2026年中考数学第二轮专题复习之解答题复习——5：《解直角三角形的应用》

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 5. 解直角三角形的应用  本课题是中考解答题必考中档题型，以实际测量为核心载体，考查直角三角形边角关系与数学建模，分值稳定、方法固定，是二轮复习必须满分突破的基础题型。 一、题型特点 1. 情境固定，贴近生活：以高度测量、航海导航、工程施工、山坡测距为主要背景，融合仰角、俯角、方位角、坡角等概念，贴合实际应用场景。 2. 图形典型，建模统一：多为 “双直角三角形共直角边” 结构，斜三角形需通过作高转化为直角三角形，核心考查数形结合与方程思想。 3. 考点集中，难度适中：围绕特殊角与常见锐角三角函数值、三边关系、边角计算命题，计算量适中，按步骤给分，规范书写至关重要。 4. 细节密集，易粗失分：常设置测角仪高度、物体厚度、行走距离等干扰条件，角度识别与线段加减易出错。 二、答题要点 1. 规范作线，转化图形：过关键点作竖直或水平垂线，构造直角三角形，将非直角三角形转化为可解直角三角形，辅助线用虚线并标注垂直符号。 2. 精准定角，明确条件：准确识别仰角、俯角、方位角、坡角，标注已知角度、边长、测角仪高度等条件，理清线段和差关系。 3. 选准函数，简化计算：已知对边、邻边优先用正切，已知对边、斜边用正弦，已知邻边、斜边用余弦，减少计算复杂度。 4. 设元列方程，求解计算：设公共直角边为未知数，利用线段和差建立方程求解；代入三角函数近似值，按题目要求保留小数或根号。 5. 完整作答，贴合实际：结果需结合实际意义检验，注明单位，规范书写 “答”，高度类问题勿忘加减测角仪 / 支架高度。 三、避坑指南 1. 辅助线不规范：未作垂线或实线绘制，导致图形转化错误。 2. 角度识别错误：混淆仰角与俯角、方位角的起始边，角度标注偏差。 3. 函数选用不当：盲目选用三角函数，增加计算量且易出错。 4. 忽略附加高度：未加减测角仪、旗杆底座等高度，结果直接偏差。 5. 近似值处理失误：三角函数值记错、中间步骤过早取近似值，导致结果误差。 6. 线段关系混乱：未理清 “和、差、倍、分”，方程列错，计算全错。 7. 步骤缺失失分：无辅助线说明、无计算过程、无单位、无作答，丢失步骤分。 本课时是中考代数与几何结合的基础得分点，核心方法是“作高构直角、定角选函数、设元列方程、验根写规范”。复习时强化图形转化、角度识别与步骤书写，通过典型题训练固定解题流程，即可避开高频陷阱，稳稳拿下全部分数。 四、真题练习 1.（24-25·重庆模拟）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向．（参考数据：） （1）求的长度．（结果精确到千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】 的长度约为千米； 小明应该选择路线①，理由见解答 【解析】 （1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【解答】 （1）解：过点作于点， 由题意可得：四边形是矩形， 千米， 点在点的北偏东方向， ， 千米， 答：的长度约为千米； （2）由题意可得：，，路线①的路程为：（千米）， ，，， 为等腰直角三角形， ， ， 由题意可得， ， ，， 所以路线②的路程为：千米， 路线①的路程路线②的路程， 故小明应该选择路线①． 2.（24-25·山东模拟）图是某款篮球架，图是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行于地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．   （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】 ; 该运动员能挂上篮网，理由见解答. 【解析】 （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【解答】 （1），,， ． （2）该运动员能挂上篮网，理由如下：如图，延长交于点.    ， ， 又， . 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 3.（24-25·浙江模拟）图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【答案】 能，见解析 【解析】 （1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度． （2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【解答】 （1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． （2）解：能，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 在中，． ， ， ． ， ． 小若垫起脚尖后头顶的高度为． 小若头顶超出点的高度． 小若垫起脚尖后能被识别． 4.（23-24·甘肃中考）习近平总书记于年指出，中国将力争年前实现碳达峰、年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数，于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点在同一条直线上），在处测得塔尖顶点的仰角为，在处测得塔尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 过点作于，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【解答】 解：如图所示，过点作于，连接，则四边形是矩形， ，， ，， 由题意可得，，四边形是矩形， ，，，三点共线， ； 设，在中，，； 在中，， ， ， ， 解得，， ， 风电塔筒的高度约为． 5.（23-24·江苏中考）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 ； 【解析】 （1）过点作，垂足为，判断四边形为矩形，可求出，，然后在在中，根据勾股定理求出即可； （2）过点作，交的延长线于点，交于点．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可． 【解答】 （1） 解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 6.（23-24·陕西中考）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点，在点处测得点的仰角，再在上选一点，在点处测得点的仰角，．求山顶点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）   【答案】 山顶点处的海拔高度为． 【解析】 过点作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【解答】 解：过点作交的延长线于点，设，   在中，， ， 在中，， ， ， ，解得， 山顶点处的海拔高度为． 7.（22-23·山东中考）（10分）如图，是南北方向的海岸线，码头与灯塔相距千米，海岛位于码头北偏东方向．一艘勘测船从海岛沿北偏西方向往灯塔行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头北偏东方向的处石油资源丰富．若规划修建从处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号） 【答案】 解：如图：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， ，， ， 千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， 千米， 在中，， 千米， 输油管道的最短长度是千米． 【解析】 过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，从而可得，，然后利用平角定义可得，从而在中，利用含度角的直角三角形性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用含度角的直角三角形性质求出的长，即可解答． 【解答】 解：如图：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， ，， ， 千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， 千米， 在中，， 千米， 输油管道的最短长度是千米．  8.（22-23·内蒙古中考）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 行进路线和所在直线的夹角为 检查点和之间的距离为 【解析】 （1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【解答】 （1） 解：如图，根据题意得，，，， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． （2）过点作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 9.（22-23·黑龙江中考）如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得． （1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号） （2）若从点继续沿的方向走米到达点．求的值． 【答案】 河两岸之间的距离是米 【解析】 （1）过点作于点，设米，在中，，在中，，根据，建立方程，解方程即可求解； （2）根据题意求得的长，进而根据正切的定义，即可求解． 【解答】 （1） 解：如图所示， 过点作于点，设米， ， ， 在中，， 解得： 答：河两岸之间的距离是米； （2）解：如图所示， 依题意，， ， 在中，， ． 10.（22-23·湖北中考）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图，景区工作人员小明准备从元明塔的点处挂一条大型竖直条幅到点处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点，在点用仪器测得条幅下端的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点，测得点和点的水平距离为米，且；然后他从点又沿水平方向行走了米到达点，在点测得条幅上端的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且，，共线，，，共线，共线，，）．     （1）求自动扶梯的长度； （2）求大型条幅的长度．（结果保留根号） 【答案】 米; 米. 【解析】 （1）过作于，由可得，求出的长，利用勾股定理即可求解； （2）过点作于，则四边形是矩形，得，，由已知计算得出的长度，解直角三角形得出的长度，在中求得的长度，利用线段的和差，即可解决问题． 【解答】 （1）解：过作于，如图：   在中，， (米)， (米)， 由勾股定理得(米). （2）如图，过点作于，，, 四边形是矩形， (米)，(米)， 由题意，(米)， ， ， (米)，（米）， 由题意，，(米)， ， (米)， 米 11.（22-23·湖南中考）今年五一长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余.小陈同学先测量，根据测量结果画出了图的示意图（图）．在图中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可；方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可． 【解答】 方法一：如图，过点作交的延长线于点, 图 四边形是平行四边形，， , ，， 过点作于点， 由题意知，， , 又，, 过作于点， ，，, ， 靠背顶端点距地面的高度为 ; 方法二：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点， 图 ，，, 又，， ， ， 过点作于， 由题意知，， , 又，， 靠背顶端点距地面的高度为． 12.（22-23·湖南中考）如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，当平分四边形的面积时，求的长． 【答案】 见解答; 见解答; . 【解析】 （1）根据旋转的性质可得，再根据，可得，即可； （2）根据，可得点，，，四点共圆，从而得到，，从而得到，进而得到，可证明，即可； （3）连接，根据，，可得，，，设，则可得，，，，，，再由平分四边形的面积，可得，从而得到关于的方程，即可求解． 【解答】 （1）证明：线段绕点按顺时针方向旋转得到，， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，点，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，连接， ， ，， ，， ， ，， ， 设，则， ，，， ， ，， 平分四边形的面积， ， ， 即， 解得（负值舍去）， ． 13.（22-23·湖南中考）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高米（如图所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为岁．如图，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上处为陈树湘雕像拍照，相机支架高米，在相机处观测雕像顶端的仰角为，然后将相机支架移到处拍照，在相机处观测雕像顶端的仰角为，求、两点间的距离（结果精确到米，参考数据：． 【答案】 解：由题意得：，，米，米，， （米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 、两点间的距离约为米． 【解析】 根据题意可得：，，米，米，，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】 解：由题意得：，，米，米，， （米）， 在中，， （米）． 14.（22-23·湖南中考）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取、两点，并过点架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点出发按方向前进米到达点，即米，测得，已知，，求、两点间的距离． 【答案】 解：过点作于点， ， 在中，， 设米，米， 则由勾股定理得米， 在中，， 米， ， 解得， 米． 答：、两点间的距离为米． 【解析】 过点作于点，根据的值设米，米，根据勾股定理求出的长，再根据的值即可求出的值，从而求出、两点间的距离． 【解答】 解：过点作于点， ， 在中，， 设米，米， 则由勾股定理得米， 在中，， 米， ， 解得， 米． 答：、两点间的距离为米． 15.（24-25·上海模拟）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表    时间：年月日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 测出测角仪的高． 利用测角仪测出展览馆顶端的仰角． 测出测角仪底端处到展览馆底端处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为___19_____．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 【答案】 该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为 【解析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键． 任务二：先由矩形得到，，然后解即可； 任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可． 【解答】 解：任务二：由题意得为矩形， ，， 在中， ， ， 答：该城市规划展览馆的高度为； 任务三：设打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：， 答：打印模型的高度约为． 16.（25-26·甘肃模拟）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点处测得大楼顶部点的仰角的度数，大楼底部点的俯角的度数．然后在点正下方点处，测得大楼顶部点的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，， 【答案】 大楼的高度约为． 【解析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【解答】 解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ， ， ， 设， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， ， 答：大楼的高度约为． 17.（24-25·贵州模拟）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时，，三点在同一直线上）； 测量，两点和，两点间的距离； 用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时，，三点在同一直线上），测量，两点间的距离； 用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示 测量数据 备注 图上所有点均在同一平面内； 均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【解析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【解答】 解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 答：校徽的高度为． 18.（24-25·四川模拟）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 信号杆的高为 【解析】 本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【解答】 解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ，均与水平线垂直． ， 在中，， 则， 在中，， 则， 过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形 ， ，， ， ， ， 信号杆的高为． 19.（24-25·山东模拟）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，． 【答案】 内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ，  列出方程，  解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】 解：由题意得，，四边形为矩形， ，， ，， 设米，则米，米， 在中，，，， ， 在中，，， ， ，解得， （米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 20.（24-25·河南模拟）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】 世纪钟建筑的高度约为 【解析】 本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【解答】 解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 21.（24-25·四川模拟）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点、、依次在同一条水平直线上，在处测得桥塔顶部的仰角为，在处测得桥塔顶部的仰角为，又测得，，垂足为，求桥塔的高度（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案． 【解答】 解；设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得， ， 答：桥塔的高度为． 22.（23-24·山东中考）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】 无人机从点到点的上升高度为 【解析】 本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【解答】 解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从点到点的上升高度为． 23.（24-25·广东模拟）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤：如图，在空旷地找一点； 步骤：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】 见解析 【解析】 （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【解答】 （1）解：，， ， 由题意得，， 又， ， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， 在中，，， ，， ， 在中，， ． 答：，两岛间的距离为． 24.（24-25·江西模拟）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】 任务一：，任务二：该活动中心移动了米； 【解析】 本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【解答】 解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ， ，， ， ， ； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ，四边形为矩形， ， ， ； 该活动中心移动了米. 25.（24-25重庆模拟）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于分米，求该连衣裙的长度； （2）如图，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 分米 分米 【解析】 （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点作于，延长交于，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【解答】 （1）解：， 四边形是矩形， ； 在中，分米，分米， 分米， 分米， 分米， 答：该连衣裙的长度为分米； （2）如图所示，过点作于，延长交于， ， 四边形是矩形， ； 在中，分米，，， 分米， 分米， 分米， 分米， 分米， 分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为分米． 26.（24-25·四川模拟）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下： （1）测量坡角 如图，后山一侧有三段相对平直的山坡，，，山的高度即为三段坡面的铅直高度，，之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图，同学们将两根直杆，的一端放在坡面起始端处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端用细线系小重物，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡坡角的度数．请直接写出，之间的数量关系． （2）测量山高 同学们测得山坡，，的坡长依次为米，米，米，坡角依次为，，；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图），量得，．求山高．（，结果精确到米） （3）测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法． 如图，，在学校操场上，将直杆置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点，，共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高为米，求山高．（结果用不含，的字母表示） 【答案】 解：铅直线与水平线垂直， ， 故，之间的数量关系为：； 在中， 米，， ， ， 在中， ，，， ， ， ， 解得米， 在中， 米，， 米， 在中， 米，， ， （米）， （米）， 答：山高约为米； 由题意，得，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， （米）， ， 解得， 山高（米）， 答：山高为米． 【解析】 （1）根据铅直线与水平线垂直解答即可； （2）利用正弦函数定义，得到和中角所对的直角边与斜边的比相等，即可求出，再分别在和中求出，，从而可求出山高； （3）用，表示出的正切，用，表示出的正切，进而可用表示出和，利用列方程求出，进而求出山高． 【解答】 （1）解：铅直线与水平线垂直， ， 故，之间的数量关系为：； （2）在中， 米，， ， ， 在中， ，，， ， ， ， 解得米， 在中， 米，， 米， 在中， 米，， ， （米）， （米）， 答：山高约为米； （3）由题意，得，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， （米）， ， 解得， 山高（米）， 答：山高为米． 27.（25-26·甘肃模拟）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【解答】 （1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． 景点与景点之间的距离为．   28.（24-25·江苏模拟）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，，，，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向千米的处，乙无人机位于的南偏西方向千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上．（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从，出发沿往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的倍．当两无人机相距千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】 千米 千米 【解析】 （1）过点作于，过点作于，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足千米．过点作于，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【解答】 （1）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 在中，千米， 千米， 无人机位于的正东方向千米的处，位于的正西方向上， ， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足千米．过点作于， 由题意得，， 在中，千米， 千米， 千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， 千米， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， 千米， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 29.（25-26·广东模拟）图是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． （1）__________，_____76_____； （2）求点到道路的距离； （3）若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】 ， 千米 【解析】 （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【解答】 （1）解：正八边形的一个外角的度数为：， ，； 故答案为：； （2）过点作，垂足为． 在中，，， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为千米． （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ， ， ，即， ， ． 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 30.（24-25·山东中考）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】 渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【解答】 （1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ，， ， 在中，， ， 解得：， 渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ， ， 小时分钟， 从，经过分钟是，在之前到达， 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 5. 解直角三角形的应用  本课题是中考解答题必考中档题型，以实际测量为核心载体，考查直角三角形边角关系与数学建模，分值稳定、方法固定，是二轮复习必须满分突破的基础题型。。 一、题型特点 1. 情境固定，贴近生活：以高度测量、航海导航、工程施工、山坡测距为主要背景，融合仰角、俯角、方位角、坡角等概念，贴合实际应用场景。 2. 图形典型，建模统一：多为 “双直角三角形共直角边” 结构，斜三角形需通过作高转化为直角三角形，核心考查数形结合与方程思想。 3. 考点集中，难度适中：围绕特殊角与常见锐角三角函数值、三边关系、边角计算命题，计算量适中，按步骤给分，规范书写至关重要。 4. 细节密集，易粗失分：常设置测角仪高度、物体厚度、行走距离等干扰条件，角度识别与线段加减易出错。 二、答题要点 1. 规范作线，转化图形：过关键点作竖直或水平垂线，构造直角三角形，将非直角三角形转化为可解直角三角形，辅助线用虚线并标注垂直符号。 2. 精准定角，明确条件：准确识别仰角、俯角、方位角、坡角，标注已知角度、边长、测角仪高度等条件，理清线段和差关系。 3. 选准函数，简化计算：已知对边、邻边优先用正切，已知对边、斜边用正弦，已知邻边、斜边用余弦，减少计算复杂度。 4. 设元列方程，求解计算：设公共直角边为未知数，利用线段和差建立方程求解；代入三角函数近似值，按题目要求保留小数或根号。 5. 完整作答，贴合实际：结果需结合实际意义检验，注明单位，规范书写 “答”，高度类问题勿忘加减测角仪 / 支架高度。 三、避坑指南 1. 辅助线不规范：未作垂线或实线绘制，导致图形转化错误。 2. 角度识别错误：混淆仰角与俯角、方位角的起始边，角度标注偏差。 3. 函数选用不当：盲目选用三角函数，增加计算量且易出错。 4. 忽略附加高度：未加减测角仪、旗杆底座等高度，结果直接偏差。 5. 近似值处理失误：三角函数值记错、中间步骤过早取近似值，导致结果误差。 6. 线段关系混乱：未理清 “和、差、倍、分”，方程列错，计算全错。 7. 步骤缺失失分：无辅助线说明、无计算过程、无单位、无作答，丢失步骤分。 本课时是中考代数与几何结合的基础得分点，核心方法是“作高构直角、定角选函数、设元列方程、验根写规范”。复习时强化图形转化、角度识别与步骤书写，通过典型题训练固定解题流程，即可避开高频陷阱，稳稳拿下全部分数。 四、真题练习 1.（24-25·重庆模拟）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向．（参考数据：） （1）求的长度．（结果精确到千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 2.（24-25·山东模拟）图是某款篮球架，图是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行于地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，．   （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 3.（24-25·浙江模拟）图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 4.（23-24·甘肃中考）习近平总书记于年指出，中国将力争年前实现碳达峰、年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速，某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数，于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距（点在同一条直线上），在处测得塔尖顶点的仰角为，在处测得塔尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 5.（23-24·江苏中考）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 6.（23-24·陕西中考）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点，在点处测得点的仰角，再在上选一点，在点处测得点的仰角，．求山顶点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）   7.（22-23·山东中考）（10分）如图，是南北方向的海岸线，码头与灯塔相距千米，海岛位于码头北偏东方向．一艘勘测船从海岛沿北偏西方向往灯塔行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头北偏东方向的处石油资源丰富．若规划修建从处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号） 8.（22-23·内蒙古中考）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 9.（22-23·黑龙江中考）如图，直线和为河的两岸，且，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸的点测得，从点沿河岸的方向走米到达点，测得． （1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号） （2）若从点继续沿的方向走米到达点．求的值． 10.（22-23·湖北中考）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图，景区工作人员小明准备从元明塔的点处挂一条大型竖直条幅到点处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点沿水平方向步行米到达自动扶梯底端点，在点用仪器测得条幅下端的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点，测得点和点的水平距离为米，且；然后他从点又沿水平方向行走了米到达点，在点测得条幅上端的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且，，共线，，，共线，共线，，）．     （1）求自动扶梯的长度； （2）求大型条幅的长度．（结果保留根号） 11.（22-23·湖南中考）今年五一长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余.小陈同学先测量，根据测量结果画出了图的示意图（图）．在图中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 12.（22-23·湖南中考）如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，当平分四边形的面积时，求的长． 13.（22-23·湖南中考）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高米（如图所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为岁．如图，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上处为陈树湘雕像拍照，相机支架高米，在相机处观测雕像顶端的仰角为，然后将相机支架移到处拍照，在相机处观测雕像顶端的仰角为，求、两点间的距离（结果精确到米，参考数据：． 14.（22-23·云南中考）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取、两点，并过点架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点出发按方向前进米到达点，即米，测得，已知，，求、两点间的距离． 【答案】 解：过点作于点， ， 在中，， 设米，米， 则由勾股定理得米， 在中，， 米， ， 解得， 米． 答：、两点间的距离为米． 【解析】 过点作于点，根据的值设米，米，根据勾股定理求出的长，再根据的值即可求出的值，从而求出、两点间的距离． 【解答】 解：过点作于点， ， 在中，， 设米，米， 则由勾股定理得米， 在中，， 米， ， 解得， 米． 答：、两点间的距离为米． 15.（24-25·上海模拟）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表    时间：年月日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 测出测角仪的高． 利用测角仪测出展览馆顶端的仰角． 测出测角仪底端处到展览馆底端处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为_______．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 16.（25-26·甘肃模拟）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点处测得大楼顶部点的仰角的度数，大楼底部点的俯角的度数．然后在点正下方点处，测得大楼顶部点的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，， 17.（24-25·贵州模拟）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时，，三点在同一直线上）； 测量，两点和，两点间的距离； 用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时，，三点在同一直线上），测量，两点间的距离； 用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示 测量数据 备注 图上所有点均在同一平面内； 均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 18.（24-25·四川模拟）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 19.（24-25·山东模拟）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，． 20.（24-25·河南模拟）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 21.（24-25·四川模拟）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点、、依次在同一条水平直线上，在处测得桥塔顶部的仰角为，在处测得桥塔顶部的仰角为，又测得，，垂足为，求桥塔的高度（结果保留根号）． 22.（23-24·山东中考）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 23.（24-25·广东模拟）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤：如图，在空旷地找一点； 步骤：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 24.（24-25·江西模拟）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 25.（24-25重庆模拟）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于分米，求该连衣裙的长度； （2）如图，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 26.（24-25·四川模拟）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下： （1）测量坡角 如图，后山一侧有三段相对平直的山坡，，，山的高度即为三段坡面的铅直高度，，之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图，同学们将两根直杆，的一端放在坡面起始端处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端用细线系小重物，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡坡角的度数．请直接写出，之间的数量关系． （2）测量山高 同学们测得山坡，，的坡长依次为米，米，米，坡角依次为，，；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图），量得，．求山高．（，结果精确到米） （3）测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法． 如图，，在学校操场上，将直杆置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点，，共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高为米，求山高．（结果用不含，的字母表示） 27.（25-26·甘肃模拟）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 28.（24-25·江苏模拟）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，，，，在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向千米的处，乙无人机位于的南偏西方向千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上．（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从，出发沿往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的倍．当两无人机相距千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 29.（25-26·广东模拟）图是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． （1）_________，_________； （2）求点到道路的距离； （3）若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 30.（24-25·山东中考）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $