第21讲 解直角三角形的应用(课件PPT)-【思而优·中考突破】2026年中考数学总复习（广东专用）

该初中数学中考复习课件聚焦“解直角三角形的应用”核心考点，严格对接中考说明，系统梳理仰角俯角、方向角、坡角坡度三大高频题型，通过知识盘点夯实基础概念，如明确坡度i=h/l=tanα的关系，分析各考点在中考中的权重分布，归纳常考模型。 课件亮点在于“真题突破+分层训练”模式，精选2025年大庆、长沙等地中考真题，如仰角俯角问题中构造矩形转化直角三角形求解，培养学生几何直观与推理能力。分层设计必过题与提升题，配合教材母题回归，帮助学生掌握构造辅助线、列方程等解题技巧，助力教师高效规划复习，提升学生中考得分率。

26版·数学课件 第四章 三角形 第21讲 解直角三角形的应用 第一部分 考点突破 目录 01 一、知识盘点·夯实基础 02 二、考点突破·形成能力 03 三、分层过关·真题检验 04 四、教材母题回归 一、知识盘点·夯实基础 目录 1.仰角、俯角问题 (1)抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看点A的仰角＝30°； (2)低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点B的俯角＝70°. 目录 考点梳理 1.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为　　　 　米. 目录 基础过关 120　 2.方向角问题 以正南、正北方向为基准，向东或向西旋转一定角度来描述物体的运动方向. (1)点A在点O北偏东60°的方向上； (2)点B在点O东南的方向上； (3)点C在点O南偏西30°的方向上. 目录 考点梳理 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时B离灯塔P的距离是　　　　n mile. 目录 基础过关 40 3.坡角、坡度问题 (1)坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫作坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1∶m的形式； (2)把坡面与水平面的夹角α叫作坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝＝tan α. 目录 考点梳理 3.如图，某地一座建筑物的截面图的高BC＝5 m，坡面AB的坡度为 1∶，则AB的长为(　　) A.10 m B.10 m C.5 m D.5 m 目录 基础过关 B 二、考点突破·形成能力 考点1 目录 考点2 考点3 考点1 仰角、俯角问题 目录 上一级 1. 　 (2025·大庆)在数学综合实践活动中，两个 兴趣小组要合作测量楼房高度BC.如图，第一小 组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面 上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度(点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量)；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米.请根据提供的数据，求出楼房高度(结果精确到1米，参考数据：≈1.73). 目录 上一级 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F. 由题意，得∠MDA＝45°，∠NDC＝30°，DE＝40 m， ∴∠ADE＝90°－∠MDA＝45°，∠CDF＝90°－∠NDC＝60°. ∵DE⊥AB，CF⊥DE， ∴∠FEB＝∠CBE＝∠CFE＝90°， ∴四边形FEBC为矩形， ∴BC＝FE，CF＝BE. 目录 上一级 在Rt△ADE中，AE＝DE·tan∠ADE＝40(m)， ∴BE＝AB－AE＝70－40＝30(m)， ∴CF＝BE＝30 m. 在Rt△CFD中，DF＝＝10(m)， ∴BC＝EF＝DE－DF＝40－10≈23(m). 答：楼房高度约为23 m. 目录 2.(2025·遂宁)在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°.求摩天轮CF的高度(结果精确到0.1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19). 上一级 目录 解：如图，延长DE交CF于点H，则EH⊥CF. ∵∠EHF＝∠EBF＝∠BFC＝90°， ∴四边形EBFH是矩形. 同理可得四边形DEBA，DAFH都是矩形， ∴ED＝AB＝30 m，HF＝AD＝1.6 m. 设CH＝r m. 在Rt△CDH中，tan∠CDH＝， ∴DH＝≈＝r m. 上一级 目录 ∴EH＝DH－DE＝(r－30) m. 在Rt△CEH中，tan∠CEH＝， ∴EH＝≈ m. ∴＝r－30， 解得r≈60.85， 则CF＝CH＋HF＝60.85＋1.6≈62.5(m). 答：摩天轮CF的高度约为62.5 m. 上一级 目录 3. 　(2025·长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m. (1)求∠ACB的度数； 考点2 方向角问题 上一级 目录 解：如图，由题意，得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°. 上一级 目录 (2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号). 上一级 解：∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由(1)得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴AB＝AC＝800 m. 在Rt△ACM中，sin∠ACM＝，cos∠ACM＝， ∴AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin 30°＝400(m)， CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos 30°＝400(m)， ∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200(m). ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1 200 m. ∴DC＝DM－CM＝(1 200－400)m. 答：景点C与景点D之间的距离为(1 200－400)m. 目录 上一级 目录 4.(2025·烟台)【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.如图，一 上一级 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范. 艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 目录 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B 的最短距离； 上一级 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范. 目录 解：如图，过点B作BE⊥AC于点E. 设BE＝x海里. 依题意，得∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10×＝5海里， ∴∠C＝90°－∠EBC＝37°，ED＝BE＝x海里， ∴EC＝ED＋DC＝(x＋5)海里， 在Rt△BCE中，EC＝＝≈＝x海里， ∴x＝x＋5， 解得x＝15. ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离约为15海里. 上一级 目录 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 上一级 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范. 14°≈0.25). 目录 解：在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15海里， ∴AE＝BE·tan 14°≈15×0.25＝3.75(海里)， ∴AC＝AE＋DE＝3.75＋15＝18.75(海里). ∵15：00到17：30相距2.5 h，18.75÷10＝1.875 h＜2.5 h， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 上一级 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天 气.请注意防范. 目录 5. 　(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是　　 　　. 