专题07：质数与合数（期中专项训练）五年级数学下学期（苏教版）

专题07：质数与合数（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、质数与合数的认识 1 考点二、质数与合数的综合应用 2 考点三、分解质因数 2 例题讲解 3 题型一、质数与合数的认识 3 题型二、质数与合数的综合应用 4 题型三、分解质因数 5 专项训练 6 练习一、质数与合数的认识 6 练习二、质数与合数的综合应用 8 练习三、分解质因数 12 考点梳理 考点一、质数与合数的认识 1. 质数与合数的定义 (1)质数（素数）：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数的数。 (2)合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，还有其他因数的数。 (3)特殊说明：1既不是质数也不是合数（因为1只有1个因数，不符合质数“两个因数”或合数“两个以上因数”的定义）。 2. 质数与合数的特征 (1)质数特征： ①　因数个数：只有2个（1和它本身）。 ②　最小质数：2（唯一的偶质数，其他质数均为奇数）。 ③　质数的奇偶性：除2外，所有质数都是奇数；奇数不一定是质数（如9、15等是奇数但为合数）。 (2)合数特征： (1)因数个数：至少有3个（1、本身及其他因数）。 (2)最小合数：4（因数为1、2、4）。 (3)合数的奇偶性：合数可能是奇数（如9、15），也可能是偶数（如4、6）。 3. 100以内的质数表（需熟记） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共25个）。 考点二、质数与合数的综合应用 1. 判断一个数是质数还是合数的方法 (1)根据因数个数判断： ①　若一个数（大于1）只有1和它本身两个因数→质数； ②　若有3个及以上因数→合数。 (2)试除法（适用于较大数）： ①　用小于该数的质数依次去除，若能被其中一个质数整除（除本身外），则为合数；若不能，则为质数。 ②　试除范围：只需试除到该数的平方根（若平方根为整数，直接判断为合数）。 2. 质数与合数和其他概念的关联 (1)与奇数、偶数的关系： ①　偶质数：只有2（所有其他偶数均为合数，因能被2整除）； ②　奇质数：除2外的所有质数（如3、5、7等）； ③　奇合数：奇数中的合数（如9、15、21等）。 (2)与倍数、因数的关系： ①　质数的倍数（除本身外）均为合数（如3的倍数6、9、12等均为合数）； ②　合数可表示为多个质数的乘积（为分解质因数奠定基础）。 3. 质数与合数的实际意义 (1)质数在密码学、编码等领域有重要应用（如RSA加密算法基于大质数分解的难度）； (2)合数可通过分解质因数转化为质数的乘积，简化数学问题。 考点三、分解质因数 1. 相关概念 (1)质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是该数的质因数（如12的质因数有2、3）。 (2)分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如12=2×2×3）。 2. 分解质因数的方法 (1)短除法： ①　步骤：用最小的质数（从2开始）去除合数，若能整除，继续用该质数除商，直到商为质数；若不能整除，换较大的质数继续除，直至商为质数；最后将所有除数和商相乘。 ②　示例：分解36→用2除36得18，再用2除18得9，用3除9得3（质数），则36=2×2×3×3。 (2)塔式分解法（树枝法）： ①　步骤：将合数写在顶部，分解为两个因数的乘积，若因数为合数继续分解，直至所有因数均为质数，最后将所有质数相乘。 ②　示例：分解48→48=6×8→6=2×3，8=2×2×2，故48=2×2×2×2×3。 3. 分解质因数的注意事项 (1)分解结果中，质因数需按从小到大的顺序排列（如18=2×3×3，而非3×2×3）； (2)1不能作为质因数（1不是质数）； (3)分解质因数只针对合数，质数不能分解（本身就是质因数）。 例题讲解 题型一、质数与合数的认识 【例题1】在35，47，59，417中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 47、59 35、417 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。列乘法算式找出35，47，59，417的因数个数，据此判断。 【详解】根据分析： 35＝1×35＝5×7，所以35的因数有1、5、7、35，是合数； 47＝1×47，所以47的因数有1和47，是质数； 59＝1×59，所以59的因数有1和59，是质数； 417＝1×417＝3×139，所以417的因数有1、3、139、417，是合数。 在35，47，59，417中，质数有47、59，合数有35、417。 【练习1】在11至20自然数中，最小的质数是( )，最大的合数是( )；既是奇数又是合数的数有( )。 【答案】 11 20 15 【分析】根据质数是只有1和它本身两个因数，合数是除了1和它本身还有其它因数，奇数是不能被2整除的数。由此可知在11至20自然数中，11、13、15、17、19是奇数；11、13、17、19是质数；12、14、15、16、18、20是合数，由此即可填空。 【详解】在11至20自然数中，最小的质数是11，最大的合数是20；既是奇数又是合数的数有15。 题型二、质数与合数的综合应用 【例题2】生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【答案】17904 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数。 【详解】1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最大的一位数是9；最小的偶数是0；最小的合数是4，这个五位数是17904。 【练习2】一个长方形的周长为50厘米，且长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少？ 【答案】46平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，已知周长为50厘米，可得出：长＋宽＝50÷2＝25（厘米）。质数定义：只有1和它本身两个因数的自然数（1不是质数）。25是奇数，根据“奇数＝奇数＋偶数”，而质数中唯一的偶数是2，因此另一个数必然是25－2＝23，且23也是质数。除了2和23的组合，其他质数均为奇数，两个奇数相加为偶数，无法得到25，因此唯一符合条件的长和宽是23和2。根据长方形面积公式面积＝长×宽，代入长23厘米、宽2厘米，可求出长方形的面积。据此解答。 【详解】长＋宽：50÷2＝25（厘米） 找质数组合：25＝2＋23（2和23都是质数） 长方形面积：23×2＝46（平方厘米） 答：这个长方形的面积是46平方厘米。 题型三、分解质因数 【例题3】在括号里填不同的质数。 20＝( )＋( )         70＝( )×( )×( ) 【答案】 7 13 2 5 7 【分析】根据质数的定义，一个数如果只有1和它本身两个因数，就是质数。对于20，需要找到两个不同的质数相加等于20；对于70，需要分解为三个不同质数的乘积。小于20的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。尝试不同的质数组合进行计算并找到符合条件的即可：将70分解质因数：70＝2×35＝2×5×7，2、5、7均为质数且不同，符合题意。 【详解】7＋13＝20 13＋7＝20   因此，20可以表示为7＋13或3＋17，答案不唯一，符合题意即可。 70＝2×5×7 ，答案不唯一，符合题意即可。 【练习3】把下面各数分解质因数。 56     75     117 【答案】56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 【详解】 56＝2×2×2×7；75＝3×5×5；117＝3×3×13 专项训练 练习一、质数与合数的认识 1．下面各数中，是质数的是（    ）。 A．2 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。据此判断每个选项。 【详解】根据分析： A．2的因数只有1、2，所以是质数，该选项符合； B．6的因数有1、2、3、6，是合数，该选项不符合； C．9的因数有1、3、9，是合数，该选项不符合； D．10的因数有1、2、5、10，是合数，该选项不符合； 是质数的是2。 故答案为：A 2．下列诗句中，所含数字都是合数的诗句是（    ）。 A．可怜九月初三夜，露似真珠月似弓。 B．两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天 C．毕竟西湖六月中，风光不与四时同。 D．绿阴不减来时路，添得黄鹂四五声。 【答案】C 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数。只有1和它本身两个因数的数，这样的数叫做质数。1既不是质数也不是合数。 【详解】A．诗句中的数字是9和3，9是合数，3是质数，并非都是合数。 B．诗句中的数字是2和1，2是质数，1既不是质数也不是合数，并非都是合数。 C．诗句中的数字是6和4，6和4都是合数，符合题目要求。 D．诗句中的数字是4和5，4是合数，5是质数，并非都是合数。 故答案为：C 3．两个不同质数的积一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 【答案】A 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】两个不同的质数相乘，积的因数除了1和它本身，还有这两个质数，积一定是合数。 故答案为：A 4．30的全部因数中是偶数的有( )个，是质数的有( )个，是合数的有( )个。 【答案】 4 3 4 【分析】解答这道题需明确：个位上是0、2、4、6、8的数叫偶数；一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数；一个数除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫合数。这道题的关键是写出30的所有因数，再在这些因数中找出偶数、质数和合数。据此解答。 【详解】根据分析： 30＝1×30，30＝2×15，30＝3×10，30＝5×6。 则：30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 所以，30的全部因数中， 是偶数的有2、6、10、30，共4个； 是质数的有2、3、5，共3个； 是合数的有6、10、15、30，共4个。 综上，30的全部因数中是偶数的有4个，是质数的有3个，是合数的有4个。 5．两位数1□，当它是质数时，□里最小填( )。 【答案】1 【分析】首先明确质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，不再有其他因数的数。本题中两位数的十位固定为1，个位需从0开始依次尝试，判断组成的两位数是否为质数，从而找到最小的符合条件的数字。    【详解】1. 当□填0时，数为10，因数有1、2、5、10，不是质数； 2. 当□填1时，数为11，因数只有1和11，是质数。 故两位数1□，当它是质数时，□里最小填1。 6．两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是( )和( )。 【答案】 8 9 【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有别的因数的数是合数，符合题意的两个不同合数的积是72的只有：8和9，据此解答即可。 【详解】8＝1×8＝2×4； 9＝1×9＝3×3； 8和9均为合数； 8×9＝72； 即两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是8和9。 练习二、质数与合数的综合应用 1．著名的“哥德巴赫猜想”有一个命题是：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。下面式子中体现这个猜想的是（    ）。 A．18＝17＋1 B．8＝2＋6 C．20＝3＋17 D．6＝2＋4 【答案】C 【分析】根据题意，每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和，偶数：能被2整除的数是偶数；奇数：不能被2整除的数是奇数；质数：只有1和它本身两个因数的数是质数；合数：除了1和它本身，没有其它因数的数是合数。据此即可判断。 【详解】A．1是奇数，但不是质数，所以它不是奇质数，不符合题意； B．2和6都是偶数不是奇数，同时6是合数，不是质数，不符合题意； C．3和17都是奇质数，符合题意； D．2和4都是偶数不是奇数，同时4是合数，不是质数，不符合题意。 故答案为：C 2．妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是( )。 【答案】7241 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】10以内最大的质数是7； 最小的质数是2； 最小的合数是4； 1既不是质数，也不是合数。 取件码是7241。 妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是7241。 3．陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝( )×( )＋( )；24＝( )＋( )×( )。 【答案】 3 5 3 2 2 11 【分析】首先要明确质数的定义（大于1的自然数，除了1和自身外无其他因数），枚举出质数如下：2、3、5、7、11、13等。 （1）找到三个质数a、b、c，使得18＝a×b＋c。 若c＝3，则a×b＝18－3＝15，而15＝3×5（3和5均为质数），满足定理，即18＝3×5＋3。 若c＝2，则a×b＝18－2＝16，16可拆为2×8（8不是质数）、4×4（4不是质数），均不满足。 若c＝5，则a×b＝18－5＝13，13是质数，只能拆为1×13（1不是质数），不满足。 （2）找到三个质数m、n、p，使得24＝m＋n×p。 若m＝2，则n×p＝24－2＝22，22＝2×11（2和11均为质数），满足定理，即24＝2＋2×11。 若m＝3，则n×p＝24－3＝21，21＝3×7（3和7均为质数），满足定理，即24＝3＋3×7。 若m＝5，则n×p＝24－5＝19，19是质数，拆为1×19（1不是质数），不满足。 【详解】根据分析可知： 陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝3×5＋3；24＝2＋2×11（或24＝3＋3×7）。 4．某快递站要将16个包裹分别派送至A、B两个小区，快递员分拣后发现A区包裹数量比B区多，且A、B两个小区的包裹数量都是质数，那么派送至A区、B区的包裹数量分别是( )个和( )个。 【答案】 13 3 【分析】解答这道题的关键是明确：一个数只有1和它本身两个因数叫质数，一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数叫合数。1既不是质数也不是合数。可以将16分解成两个数的和，再判断两个数是不是质数，还需注意，A区包裹数量比B区多。用列表的方法解答。 【详解】 包裹数总数（个） A区（个） B区（个） 16 15 1 16 14 2 16 13 3 16 12 4 16 11 5 16 10 6 16 9 7 所以： 16＝15＋1，15是合数，1既不是质数，也不是合数，不符合。 16＝14＋2，14是合数，2是质数，不符合。 16＝13＋3，13是质数，3是质数，符合。 16＝12＋4，12是合数，4是合数，不符合。 16＝11＋5，11是质数，5是质数，符合。 16＝10＋6，10是合数，6是合数，不符合。 16＝9＋7，9是合数，7是质数，不符合。 所以，派送至A区、B区的包裹数量分别是13个和3个或11个和5个。（答案不唯一） 5．在下面的括号里填上合适的质数。 36＝( )＋( ) 65＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( ) 【答案】 5 31 5 13 2 5 13 【分析】大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数的数是质数，据此即可填空。 【详解】在填空时从最小的质数开始尝试即可： ①②：36－2＝34中34不是质数，36－3＝33中33不是质数，36－5＝31中31是质数，即可填空； ③④：65÷2＝32.5中32.5不是整数，65÷3≈21.67中21.67不是整数，65÷5＝13中13是质数，即可填空； ⑤⑥⑦：20＝2＋18＝2＋3＋15则15不是质数，20＝2＋5＋13中13是质数，即可填空。 6．下面是利民小学五年级三个社团的人数。 社团 美术 合唱 舞蹈 人数 47 48 49 哪个社团可以分成人数相等的小组（至少分成2组，每个小组至少2人）？为什么？ 【答案】合唱社团和舞蹈社团；48和49是合数 【分析】根据质数和合数的特点，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，如果社团人数是质数，因数只有1和它本身，不可以平均分成人数相同的小组；如果社团人数是合数，则可平均分成人数相同的小组。据此解答即可。 【详解】班级人数是质数的是47，班级人数是合数的有48、49。 答：合唱社团和舞蹈社团可以平均分成人数相同的小组，因为48和49是合数。 7．一个密码是六位数字，从左往右依次是：①第一位数字是最小的合数；②第二位数字是比3大，比7小的奇数；③第三位数字既是质数，又是偶数；④第四位数字是10以内最大的质数；⑤第五位数字既是奇数，又是合数；⑥第六位数字既不是质数，也不是合数，更不是0。这个密码是多少？ 【答案】452791 【分析】除了1和本身之外，还有其它因数的数是合数。最小的合数是4； 不能被2整除的数是奇数。比3大，比7小的数有4、5、6，其中奇数是5； 是2的倍数的数是偶数。只有1和本身两个因数的数是质数。既是质数又是偶数的数只有2； 10以内的质数有2、3、5、7，其中最大的质数是7； 既是奇数又是合数的一位数是9； 既不是质数也不是合数，更不是0，这个数字是1。据此解答。 【详解】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。最小的合数是4，所以第一位数字是4。 比3大，比7小的数有4、5、6，其中奇数是5，所以第二位数字是5。 既是质数又是偶数的数只有2，所以第三位数字是2。 10以内的质数有2、3、5、7，最大的质数是7，所以第四位数字是7。 既是奇数又是合数的一位数是9，所以第五位数字是9。 1既不是质数也不是合数，更不是0，所以第六位数字是1。 综上，这个密码是452791。 答：这个密码是452791。 8．王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜，它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 【答案】221平方米 【分析】一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将60÷2＝30米，即求出了长与宽的和是30；再将30分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的面积，比较即可。 【详解】60÷2＝30（米） 和为30的质数对有：7＋23、11＋19、13＋17。 7×23＝161（平方米） 11×19＝209（平方米） 13×17＝221（平方米） 221＞209＞161 答：这个长方形地的面积最大是221平方米。 【点睛】本题关键在于运用长方形周长公式推导出长与宽的和，再根据质数的定义筛选出所有符合条件的质数对，最后通过计算和比较面积的大小，找出面积最大的情况。 练习三、分解质因数 1．在括号里填上不同的质数。 21＝( )＋( )＋( )      30＝( )×( )×( ) 【答案】 3 7 11 2 3 5 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，先写出21以内的所有质数，再找出和为21的三个不同的质数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。 【详解】21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中3＋7＋11＝21，3＋5＋13＝21。 分析可知，21＝3＋7＋11（答案不唯一），30＝2×3×5。 2．一个三位数，百位是最小的奇数，十位是3的最大因数，个位是最小的质数，这个数是( )，分解质因数为( )。 【答案】 132 【分析】最小的奇数是1，一个数最大的因数是它本身，所以3的最大因数是3，最小的质数是2，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。据此进行解答。 【详解】由分析知，最小的奇数是1，3的最大因数是3，最小的质数是2，所以这个数是132； 分解质因数： 所以这个数是132，分解质因数为。 3．质数是自然数的“基石”，在密码学中至关重要。它的主要原理是“正向易，逆向难”的数学特性，例如：将几个质数相乘很容易，但将乘积分解回原质数却不容易。请写出78可以等于哪三个质数相乘：78＝______×______×______。 【答案】 2 3 13 【分析】质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数，即不能被其他自然数整除。要求78可以等于哪三个质数相乘，先用最小质数2试除，再分解商，最后判断商是否为质数，即可求解。 【详解】，2是最小的质数，符合题意，保留，作为第一个因数； ，3是质数，符合题意，保留，作为第二个因数； 13除了1和它本身没有其他因数，是质数，保留，作为第三个因数； 计算，与原数相等。 因此78＝2×3×13。 4．一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 【答案】120＝2×2×2×3×5 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，2是唯一的偶质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；最小的质数是2。 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数。 分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数，据此解答。 【详解】百位上的数是1，十位上的数是2，个位上的数是0；这个三位数是120； 所以这个数写成质数相乘的形式是120＝2×2×2×3×5 5．你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝( )×( )×( )。 【答案】 2 3 5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；分解质因数只针对合数，写成几个质数相乘的形式，实际运算时可采用逐步分解的方式。 质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此分析即可。 【详解】30＝6×5＝2×3×5 所以把30也分解质因数：30＝2×3×5。 6．把下面各数写成质数相乘的形式。（示例：12＝2×2×3） 65＝         92＝         38＝         70＝ 【答案】65＝5×13 92＝2×2×23 38＝ 2×19 70＝2×5×7 【分析】根据质数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。可以用短除法解决。 【详解】65＝5×13      92＝2×2×23 38＝ 2×19      70＝2×5×7                        7．把下面各数分解质因数。 78     33     58     46 【答案】78＝2×3×13；33＝3×11；58＝2×29；46＝2×23 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 78＝2×3×13 33＝3×11 58＝2×29 46＝2×23 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07：质数与合数（期中专项训练） 考点梳理 1 考点一、质数与合数的认识 1 考点二、质数与合数的综合应用 2 考点三、分解质因数 2 例题讲解 3 题型一、质数与合数的认识 3 题型二、质数与合数的综合应用 3 题型三、分解质因数 3 专项训练 4 练习一、质数与合数的认识 4 练习二、质数与合数的综合应用 4 练习三、分解质因数 6 考点梳理 考点一、质数与合数的认识 1. 质数与合数的定义 (1)质数（素数）：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数的数。 (2)合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，还有其他因数的数。 (3)特殊说明：1既不是质数也不是合数（因为1只有1个因数，不符合质数“两个因数”或合数“两个以上因数”的定义）。 2. 质数与合数的特征 (1)质数特征： ①　因数个数：只有2个（1和它本身）。 ②　最小质数：2（唯一的偶质数，其他质数均为奇数）。 ③　质数的奇偶性：除2外，所有质数都是奇数；奇数不一定是质数（如9、15等是奇数但为合数）。 (2)合数特征： (1)因数个数：至少有3个（1、本身及其他因数）。 (2)最小合数：4（因数为1、2、4）。 (3)合数的奇偶性：合数可能是奇数（如9、15），也可能是偶数（如4、6）。 3. 100以内的质数表（需熟记） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共25个）。 考点二、质数与合数的综合应用 1. 判断一个数是质数还是合数的方法 (1)根据因数个数判断： ①　若一个数（大于1）只有1和它本身两个因数→质数； ②　若有3个及以上因数→合数。 (2)试除法（适用于较大数）： ①　用小于该数的质数依次去除，若能被其中一个质数整除（除本身外），则为合数；若不能，则为质数。 ②　试除范围：只需试除到该数的平方根（若平方根为整数，直接判断为合数）。 2. 质数与合数和其他概念的关联 (1)与奇数、偶数的关系： ①　偶质数：只有2（所有其他偶数均为合数，因能被2整除）； ②　奇质数：除2外的所有质数（如3、5、7等）； ③　奇合数：奇数中的合数（如9、15、21等）。 (2)与倍数、因数的关系： ①　质数的倍数（除本身外）均为合数（如3的倍数6、9、12等均为合数）； ②　合数可表示为多个质数的乘积（为分解质因数奠定基础）。 3. 质数与合数的实际意义 (1)质数在密码学、编码等领域有重要应用（如RSA加密算法基于大质数分解的难度）； (2)合数可通过分解质因数转化为质数的乘积，简化数学问题。 考点三、分解质因数 1. 相关概念 (1)质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是该数的质因数（如12的质因数有2、3）。 (2)分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如12=2×2×3）。 2. 分解质因数的方法 (1)短除法： ①　步骤：用最小的质数（从2开始）去除合数，若能整除，继续用该质数除商，直到商为质数；若不能整除，换较大的质数继续除，直至商为质数；最后将所有除数和商相乘。 ②　示例：分解36→用2除36得18，再用2除18得9，用3除9得3（质数），则36=2×2×3×3。 (2)塔式分解法（树枝法）： ①　步骤：将合数写在顶部，分解为两个因数的乘积，若因数为合数继续分解，直至所有因数均为质数，最后将所有质数相乘。 ②　示例：分解48→48=6×8→6=2×3，8=2×2×2，故48=2×2×2×2×3。 3. 分解质因数的注意事项 (1)分解结果中，质因数需按从小到大的顺序排列（如18=2×3×3，而非3×2×3）； (2)1不能作为质因数（1不是质数）； (3)分解质因数只针对合数，质数不能分解（本身就是质因数）。 例题讲解 题型一、质数与合数的认识 【例题1】在35，47，59，417中，质数有( )，合数有( )。 【练习1】在11至20自然数中，最小的质数是( )，最大的合数是( )；既是奇数又是合数的数有( )。 题型二、质数与合数的综合应用 【例题2】生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【练习2】一个长方形的周长为50厘米，且长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少？ 题型三、分解质因数 【例题3】在括号里填不同的质数。 20＝( )＋( )         70＝( )×( )×( ) 【练习3】把下面各数分解质因数。 56     75     117 专项训练 练习一、质数与合数的认识 1．下面各数中，是质数的是（    ）。 A．2 B．6 C．9 D．10 2．下列诗句中，所含数字都是合数的诗句是（    ）。 A．可怜九月初三夜，露似真珠月似弓。 B．两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天 C．毕竟西湖六月中，风光不与四时同。 D．绿阴不减来时路，添得黄鹂四五声。 3．两个不同质数的积一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 4．30的全部因数中是偶数的有( )个，是质数的有( )个，是合数的有( )个。 5．两位数1□，当它是质数时，□里最小填( )。 6．两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是( )和( )。 练习二、质数与合数的综合应用 1．著名的“哥德巴赫猜想”有一个命题是：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。下面式子中体现这个猜想的是（    ）。 A．18＝17＋1 B．8＝2＋6 C．20＝3＋17 D．6＝2＋4 2．妈妈收到了一条快递取件码短信，该取件码由四个数字组成。其中，第一个数字是10以内最大的质数；第二个数字是最小的质数；第三个数字是最小的合数；第四个数字既不是质数也不是合数。取件码是( )。 3．陈景润“1＋2”定理：1个偶数＝1个质数＋1个质数×1个质数，其中偶数必须足够大。请根据这个定理分一分下面的偶数。如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3；18＝( )×( )＋( )；24＝( )＋( )×( )。 4．某快递站要将16个包裹分别派送至A、B两个小区，快递员分拣后发现A区包裹数量比B区多，且A、B两个小区的包裹数量都是质数，那么派送至A区、B区的包裹数量分别是( )个和( )个。 5．在下面的括号里填上合适的质数。 36＝( )＋( ) 65＝( )×( ) 20＝( )＋( )＋( ) 6．下面是利民小学五年级三个社团的人数。 社团 美术 合唱 舞蹈 人数 47 48 49 哪个社团可以分成人数相等的小组（至少分成2组，每个小组至少2人）？为什么？ 7．一个密码是六位数字，从左往右依次是：①第一位数字是最小的合数；②第二位数字是比3大，比7小的奇数；③第三位数字既是质数，又是偶数；④第四位数字是10以内最大的质数；⑤第五位数字既是奇数，又是合数；⑥第六位数字既不是质数，也不是合数，更不是0。这个密码是多少？ 8．王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜，它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 练习三、分解质因数 1．在括号里填上不同的质数。 21＝( )＋( )＋( )      30＝( )×( )×( ) 2．一个三位数，百位是最小的奇数，十位是3的最大因数，个位是最小的质数，这个数是( )，分解质因数为( )。 3．质数是自然数的“基石”，在密码学中至关重要。它的主要原理是“正向易，逆向难”的数学特性，例如：将几个质数相乘很容易，但将乘积分解回原质数却不容易。请写出78可以等于哪三个质数相乘：78＝______×______×______。 4．一个三位数，百位上的数既不是质数、也不是合数，十位上的数既是偶数、又是质数，这个三位数同时又是2和5的倍数，把这个数写成质数相乘的形式是( )。 5．你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝( )×( )×( )。 6．把下面各数写成质数相乘的形式。（示例：12＝2×2×3） 65＝         92＝         38＝         70＝ 7．把下面各数分解质因数。 78     33     58     46 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $