反比例函数重点强化练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

重点强化1反比例函数的增减性(一)知横标，比纵标 1.(2025孝感)若双曲线 经过点(-3,y₁),(-1,y₂),则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(2025 东莞)已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)t均在反比例函数 的图象上，且 则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2025厦门)在反比例函数 的图象上有三点 且 ,则y₁,y₂,y₃的大小关系是( ) A. B. C. D. 4.已知点A(-4,y₁),B(-2,y₂),C(3,y₃)都在反比例函数 的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.(2025大连)若点, 都在反比例函数.y= 的图象上，且 则y₁,y₂,y₃的大小关系是( ) A. B. C. D. 重点强化2 反比例函数的增减性(二)知纵标，比横标 1.(2025 黄冈)已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都在反比例函数 的图象上.若 则x₁，x₂的大小关系是( ) A. B. C. D. 2.若点A(x₁,-5),B(x₂,2)都在反比例函数 的图象上，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2025广州)已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都在反比例函数 的图象上.若 ,则x₁,x₂的大小关系是( ) A. B. C. D. 4.已知点 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都都在反比例函数 的图象上.若 则x₁，x₂的大小关系是( ) A. B. C. D. 5.(2025厦门)已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)都在反比例函数y= 的图象上.若 则x₁,x₂,x₃的大小关系是( ) A. B. C. D. 重点强化3 反比例函数的增减性(三)求变量x 或y 的范围 类型一 知自变量x 的范围，求函数y 的范围 1.已知反比例函数 (1)当x>2时,y的取值范围是 ; (2)当0<x≤2时,y 的取值范围是 ; (3)当x<-2时,y的取值范围是 ; (4)当-2≤x<0时,y 的取值范围是 ; (5)当x>-2时,y的取值范围是 ; (6)当-2<x<2时,y 的取值范围是 . 类型二 知函数y 的范围，求自变量x 的范围 2.已知反比例函数 (1)当y>3时,x 的取值范围是 ; (2)当0<y≤3时,x 的取值范围是 ; (3)当y<-3时,x 的取值范围是 ; (4)当-3≤y<0时,x 的取值范围是 ; (5)当y<3时,x 的取值范围是 ; (6)当-3<y≤3时,x 的取值范围是 . 重点强化4 反比例函数的增减性(四)求参数的范围 方法技巧：在判断“k”的符号(或图象所在象限)的前提下，根据点的横、纵坐标的符号或大小关系，在图象上描出大致相应的位置，建立不等式(组)求解. 1.在反比例函数 的图象上有两点 当 时，有 则k 的取值范围是( ) A. k<1 B.k>1 C. k≤1 D. 2.(2025荆州)在反比例函数 的图象上有两点. 当 时，有 ，则k 的取值范围是 . 3.若点 在反比例函数 (m为常数)的图象上，且 则a 的取值范围是 . 4.已知点A(a,m),B(a-1,n),C(3,-1)都在反比例函数 的图象上，若m>n，则a 的取值范围是 . 5.(2025江岸区)反比例函数 的图象上有三点 (1)若 则a 的取值范围是 ； (2)若 则a 的取值范围是 ； (3)若 则a 的取值范围是 . 重点强化5 求反比例函数的解析式(一)直接计算 类型一 直接求点的坐标求 k 1.如图,在△OAB 中,AO=AB,点A 在反比例函数 的图象上，OB=6,OA=5.求反比例函数的解析式. 2.(2025青岛中考改编)如图,正八边形ABCDEFGH 的顶点A,B,G,H 在坐标轴上,顶点C,D，E，F在第一象限.点F 在反比例函数 的图象上，若 求反比例函数的解析式. 类型二 利用k=xy列方程求k 3.(2025宜昌)已知同一象限内的两点A(3,n),B(n-4,n+3)均在反比例函数 的图象上，求该反比例函数的解析式. 类型三 利用整体思想求 k 4.(2025 福州)反比例函数 的图象经过点P(a，b)，其中a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，求k 的值. 重点强化6 求反比例函数的解析式(二)点参法 类型一 由解析式求参 1.(2025烟台中考改编)如图，菱形OABC 的顶点A 在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数 (x>0)的图象过点 C 和菱形的对称中心M，求k 的值. 类型二 由面积求参 2.如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在第二象限内，反比例函数 的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C.若 的面积为6，求k 的值. 3.(2025绥化中考改编)如图，反比例函数 经过A,C 两点,过点 A 作 轴于点B，过点 C 作 轴于点D,连接OA,OC,AC.若 求k 的值. 4.(2025中山)如图，过反比例函数 图象上的点 A，分别作x 轴，y轴的平行线交 的图象于B，D两点，以AB，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 若 则k 的值为 . 重点强化7 反比例函数与代数(一)不等式 直线 与双曲线 相交于A(a,yA),B(b,yB)(a<b)两点，则方程 的解为 条件： 结论:a<x<b或x<0 条件： 结论： 条件： 结论： 条件： 结论： 1.如图,直线y= kx-5 与双曲线 交于点 与y轴交于点C. (1)点C 的坐标为 ; (2)直接写出方程 的解是 ； (3)结合图象，直接写出不等式 的解集是 ； (4)结合图象，直接写出不等式 的解集是 . 2.如图，双曲线 与直线y=x+1相交于A,B 两点,点 A 的纵坐标为2. (1)求点 B 的坐标; (2)直接写出方程 的解； (3)直接写出不等式 的解集； (4)直接写出：当x 在什么范围时， 恒成立? 重点强化8 反比例函数与代数(二)整体求值 方法技巧：函数y=ax+b(a≠0)与 的图象交于一点 P(m,n),则k=mn(或:m= (代入法及整体思想). 1.在平面直角坐标系中，函数 与y=x+1的图象交于点 P(a，b)，则代数式 的值是( ) A. B. C. D. 2.(2025襄阳)若反比例函数 的图象与一次函数y=x+2的图象交于点 A(a，b)，则代数式 的值是 . 3.若正比例函数y=kx的图象经过A(a,3),B(4,b)两点,反比例函数 的图象经过点P(a,b),则代数式 的值为 . 4.(2025 大连)在平面直角坐标系中，函数y=x-6与 的图象交于点(m，n)，则代数式 的值为 . 重点强化9 反比例函数与代数(三)一元二次方程 模型：直线.y= ax+b(a≠0)与双曲线 联立 消y，得 唯一公共点⇔ 两个公共点⇔△>0. 类型一 根的判别式的运用 1.若一次函数y=ax+6与反比例函数 的图象只有一个公共点A，求点 A 的坐标，并直接写出当 时，x的取值范围. 2.(2025江汉区)若反比例函数 的图象与直线y=-x+4在第一象限内至少有一个交点，求k 的取值范围. 类型二 根与系数关系的运用 3.(2025福州)如图,直线y=-x+b与y轴交于点 P,与双曲线 交于A,B 两点,且 PA·PB=5.求k 的值. 重点强化10 反比例函数与代数(四)数形结合 类型一 确定解析式 1.(2025襄阳)如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象，根据图象判断可能是下列的哪一个函数( ) A. B. C. D. 类型二 判定系数的符号 2.如图是小勤同学利用计算机软件绘制的函数 (k,b为常数)的图象，则k，b的值满足( ) A. k>0,b>0 B. k<0,b>0 C. k>0,b<0 D. k<0,b<0 类型三 方程根的范围 3.(2025白云区)方程 的实数根就是方程 的实数根，用“数形结合”思想判定方程 的根的情况，正确的是( ) A.方程有3个不等实数根 B.方程的实数根x₀满足 C.方程的实数根x₀满足 D.方程的实数根x₀满足 类型四 方程根的个数 4.(2025厦门)关于x的方程 的根的情况，下列结论中正确的是( ) A.三个根 B.两个根 C.一个根 D.两个或三个根 重点强化 11 反比例函数与几何(一)三角形面积 图形1 一点单垂 类型一 用(构)基本模型 1.如图，点P 在反比例函数 的图象上，点 A,B 在x 轴上,且 PA⊥PB,垂足为 P.若OA=OB=PB,则△ABP 的面积是 . 类型二 等积转化 2.如图，点B 在反比例函数 的图象上，过点 B作 BD⊥y轴,垂足为D,C 为x 轴上一动点,若S△BCD=5,则 k 的值为 . 3.如图，过x 轴正半轴上任意一点 P 作y 轴的平行线，分别交反比例函数 和 的图象于点A,B. C是y轴上的一点,则△ABC 的面积为 . 类型三 和差转化 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 MN 与反比例函数 的图象交于M( ,4),N(n,1)两点.求△OMN 的面积. 重点强化12 反比例函数与几何(二)四边形面积 类型一 用(构)基本模型 1.(2025 二中广雅)如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象依次是 点P 在L₁上, 轴于点C，交. 于点 A, 轴于点D，交L₂于点 B，若四边形 PAOB 的面积为9,则 m 的值为 . 类型二 等积转化 2.(2025咸宁)如图,O为坐标原点,□OBAD 的顶点B 在反比例函数 的图象上，顶点 A 在反比例函数 的图象上，顶点 D 在x 轴负半轴上.若 的面积为5，则k 的值为 3.(2025海珠区)如图, 的边OC 在x 轴的正半轴上，D是BC 的中点，反比例函数 y= 的图象经过点 B，D.若 的面积为24，则k 的值为 . 重点强化 13 反比例函数与几何(三)对称性 类型一 中心对称性 1.直线 y= kx(k>0)与双曲线 交于 两点，则 的值为 2.(2025厦门)如图,点 P(3a,a)是反比例函数 的图象与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k 的值为 . 类型二 轴对称性 3.如图，反比例函数 的图象与半径为10 的扇形OCD 交于A，B 两点.若 60°,则k 的值是 . 4.若反比例函数 与一次函数y=x+b的图象交于点A(m，n)，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是( ) A.(n,m) B.(-n,-m) C.(-m,-n) D.(-m,n) 重点强化 14 反比例函数与几何(四)等腰三角形 类型一 一般等腰三角形 1.(2025 苏州中考改编)如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象交于点 C，过点 B 作x轴的平行线，与反比例函数 (k≠0,x>0)的图象交于点 D.连接CD. (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若 是以BD 为底边的等腰三角形，求k 的值. 类型二 等边三角形 2.如图，在平面直角坐标系中，等边 的顶点A 在第一象限，点B(5，0)，双曲线 0,x>0)分别交AO,AB 于点C,D.若(OC=3BD,求k 的值. 类型三 等腰直角三角形 3.如图，A是双曲线 在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B，以AB 为斜边作等腰 点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断地变化，但始终在某一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 . 重点强化 15 反比例函数与几何(五)圆 类型一 与坐标轴相交 1.如图,半径为5的⊙P 与y轴交于点M(0,-4),N(0,-12),函数 的图象经过点P,则k 的值为 . 类型二 与坐标轴相切 2.如图，点P 在双曲线 上,⊙P分别与两坐标轴相切于点A，B，E为y 轴负半轴上的一点,过点 P 作PF⊥PE,交x轴于点 F.若(OF-OE=6,,则k 的值是 . 3.如图,经过B(2,0),C(6,0)两点的⊙H 与y 轴的负半轴相切于点A,双曲线 经过圆心 H，则k 的值为 . 4.如图，半径为2的⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴相切于点C，双曲线 经过圆心M，连接BC.若 求直线 BC 的解析式. 重点强化 16 反比例函数综合 横平竖直线 类型一 双曲线与直线x=a的交点问题 1.如图,直线x=a 分别与直线y=-2x+1,双曲线 交于点 B,A.若AB=3,求a的值. 2.如图，一次函数y=kx+b的图象l 与坐标轴分别交于点E，F，与双曲线 交于点P(-1,n),且F 是PE 的中点.若直线x=a 与l 交于点A,与双曲线交于点 B(不同于点A),且 PA=PB.求a 的值. 类型二 双曲线与直线 y=b的交点问题 3.如图，直线y=b分别与直线y=x+2，y轴及双曲线 分别交于点A，B，C.若AB=2BC,求b的值. 4.如图，直线y=2x+4与反比例函数 的图象相交于A(-3,a)和 B 两点.直线.y=m(m>0)与直线AB 相交于点M，与反比例函数的图象交于点 N.若.MN=4,求m 的值. 新情境(一)反比例函数的新考法 1.(2024山西中考)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度 v=6m/s；当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度 2.(2024盐城中考改编)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.请根据图中信息，则k 的值为 ，点C 的坐标为 . 3.(2025 汕头)把一块含 角的三角板 ABC 按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中( 角的顶点 B 在x轴上，斜边AB 与x 轴的夹角. 若AB=4,，当点A，C同时落在反比例函数 图象上时，则k 的值为 . 4.(2024无锡中考)在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC 分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上(如图所示)，然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a 个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数 的图象上，则a 的值为 . 综合与实践(一)函数 的性质 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称.小勤同学利用代数方法进行了推导. 证明：在反比例函数 的图象上任取一点 则点 A 关于原点的对称点B 的坐标为 ∴点 B 也在反比例函数 的图象上.∵A 是反比例函数 的图象上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数 的图象上，∴反比例函数 的图象关于原点对称. 尝试应用：下面我们来研究一个新函数 (1)先列表、描点、连线，画出函数 的图象，观察发现图象关于 对称，并用代数方法证明该结论； (2)已知点 P(x,y₁),Q(2,y₂);在函数 的图象上，且 则 x 的取值范围是 ; 拓展迁移:(3)已知函数y= nx+2(n≠0),当x>1或 时,函数y= nx+2(n≠0)的图象在函数 的图象的上方，求n 的范围. x … -5 -3 -1 1 3 5 y 1 4 6 6 2 ·29 · 重点强化1 反比例函数的增减性(一)知横标，比纵标 1. C解：如图所示，可得 2. C解：如图所示，可得 3. A 解:∵k=1>0, ∴点(x₁,y₁),(x₂,y₂)在第一象限,点(x₃，y₃)在第三象限，利用增减性得 4. D 解: 且-4<-2<0<3, 5. B 解:∵k=-2<0, ∴点A 在第二象限，y₁>0,点B,C在第四象限，且y随x的增大而增大， 故 重点强化2 反比例函数的增减性(二)知纵标，比横标 1. B解：如图所示，可得 2. B 解:∵k=m>0, ∴该函数图象在第一、三象限，在图象上大致描出A，B两点(如图)，∴由图象知 3. C 解:∵k=-5<0, ∴该函数图象在第二，四象限， 由增减性得 4. D 解: ∴该函数图象在第二、四象限， ∴点 A，B分别第四、二象限， 5. A 解: 且 ∴点C在第四象限，点A，B在第二象限， ∴利用增减性或画图描点即可求解. 重点强化3反比例函数的增减性(三)求变量x或y的范围 1.(1)0<y<4 (2)y≥4 (3)-4<y<0 (4)y≤-4 (5)y<-4或y>0 (6)y<-4或y>4 2.(1)-2<x<0 (2)x≤-2 (3)0<x<2 (4)x≥2 (5)x<-2或x>0 (6)x>2或x≤-2 重点强化4 反比例函数的增减性(四)求参数的范围 1. A 2. k<4 解: ∴点A，B的位置如图所示， ∴该函数图象在第一、三象限， ∴4-k>0,∴k<4. 3.-1<a<1 解: 且a-1<a+1, ∴当点 A，B在同一象限时，y₁<y₂，不符合题意， ∴点 A，B 在不同的象限， ∴点A，B的位置如图所示， ∴由图象，得 ∴-1<a<1. 4. a>1或a<0解:∵k=3×(-1)<0,m>n,且a>a-1, ∴点A，B的位置如图所示， ∴由图象,得a<0或a-1>0, ∴a<0或a>1. 5.解:(1)由图1得a>3; (2)由图2得a<-1; (3)由(1)(2)得a>3或a<-1. 重点强化5求反比例函数的解析式(一)直接计算 1.解:过点 A 作AC⊥x轴于点C. ∵AO=AB,AC⊥OB, ∴OC=BC=3, ∵OA=5, ∴A(-3,4), ∴k=-12, ∴反比例函数的解析式为 2.解:过点 F 作FK⊥y轴于点 K. ∵∠BAH =∠AHG =∠FGH =135°, ∴∠OAH=45°, ∴△OAH 是等腰直角三角形，同理△FKG 是等腰直角三角形. ∴OA=OH=KG=KF=1, ∵点 F 在反比例函数 的图象上， 3.解:∵同一象限内的两点 A(3,n),B(n-4,n+3)均在反比例函数 y=kx的图象上， ∴k=3n=(n-4)(n+3), ∴n=6或n=-2, ∵当n=-2时,A(3,-2)与B(-6, 1)不在同一象限，故n=-2舍去； 当n=6时,A(3,6),B(2,9)符合题意. ∴k=3n=18, ∴反比例函数的解析式为 4.解:∵a,b 是关于x 的方程 mx+4=0的两个实数根, ∴ab=4. 又∵点 P(a,b)在双曲线 上，∴k= ab=4. 重点强化 6 求反比例函数的解析式(二)点参法 1.解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AM=CM, OC=OA=BC=AB=3, ∴A(3,0). 设C(a,b), 过点C作CH⊥AO于点 H, 2.解:过点 B 作BD⊥OA 于点 D. 设 则 ∵C是AB的中点,点 C 在函数y=kx的图象上， ∴A(3a,0), ∴k=-4. 3.解:延长DC,BA 交于点E,设CD=a(a>0), ∵CD:OB=1:3, ∴OB=3a. ∵AB⊥y轴,CD⊥x轴, ∴四边形OBED 是矩形, ∴k=-3. 4.2 解:设 在 中， 令 得 令x=m得 解得k=2. 重点强化7 反比例函数与代数(一)不等式 1.(1)(0,-5) (3)-4<x<01或 2.解:(1)将点 A 的纵坐标2代入 y=x+1得x=1, ∴A(1,2),∴k=1×2=2. 由 得 ∴B(-2,-1); (3)0<x<1或x<-2; (4)①当x=0时,不等式不成立; ②x>0时,若 即 时， 由图象可知x>1； ③x<0时,若 即 时， 由图象可知x<-2. 综上所述,当x<-2或x>1时, 恒成立. 重点强化8 反比例函数与代数(二)整体求值 1. B 解:把P(a,b)代入 和y=x+1,得 故选 B. 2.-3 解:∵反比例函数 的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A(a,b), ∴ab=1,b=a+2, ab=-2-1=-3. 3.24 解:把 A(a,3),B(4,b)代入y= kx,彳得 消k，得ab=12. ∵反比例函数 的图象经过点P(a,b), 4.11 解:∵函数.y=x-6与 的图象交于点(m，n)， ∴n=m-6, mn=-1, n)-1=2×6-1=11. 重点强化9 反比例函数与代数(三)一元二次方程 1.解：联立 消y得 由题意，得 ∴a=-3, 即A(1,3), 由图象知，当 时,x>1或0<x<1. 2.解：联立 得 ∵直线与双曲线至少有一个交点， ∴k≤4. ∵k>0, ∴k的取值范围是0<k≤4. 3.解：分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F. ∴∠APE=∠BPF=45°, 联：立 消y得 重点强化10 反比例函数与代数(四)数形结合 1. B 解:A. 当x<0时,y随x的增大而减小，与图象不符，不符合题意； 满足图象特点，符合题意； 当x=-1时,y=0,与图象不符，不符合题意； 当x=0时,y=0,与图象不符，不符合题意. 故选 B. 2. C 解:由图象可知,当x<0时,y<0,∴k>0; 当x=-b时，函数值不存在， ∴-b>0, ∴b<0. 故选 C. 3. D 解:∵方程 的实数根就是方程 的实数根，∴方程 的根可以看作是 与 两函数图象的交点的横坐标，画出函数 和函数 的图象如图，由图象得交点的横坐标在 范围内， 学科网（北京）股份有限公司 ∴方程 的实数根x₀满足 故选 D. 4. A 解:∵ 中，当x=2时,y=2; 当x=-2时,y=-2, 的图象一定经过定点(2,2),(-2,-2), 由题意知函数图象的草图如图所示， ∴关于x的方程 (m≠0)有三个交点. 故选 A. 重点强化11 反比例函数与几何(一)三角形面积 1.4 解:连接OP,作PD⊥x轴于点 D. ∵OA=OB,∠APB=90°, ∴OP=OB=PB, ∵PD⊥OB, ∴OD=BD, 4OD·PD=2OD·PD=2×2=4.故答案为4. 2.10 解:连接OB. ∴k=10. 3. 解:连接OA,OB,则S△AOP = ∵AB∥y轴, 4.解:过点 M,N 分别作MC⊥x轴于点C,NF⊥x轴于点F. 在反比例函数 的图象上， ∴n=2, ∴N(2,1), 四边形MCFN· 重点强化12 反比例函数与几何(二)四边形面积 1.15 解:由题意知,S矩形PCOD = m, S△OAC=3+9+3=15, ∴m=15. 2.-2 解:连接OA. ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB⊥y轴, 设AB 交y轴于点E, 则 ∴|k|=2, ∵k<0, ∴k=-2. 3.-8 解:连接OB,OD,作 BE⊥x轴于点E,DF⊥x轴点F. ∵□OABC 面积为24, ∴S△OBC=12. ∵D是BC 的中点, ∴S△OCD=6,BE=2FD. ∵点 D，B都在反比例函数图象上， 即 ∴OF=2OE, ∴OE=EF=FC. 设OE=EF=FC=a, 则C(3a,0), ∴k=-8. 重点强化 13 反比例函数与几何(三)对称性 1.12 解:由题意知,直线y= kx(k>0)过原点和第一、三象限，且与双曲线 交于两点，则这两点关于原点对称， ∵点A，B 在双曲线 上， ∴原式 =-20+32 =12. 故答案为12. 2.12 解：∵函数图象关于原点对称， ∴阴影部分面积为 圆的面积， ∴圆的面积为10π×4=40π. ∵P(3a,a)在第一象限, 则a>0,3a>0,根据勾股定理,得 (舍负值)，∴a=2. ∴P(6,2). 将 P(6,2)代入 得k=6×2=12. 故答案为12. 3.25 解:连接AB,设点A(a,b). ∵反比例函数 的图象与半径为10的扇形OCD 交于A，B两点， ∴A,B 两点关于直线y=x对称, ∴B(b,a). ∵∠AOB=60°, ∴△OAB 是等边三角形, ∴ab=25, ∴k= ab=25. 故答案为25. 4. B 解:令y=x+b=-x, ∵反比例函数 与一次函数y=x+b的图象均关于直线y=-x对称， ∴反比例函数 与一次函数y=x+b的图象 交 点 关 于 点 对称， ∴另一交点的坐标为 即(-b-m,b-n). ∵一次函数y=x+b的图象过点A(m,n), ∴n=m+b, ∴-n=-b-m,-m=b-n, ∴另一交点的坐标为(-n,-m).故选 B. 重点强化 14 反比例函数与几何(四)等腰三角形 1.解:(1)A(-2,0),B(0,4); (2)过点C作CE⊥BD,垂足为E. 学科网（北京）股份有限公司 - 5 - ∵CB=CD,CE⊥BD, ∴BE=DE, ∵点C在一次函数y=2x+4的图象上， ∴k=16, ∴k的值为16. 2.解:作 DH⊥x轴于点 H,CE⊥x轴于点E. 设BD=a, ∴OC=3BD=3a. 在Rt△CEO 中,∠COE=60°, 在 Rt△DHB中,∠B=60°, ∵OB=5, 解:连接OC,作CD⊥x轴于点 D,AE⊥x轴于点E. 设点A(a, ), ∵点A，B是正比例函数图象与双曲线 的交点， ∴点 A 与点B 关于原点对称， ∴OA=OB, ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴OC=OA,OC⊥OA, ∴∠DOC+∠AOE=90°, ∵∠DOC+∠DCO=90°, ∴∠DCO=∠AOE, ∴△COD≌△OAE, ∴点C 在反比例函数 的图象上. 重点强化15 反比例函数与几何(五)圆 1.24 解:连接 PM,过点 P 作 PR⊥MN 于点R. ∵MN=|-12+4|=8, ∴OR=OM+MR=8, ∴P(-3,-8). ∵函数 的图象经过点P(-3，-8), ∴k=(-3)×(-8)=24. 2.9 解:连接PA,PB. ∵⊙P 与两坐标轴分别相切于点 A，B， ∴PA=PB,四边形OAPB 为正方形, ∴∠APB=∠EPF=90°, ∴∠BPF=∠APE, ∴Rt△BPF≌Rt△APE, ∴BF=AE. ∵OF-OE=6, ∴(OB+BF)-(AE-OA)=6, 即2OA=6, 解得OA=3, ∴k=OA·PA=3×3=9. 故答案为9. 解:过点 H 作 HE⊥BC 于点E,连接BH,AH. ∵B(2,0),C(6,0), ∴BC=4, ∴OE=OB+BE=2+2=4. ∵⊙H 与y轴相切于点A, ∴AH⊥y轴, ∴AH=OE=4, ∴BH=4. 在Rt△BEH 中,BE=2,BH=4, ∵双曲线 经过圆心H， 4.解:过点 M 作MN⊥x轴于点 N, ∴∠MNO=90°, ∵⊙M 切y 轴于点C, ∴∠OCM=90°. ∵∠CON=90°, ∴四边形OCMN 是矩形, ∴AM=CM=2,∠CMN=90°, ∵∠AMC=60°, ∴∠AMN=30°, ∴AN=BN=1,MN= ∴B(3,0), ∵C(0, ), ∴直线 BC 的解析式为 重点强化16 反比例函数综合 横平竖直线 1.解:由x=a与 联立,得yA= 由x=a 与y=-2x+1联立,得yB=-2a+1. ∵AB=3, 解得 ∴a 的值为1. 2.解:过点 P 作 PM⊥AB 于点M, ∵PA=PB, ∴AM=BM, ∴点 P(-1,4), 又∵F 是PE 的中点, ∴F(0,2), ∴直线l:y=-2x+2. 设A(a,-2a+2),B(a,- ). ∴AM=-2a+2-4=-2a-2, (舍). ∴a=-2. 3.解:由 y=b与 联立，得 由y=b与y=x+2联立,得 b-2. ∵AB=2BC, 解得b=-2或b=4. ∵b<0, ∴b=-2. ∴b的值为-2. 4.解:将点 A(-3,a)代入 y=2x+4得a=-2, ∴A(-3,-2), ∴k=-3×(-2)=6. ∵点 M 在直线AB上, ∵点 N在 的图象上， =4, ∵m>0, ∴m=2或: 新情境(一) 反比例函数的新考法 1.4 解：(1)由图可知点 A 的坐标为(-3,2). 设反比例函数关系式为 ∴k=-6; (2)∵直线OA 的解析式为 ∴直线 BC 的解析式为 联立 (舍去) 3.6 解:过点 C 作CD⊥x轴于点D,过点A 作AE⊥x轴于点E. ∵∠ACB=90°,∠ABC=60°, ∴∠BAC=30°, ∵AB=4, ∵∠ABO=60°,AE⊥x轴,CD⊥x轴，同理得 设A(a,2 ),则 4.2或3 解:∵OA=OB=5, ∴A(-5,0),B(0,5). 设平移后点 A，B的对应点分别为A',B', ∴A′(-5+a,-a),B′(a,5-a). ∵A'，B'两点恰好都落在函数y= 的图象上， ∴a(5-a)=6, ∴a=2或a=3. 综合与实践(一)函数 的性质 解:(1)2 3 4 3 1 如图所示， y轴. 证明：在 的图象上任取一点 则点 A 关于y轴的对称点B 的坐标为 ∵把x=-a代入 中,y= 即点 B 在 的图象上， 的图象关于y轴对称； (2)Q(2,y₂)关于 y 轴的对称点为(-2,y₂), ∵点 P(x,y₁),Q(2,y₂)在函数 y= 的图象上，且 ∴x的取值范围是x<-2或x>2; (3)把x=1代入 中，得y=3,点(1,3),再把x=1,y=3代入 y=nx+2中,得n=1,把 代入y 中，得y=6,点 再把 代入y= nx+2中,得n=-8,结合函数图象,得n>1或n<-8. 学科网（北京）股份有限公司 $