考点3 坡角、坡度的问题 上一级 15 m 目录 6.今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下点A出发沿斜坡AB到达点B，再从点B沿斜坡BC到达山顶点C，路线如图，斜坡AB的长为200 米，斜坡BC的长为200 米，坡度是1∶1，已知点A海拔为121米，点C海拔为721米. (1)求斜坡AB的坡度； 上一级 目录 解：如图，作CD⊥AM于点D，BE⊥CD于点E，BF⊥AM于点F，则四边形BFDE是矩形， ∴BE＝FD，BF＝ED. ∵斜坡BC的长为200 米，坡度是1∶1， ∴BE＝CE，∠BCE＝45°， ∴BE＝CE＝200·sin 45°＝200(米). ∵点A海拔为121米，点C海拔为721米， ∴CD＝600米， ∴BF＝ED＝CD－CE＝400(米). 上一级 目录 ∵斜坡AB的长为200 米， ∴AF＝＝＝600(米)， ∴BF∶AF＝400∶600＝2∶3， 即斜坡AB的坡度是2∶3. 上一级 目录 (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度. 上一级 解：如图，连接AC. ∵CD＝600米，AD＝AF＋FD＝AF＋BE＝600＋200＝800(米)， ∴AC＝＝＝1 000(米). 答：钢缆AC的长度是1 000米. 目录 三、分层过关真题检验 必过题 提升题 目录 上一级 必过题 1.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得的仰角为53°(参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈)，则电子厂AB的高度约为(　　) A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m A 目录 上一级 2.(2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sin A的值为(　　) A. B.3 C. D. D 目录 上一级 3.(2023·广东)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离(结果精确到0.1 m，参考数据sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192). 目录 上一级 解：如图，连接AB，作CD⊥AB于点D. ∵AC＝BC，CD⊥AB， ∴CD是边AB边上的中线，也是∠ACB的平分线， ∴AB＝2AD，∠ACD＝∠ACB＝50°. 在Rt△ACD中，AC＝10 m，∠ACD＝50°，sin∠ACD＝， ∴AD＝10×sin 50°≈10×0.766＝7.66(m)， ∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3(m). 答：A，B两点间的距离约为15.3 m. 目录 上一级 4.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题(结果精确到0.1 m，参考数据≈1.73)： (1)求PQ的长； 目录 上一级 解：∵四边形PQMN是矩形， ∴∠Q＝∠P＝90°. 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝30°， ∴BC＝＝(m)， 目录 上一级 ∴AD＝ m. ∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝(m)， ∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1(m)， ∴PQ的长约为6.1 m. 目录 上一级 (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. 解：在Rt△BCE中，BE＝＝3.2(m)， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos∠ABQ＝2.7(m). ∵该充电站有20个停车位， ∴QM＝BQ＋20BE＝66.7(m). ∵四边形ABCD是矩形， ∴PN＝QM＝66.7 m. 目录 上一级 5.如图，A，B两城市相距100 km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以点P为圆 提升题 心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么(参考数据：≈1.732，≈1.414)？ 解：不会.理由如下： 如图，过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝∠EAP＝30°，∠BPC＝∠FBP＝45°， ∴AC＝PC·tan 30°， BC＝PC·tan 45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100 km， 目录 上一级 ∴(＋1)PC＝100， ∴PC＝50×(3－)≈50×(3－1.732)＝63.4 km＞50 km. 答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修建的这条高速公路不会穿越保护区. 目录 上一级 目录 上一级 6.(2025·资阳)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10 米，CD⊥BN(点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内). (1)求平台BN的高度； 目录 上一级 解：如图，过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB＝90°. ∵斜坡AB的坡度i＝＝， ∴AE＝3BE. 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， ∴(3BE)2＋BE2＝， ∴BE＝10米， ∴平台BN的高度是10米. 目录 上一级 (2)求建筑物的高度(即CD的长). 解：如图，延长CD交AM于点F， ∵CD⊥BN，BN∥AM， ∴CF⊥AM， ∴∠BEF＝∠EFD＝∠BDF＝90°， ∴四边形BDFE是矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF. 设CD＝x米，则CF＝CD＋DF＝(x＋10)米. 目录 上一级 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∴AF＝＝＝(x＋10)米. 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°， ∴BD＝＝＝x(米)， ∴EF＝BD＝x米. 由(1)得AE＝3BE＝3×10＝30(米)， ∵AF＝AE＋EF， 目录 上一级 ∴x＋10＝30＋x， 解得x＝15－15， ∴CD＝(15－15)米， 即建筑物的高度(即CD的长)为(15－15)米. 四、教材母题回归 目录 目录 7.(RJ九下P81改编)制作测角仪，测量树的高度 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵　　　　综合实践活动报告　　 　　时间：2025年6月20日 目录 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测量的几何量 目录 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角(如图②)，准备皮尺 目录 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点. 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α. 测出眼睛到地面的距离AB. 测出所站地方到古树底部的距离BD 所得数据：α＝　　，AB＝1.54 m，BD＝10 m 【步骤四】计算古树高度CD(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 40°≈0.643， cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839) 目录 请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】. 解：∵测角仪显示的度数为50°， ∴α＝90°－50°＝40°. 在图①中，AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AE， ∴∠ABD＝∠EDB＝∠AED＝90°， ∴四边形ABDE是矩形， ∴AE＝BD＝10 m，ED＝AB＝1.54 m. 在Rt△CAE中，CE＝AE·tan α≈8.39(m)， ∴CD＝CE＋ED＝8.39＋1.54＝9.93≈9.9(m). 答：古树的高度CD约为9.9 m. 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 $