几何知识求二次函数表达式 (2)求小球到达的最高点的坐标. 4.如图，正方形ABCD的边长 为1，E,F分别是边BC和 CD上的动点（不与正方形的 顶点重合)，不管E,F怎样B E 动，始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y, 则y是x的函数，其函数表达式是 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的 边长为4，顶点A,C分别在x轴、y轴的正半 辅上，抛物线y=一名+c十c经过B,C 两点，点D为抛物线的顶点，连接AC, 50做神龙题得好成绩