2026年中考数学第二轮专题复习之填空题复习——8：《分式方程及应用》

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 8. 分式方程及应用  本课题聚焦中考分式方程及应用填空题，以分式方程的解法、增根与无解判断、含参取值、实际应用建模为核心，难度中档、陷阱集中，是二轮复习必须规范突破的基础得分点。 一、题型特点 1. 考点聚焦，类型固定：主要分为三类，直接求解分式方程、含参问题（增根、无解、解为正数 / 整数）、实际建模（工程、行程、费用、销售问题），基础与中档题占比高。 2. 陷阱密集，细节为王：核心陷阱围绕增根、分母不为 0、解的范围限制设置，忽略隐含条件极易失分。 3. 答案唯一，规范刚性：无选项参考，结果需精准数值或取值范围，求解后必须检验，步骤不规范直接丢分。 4. 综合交汇，灵活考查：常与一元一次不等式组结合，考查参数取值范围与整数解，综合性适中。 二、答题要点 1. 规范求解，检验必做：严格按照 “去分母→解整式方程→代入最简公分母检验” 步骤解题，检验是得分关键。 2. 增根无解，精准处理：先确定使分母为 0 的增根，将增根代入整式方程求参数；方程无解分 “整式方程无解”“解为增根” 两类讨论。 3. 解的范围，双重限制：解为正数、负数或整数时，既要满足符号 / 整数要求，又要排除使分母为 0 的增根。 4. 实际应用，建模准确：抓 “时间差、工作量、单价、路程相等” 等量关系列方程，统一单位，检验结果是否符合实际意义。 三、避坑指南 1. 遗漏检验步骤：求解后未代入最简公分母验证，保留增根导致错误。 2. 去分母操作失误：漏乘不含分母的常数项，或符号处理错误。 3. 含参问题忽略限制：求参数时未排除使分母为 0 的取值，或未结合不等式组范围。 4. 解的范围判断不全：只考虑符号要求，未剔除增根，导致取值范围错误。 5. 实际问题未验合理性：未检验解是否为正整数、是否符合生活场景，直接作答。 本课时填空题以“检验为核心、规范为基础、隐含条件为关键”，是中考代数基础分的稳定拿分点。复习时需强化 “先求解、再检验、限范围、舍增根” 的解题流程，重点突破含参分式方程的增根与无解判断、解的范围双重限制，通过针对性训练规范步骤、规避陷阱，就能稳稳拿下该板块全部分数，为中考数学筑牢代数运算基础。 四、真题练习 1.（24-25·四川模拟）方程 的解为____________. 【答案】 【解析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键． 先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可． 【解答】 解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 所以，原方程的根为：， 故答案为：． 2.（23-24·江苏中考）分式方程的解为_____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【解答】 解：， 去分母得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原分式方程的解为， 故答案为：． 3.（24-25四川模拟）分式方程的解为____________． 【答案】 【解析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【解答】 解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 4.（24-25·北京中考）方程的解为_____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【解答】 解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 检验，当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 5.（23-24·北京中考）方程的解为_______ __________. 【答案】 【解析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【解答】 解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 6.（23-24·重庆中考）若关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是   12     ． 【答案】 【解析】 根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且是偶数，则且且是偶数，据此确定符合题意的的值，最后求和即可． 【解答】 解：,解不等式①得 解不等式②得， 不等式组的解集为 ； 解分式方程得 关于的分式方程的解均为负整数， 且是整数, 且且是偶数， 且且是偶数， 满足题意的的值可以为或， 所有满足条件的整数的值之和是． 7.（24-25·四川中考）若关于的分式方程无解，则____-1________． 【答案】 【解析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【解答】 解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 8.（24-25·四川模拟）关于的方程无解，则的值为_____1________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【解答】 解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为，得 ， 该方程无解，则， ，解得． 故答案为：1 9.（24-25·山东模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为_____5_________． 【答案】 【解析】 根据分式方程的增根的定义解决此题． 【解答】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并得 系数化为，得， 分式方程有增根， ， 解得， 故答案为：5 10.（24-25·江西模拟）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有_______3_______个． 【答案】 【解析】 本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得且，因为分式方程有正整数解，进而可得整数的值． 【解答】 解：解分式方程得且， 分式方程的解为整数， 的值为或， 解得的值为，，，共个． 故答案为：3 11.（24-25·四川模拟）若关于的不等式组有解且至多个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为_____22_________． 【答案】 【解析】 本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【解答】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有解且至多个整数解， ， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， 关于的分式方程的解为整数， 是整数，且，即， 符合条件的所有整数的值为， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22 12.（24-25·福建模拟）若分式方程的解为正整数，则整数的值为____-1___． 【答案】 【解析】 此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【解答】 解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 13.（24-25·四川模拟）若关于的分式方程无解，则的值为_____或_______． 【答案】 或 【解析】 本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【解答】 解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 14.（24-25·四川模拟）若关于的分式方程无解，则的值为___或_____． 【答案】 或 【解析】 本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【解答】 解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方式方程无解， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：或3 15.（24-25·江苏模拟）若关于的分式方程有增根，则实数的值是_______1_____． 【答案】 【解析】 先将分式方程化为整式方程，可得，再由分式方程有增根，可得，即可求解． 【解答】 解：方程两边同乘以， 可得， 解得， 分式方程有增根， ，解得， 1 故答案为： 16.（24-25·云南模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为___________ 【答案】 【解析】 此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根代入即可求出的值． 【解答】 解：去分母得， 关于的分式方程有增根， ，即增根， 把增根代入得， 解得， 故答案为：． 17.（23-24·山东模拟）若关于的方程有增根，则_____或4______． 【答案】 或或 【解析】 本题考查了分式方程的增根问题，正确理解分式方程增根的产生原因是解答本题的关键，首先去分母并哈见整理，得，将两个增根分别代入即可求得答案． 【解答】 方程两边同时乘以，得， 即， 为增根， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或， 故答案为：或4 18.（23-24·黑龙江模拟）已知关于的分式方程无解，则的值为__或___． 【答案】 或 【解析】 本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为，列出关于的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件． 【解答】 解：， ， ， ， 关于的分式方程无解， ， 解得：，即， 或， 解得：或， 故答案为：或． 19.（24-25·湖南模拟）分式方程的解为______4_______． 【答案】 【解析】 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】 解： 去分母，方程的两边同时乘以得：， 解得， 检验：将代入 原方程的解为． 故答案为：4 20.（24-25·江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为______________ 【答案】 【解析】 本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【解答】 解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 21.（23-24·内蒙古中考）年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵元，且用元购进小号“龙辰辰”的数量是用元购进大号“龙辰辰”数量的倍，则大号“龙辰辰”的单价为________55_______元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_____1260__________元． 【答案】 , 【解析】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【解答】 解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为元，小号“龙辰辰”的单价为元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为元， 故答案为：；1260  22.（22-23·内蒙古中考）甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为，则江水的流速为  6   ． 【答案】 【解析】 设江水的流速为，则甲速度为，乙速度为，根据行驶时间相等列出方程解答即可． 【解答】 解：设江水的流速为，根据题意得， 解得， 经检验,符合题意， 答：江水的流速． 23.（25-26·甘肃模拟）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前天完成任务，则原计划每天种树的棵数是_____120______棵． 【答案】 【解析】 设原计划每天种树棵，由题意得等量关系：原计划所用天数-实际所用天数，根据等量关系，列出方程，再解即可． 【解答】 解：设原计划每天种树棵，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：. 24.（24-25·重庆模拟）关于的一元一次不等式组有解且至多个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为________22______． 【答案】 【解析】 本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解． 【解答】 解：解不等式组得， 不等式组有解且最多有个整数解， ， 解得：， 解关于的分式方程得， 关于的分式方程有整数解， 或或或或或 为整数，且，， ， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 25.（24-25·湖南模拟）若分式方程的解为正数，则的取值范围是________，且____________． 【答案】 ，且 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：，， 解得：，且 故答案为：，且4 26.（24-25·江苏模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为___-1_____． 【答案】 【解析】 本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【解答】 解：， ， ， 关于的分式方程有增根， ， ， 故答案为：． 27.（24-25·河南模拟）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是_______且_________． 【答案】 且 【解析】 把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可． 【解答】 解：由得， 关于的方程的解为负数， ，即，解得，即且， 故答案为：且． 28.（23-24·山东模拟）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 _____，________． 【答案】 ， 【解析】 本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件， 把当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出，再根据分式方程的解为非负数，即可得出的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解， 【解答】 解： ， 关于的方程的解为非负数， 解得：， 又 即， 即， 故答案为：且 29.（24-25·北京模拟）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，请根据题意列出方程________________． 【答案】 【解析】 本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．设乙公司每天安装间教室，根据乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．列式即可得到答案． 【解答】 解：设乙公司每天安装间教室，由题意可得， ， 故答案为： 30.（24-25·山东模拟）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是_____3_______． 【答案】 【解析】 本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求出的值，再根据分式方程的解为负数，求出，根据为整数，确定的值，即可． 【解答】 由不等式组， 解不等式：，， 解不等式：， 不等式无解， ； ， 解得：， 分式方程的解为负数， ， 解得：； 的取值范围为：， 为整数， 的值为：，， 整数的值之和为：． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 8. 分式方程及应用  本课题聚焦中考分式方程及应用填空题，以分式方程的解法、增根与无解判断、含参取值、实际应用建模为核心，难度中档、陷阱集中，是二轮复习必须规范突破的基础得分点。 一、题型特点 1. 考点聚焦，类型固定：主要分为三类，直接求解分式方程、含参问题（增根、无解、解为正数 / 整数）、实际建模（工程、行程、费用、销售问题），基础与中档题占比高。 2. 陷阱密集，细节为王：核心陷阱围绕增根、分母不为 0、解的范围限制设置，忽略隐含条件极易失分。 3. 答案唯一，规范刚性：无选项参考，结果需精准数值或取值范围，求解后必须检验，步骤不规范直接丢分。 4. 综合交汇，灵活考查：常与一元一次不等式组结合，考查参数取值范围与整数解，综合性适中。 二、答题要点 1. 规范求解，检验必做：严格按照 “去分母→解整式方程→代入最简公分母检验” 步骤解题，检验是得分关键。 2. 增根无解，精准处理：先确定使分母为 0 的增根，将增根代入整式方程求参数；方程无解分 “整式方程无解”“解为增根” 两类讨论。 3. 解的范围，双重限制：解为正数、负数或整数时，既要满足符号 / 整数要求，又要排除使分母为 0 的增根。 4. 实际应用，建模准确：抓 “时间差、工作量、单价、路程相等” 等量关系列方程，统一单位，检验结果是否符合实际意义。 三、避坑指南 1. 遗漏检验步骤：求解后未代入最简公分母验证，保留增根导致错误。 2. 去分母操作失误：漏乘不含分母的常数项，或符号处理错误。 3. 含参问题忽略限制：求参数时未排除使分母为 0 的取值，或未结合不等式组范围。 4. 解的范围判断不全：只考虑符号要求，未剔除增根，导致取值范围错误。 5. 实际问题未验合理性：未检验解是否为正整数、是否符合生活场景，直接作答。 本课时填空题以“检验为核心、规范为基础、隐含条件为关键”，是中考代数基础分的稳定拿分点。复习时需强化 “先求解、再检验、限范围、舍增根” 的解题流程，重点突破含参分式方程的增根与无解判断、解的范围双重限制，通过针对性训练规范步骤、规避陷阱，就能稳稳拿下该板块全部分数，为中考数学筑牢代数运算基础。 四、真题练习 1.（24-25·四川模拟）方程 的解为____________. 2.（23-24·江苏中考）分式方程的解为_____________． 3.（24-25四川模拟）分式方程的解为____________． 4.（24-25·北京中考）方程的解为____________． 5.（23-24·北京中考）方程的解为______ __________. 6.（23-24·重庆中考）若关于的一元一次不等式组的解集为且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是       ． 7.（24-25·四川中考）若关于的分式方程无解，则__________． 8.（24-25·四川模拟）关于的方程无解，则的值为_____________． 9.（24-25·山东模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为_____________． 10.（24-25·江西模拟）若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有____________个． 11.（24-25·四川模拟）若关于的不等式组有解且至多个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为_____________． 12.（24-25·福建模拟）若分式方程的解为正整数，则整数的值为______． 13.（24-25·四川模拟）若关于的分式方程无解，则的值为____________． 14.（24-25·四川模拟）若关于的分式方程无解，则的值为________． 15.（24-25·江苏模拟）若关于的分式方程有增根，则实数的值是___________． 16.（24-25·云南模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为___________ 17.（23-24·山东模拟）若关于的方程有增根，则___________． 18.（23-24·黑龙江模拟）已知关于的分式方程无解，则的值为___． 19.（24-25·湖南模拟）分式方程的解为_________． 20.（24-25·江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为______________ 21.（23-24·内蒙古中考）年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵元，且用元购进小号“龙辰辰”的数量是用元购进大号“龙辰辰”数量的倍，则大号“龙辰辰”的单价为_____________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_______________元．  22.（22-23·内蒙古中考）甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为，则江水的流速为    ． 23.（25-26·甘肃模拟）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前天完成任务，则原计划每天种树的棵数是_________棵． 24.（24-25·重庆模拟）关于的一元一次不等式组有解且至多个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为____________． 25.（24-25·湖南模拟）若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________________． 26.（24-25·江苏模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为_______． 27.（24-25·河南模拟）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是_______________． 28.（23-24·山东模拟）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ____________． 29.（24-25·北京模拟）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，请根据题意列出方程________________． 30.（24-25·山东模拟）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是__________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $