专题08：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数（期中专项训练）五年级数学下学期（苏教版）

专题08：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 考点梳理 1 考点一、公因数与最大公因数 1 考点二、公倍数与最小公倍数 2 考点三、用最大公因数解决实际问题 2 考点四、用最小公倍数解决实际问题 3 例题讲解 3 题型一、最大公因数与最小公倍数 3 题型二、用最大公因数解决实际问题 3 题型三、用最小公倍数解决实际问题 4 专项训练 4 练习一、最大公因数与最小公倍数 4 练习二、用最大公因数解决实际问题 5 练习三、用最小公倍数解决实际问题 6 考点梳理 考点一、公因数与最大公因数 1.概念 (1)公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，12和18的公因数是1、2、3、6。 (2)最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。如12和18的最大公因数是6。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法：分别列出两个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的即为最大公因数。 (2)分解质因数法：将两个数分别分解成质因数相乘的形式，公有质因数的乘积就是最大公因数。例如，求12和18的最大公因数：12=2×2×3，18=2×3×3，公有质因数为2和3，最大公因数=2×3=6。 (3)短除法：用两个数公有的质因数作除数，连续去除这两个数，直到除得的商是互质数为止，所有除数的乘积就是最大公因数。 3.特殊情况 (1)当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。例如，15和30，15是30的因数，最大公因数是15。 (2)当两个数是互质数（公因数只有1的两个数）时，最大公因数是1。例如，7和11，最大公因数是1。 考点二、公倍数与最小公倍数 1.概念 (1)公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。例如，4的倍数有4、8、12、16、20、24…，6的倍数有6、12、18、24、30…，4和6的公倍数是12、24、36…。 (2)最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如4和6的最小公倍数是12。 2.求最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出两个数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的即为最小公倍数。 (2)分解质因数法：将两个数分解成质因数相乘的形式，公有质因数与各自独有质因数的乘积就是最小公倍数。例如，求4和6的最小公倍数：4=2×2，6=2×3，公有质因数为2，独有质因数为2（4的）和3（6的），最小公倍数=2×2×3=12。 (3)短除法：用两个数公有的质因数作除数，连续去除这两个数，直到除得的商是互质数为止，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。 3.特殊情况 (1)当两个数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数。例如，15和30，最小公倍数是30。 (2)当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积。例如，7和11，最小公倍数=7×11=77。 考点三、用最大公因数解决实际问题 （一）适用场景 主要用于解决“将一个整体按一定要求分成若干部分，求每部分的最大长度、数量或边长”等问题，核心是找到多个数的最大公因数，确保分完后无剩余且每部分尽可能大。 （二）解题步骤 1.明确问题类型：判断是否需要将物体“平均分”“裁剪成相同部分”“分成若干小组且每组人数相同”等，确定与“最大公因数”相关。 2.提取关键数据：找出题目中涉及的两个或多个数（如长度、数量等）。 3.求最大公因数：用列举法、分解质因数法或短除法求出这些数的最大公因数。 4.解决问题：根据最大公因数的结果，回答具体问题（如每部分的长度、数量等）。 考点四、用最小公倍数解决实际问题 （一）适用场景 主要用于解决“多个事件再次同时发生的时间”“用相同规格的物品铺满平面（如地砖）”“不同周期的事件重合”等问题，核心是找到多个数的最小公倍数，确保满足“同时”“刚好铺满”等条件。 （二）解题步骤 1.明确问题类型：判断是否涉及“再次同时发生”“刚好无剩余铺满”“共同的时间点”等，确定与“最小公倍数”相关。 2.提取关键数据：找出题目中涉及的两个或多个数（如时间间隔、物品尺寸等）。 3.求最小公倍数：用列举法、分解质因数法或短除法求出这些数的最小公倍数。 4.解决问题：根据最小公倍数的结果，回答具体问题（如再次同时发生的时间、地砖的边长等）。 例题讲解 题型一、最大公因数与最小公倍数 【例题1】6和10的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【练习1】求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 28和14     18和27       15和20         13和7 题型二、用最大公因数解决实际问题 【例题2】一张长48厘米、宽32厘米的长方形纸板，把它剪成边长相等的小正方形且没有剩余，正方形边长最长可以是( )厘米。 【练习2】将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 题型三、用最小公倍数解决实际问题 【例题3】学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【练习3】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 专项训练 练习一、最大公因数与最小公倍数 1．14和7的最大公因数是（    ）。 A．1 B．2 C．7 D．14 2．算式4×7＝28，下面说法正确的是（    ）。 A．4是因数 B．4和7的最小公倍数是28 C．4是28的倍数 D．4和7的最大公因数是7 3．若a÷b＝11，（a和b都是不为零的整数），则a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．11 D．ab 4．如果a÷b＝7（a、b是非0自然数），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．0 5．12和18的最大公因数是( )，10和30的最小公倍数是( )。 6．如果a＝2×3，b＝2×2×3×3，a的因数有( )，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7．一个数的最大因数是8，另一个数的最小倍数是6。这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 8．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60        54和72          27和72           44和77 练习二、用最大公因数解决实际问题 1．有一批鲜花订单，它需要把24枝百合花和32枝月季花，扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余。最多可以扎成( )束，每束里有( )枝月季花。 2．某非遗工坊要为文创广场铺设“青花瓷纹样”正方形地砖（边长是整分米数），场地长、宽、选用地砖的边长最大是( )。 3．有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 4．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 5．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 6．动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 7．王老师买了32支笔和24本笔记本，平均奖励给班里的“三好学生”，刚好全部奖完。王老师班里最多有多少名“三好学生”？每人奖励几支笔和几本笔记本？ 8．为了筹备艺术节活动，手工社团购买了一批长40厘米，宽24厘米的长方形卡纸（如图）。 （1）如果裁剪成同样大小的正方形卡片，且没有剩余。正方形卡片的边长最长是多少厘米？能裁剪成多少张这样的正方形卡片？ （2）如果用这种长方形卡纸拼一个稍大的正方形造型（如图），至少需要多少张这样的长方形卡纸？ 练习三、用最小公倍数解决实际问题 1．《孙子算经》中有这样一道题：今有三女，长女五日一归（“五日一归”即每5日回来一次），中女4日一归，小女三日一归。问：三女何日相会？三个女儿同一天离家后，至少再过( )天才能在家相遇。 2．在校运动会开幕式中，五（1）班学生进行队列表演（40~50人），如果每行12人或每行16人都正好排完，这个班的学生共有( )人。 3．公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 4．一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 5．靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 6．南丰蜜橘是江西省的特产，因营养丰富而享誉古今中外。一堆南丰蜜橘，3个3个地数或5个5个地数，都能正好数完。这堆蜜橘至少有多少个？ 7．适量补钙可以预防骨质疏松，有益骨骼健康。某制药厂新研制了一款补钙软胶囊并首批投入生产。用纸箱包装时，如果10盒装一箱、12盒装一箱或是15盒装一箱，都正好包装完。这个制药厂首批生产的补钙软胶囊至少有多少盒？ 8．学校计划制作一种长15厘米，宽10厘米的校园明信片，制作材料用正方形卡纸裁剪而成。 （1）采购下面哪种规格的正方形卡纸最合适？请说明理由。（制作时材料没有剩余） （2）李老师采购了80张②号卡纸，可制作多少张这种明信片？ 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 考点梳理 1 考点一、公因数与最大公因数 1 考点二、公倍数与最小公倍数 2 考点三、用最大公因数解决实际问题 2 考点四、用最小公倍数解决实际问题 3 例题讲解 3 题型一、最大公因数与最小公倍数 3 题型二、用最大公因数解决实际问题 4 题型三、用最小公倍数解决实际问题 5 专项训练 6 练习一、最大公因数与最小公倍数 6 练习二、用最大公因数解决实际问题 10 练习三、用最小公倍数解决实际问题 14 考点梳理 考点一、公因数与最大公因数 1.概念 (1)公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，12和18的公因数是1、2、3、6。 (2)最大公因数：公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。如12和18的最大公因数是6。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法：分别列出两个数的所有因数，找出公有的因数，其中最大的即为最大公因数。 (2)分解质因数法：将两个数分别分解成质因数相乘的形式，公有质因数的乘积就是最大公因数。例如，求12和18的最大公因数：12=2×2×3，18=2×3×3，公有质因数为2和3，最大公因数=2×3=6。 (3)短除法：用两个数公有的质因数作除数，连续去除这两个数，直到除得的商是互质数为止，所有除数的乘积就是最大公因数。 3.特殊情况 (1)当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数。例如，15和30，15是30的因数，最大公因数是15。 (2)当两个数是互质数（公因数只有1的两个数）时，最大公因数是1。例如，7和11，最大公因数是1。 考点二、公倍数与最小公倍数 1.概念 (1)公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。例如，4的倍数有4、8、12、16、20、24…，6的倍数有6、12、18、24、30…，4和6的公倍数是12、24、36…。 (2)最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如4和6的最小公倍数是12。 2.求最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出两个数的倍数，找出公有的倍数，其中最小的即为最小公倍数。 (2)分解质因数法：将两个数分解成质因数相乘的形式，公有质因数与各自独有质因数的乘积就是最小公倍数。例如，求4和6的最小公倍数：4=2×2，6=2×3，公有质因数为2，独有质因数为2（4的）和3（6的），最小公倍数=2×2×3=12。 (3)短除法：用两个数公有的质因数作除数，连续去除这两个数，直到除得的商是互质数为止，所有除数和商的乘积就是最小公倍数。 3.特殊情况 (1)当两个数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数。例如，15和30，最小公倍数是30。 (2)当两个数是互质数时，最小公倍数是它们的乘积。例如，7和11，最小公倍数=7×11=77。 考点三、用最大公因数解决实际问题 （一）适用场景 主要用于解决“将一个整体按一定要求分成若干部分，求每部分的最大长度、数量或边长”等问题，核心是找到多个数的最大公因数，确保分完后无剩余且每部分尽可能大。 （二）解题步骤 1.明确问题类型：判断是否需要将物体“平均分”“裁剪成相同部分”“分成若干小组且每组人数相同”等，确定与“最大公因数”相关。 2.提取关键数据：找出题目中涉及的两个或多个数（如长度、数量等）。 3.求最大公因数：用列举法、分解质因数法或短除法求出这些数的最大公因数。 4.解决问题：根据最大公因数的结果，回答具体问题（如每部分的长度、数量等）。 考点四、用最小公倍数解决实际问题 （一）适用场景 主要用于解决“多个事件再次同时发生的时间”“用相同规格的物品铺满平面（如地砖）”“不同周期的事件重合”等问题，核心是找到多个数的最小公倍数，确保满足“同时”“刚好铺满”等条件。 （二）解题步骤 1.明确问题类型：判断是否涉及“再次同时发生”“刚好无剩余铺满”“共同的时间点”等，确定与“最小公倍数”相关。 2.提取关键数据：找出题目中涉及的两个或多个数（如时间间隔、物品尺寸等）。 3.求最小公倍数：用列举法、分解质因数法或短除法求出这些数的最小公倍数。 4.解决问题：根据最小公倍数的结果，回答具体问题（如再次同时发生的时间、地砖的边长等）。 例题讲解 题型一、最大公因数与最小公倍数 【例题1】6和10的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 30 2 【分析】最大公因数：几个数公有的因数中，最大的那个因数，叫这几个数的最大公因数。 最小公倍数：几个数公有的倍数中，最小的那个倍数，叫这几个数的最小公倍数。 短除法：是求两个数（或多个数）的最大公因数和最小公倍数的简便方法。计算时，先用这几个数的公因数去除，除到所得的商只有公因数1（互质）为止，再根据需求计算最大公因数或最小公倍数。 短除法计算规则： 求两个数的最大公因数：所有除数相乘的积，就是这两个数的最大公因数。 求两个数的最小公倍数：所有除数和最后所有商相乘的积，就是这两个数的最小公倍数。 【详解】 6和10的最小公倍数：2×3×5 ＝6×5 ＝30 6和10的最大公因数：2 因此，6和10的最小公倍数是30，最大公因数是2。 【练习1】求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 28和14     18和27       15和20         13和7 【答案】14，28；9，54；5，60；1，91 【分析】本题可以用分解质因数法求解每组数的最大公因数和最小公倍数，最大公因数是公有的质因数相乘，最小公倍数是公有的质因数乘各自独有的质因数。当两个数互质时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数相乘。 28和14分解质因数：28＝2×2×7，14＝2×7。 18和27分解质因数：18＝2×3×3，27＝3×3×3。 15和20分解质因数：15＝3×5，20＝2×2×5。 13和7：13是质数，质因数是自身，7是质数，质因数是自身。 【详解】28和14：28＝2×2×7，14＝2×7，最大公因数：2×7＝14，最小公倍数：2×7×2＝28。 18和27：18＝2×3×3，27＝3×3×3，最大公因数：3×3＝9，最小公倍数：3×3×2×3＝54。 15和20：15＝3×5，20＝2×2×5，最大公因数：5，最小公倍数：5×3×2×2＝60。 13和7：13和7互质，最大公因数是1，最小公倍数：13×7＝91。 28和14最大公因数是14，最小公倍数是28。 18和27最大公因数是9，最小公倍数是54。 15和20最大公因数是5，最小公倍数是60。 13和7最大公因数是1，最小公倍数是91。 题型二、用最大公因数解决实际问题 【例题2】一张长48厘米、宽32厘米的长方形纸板，把它剪成边长相等的小正方形且没有剩余，正方形边长最长可以是( )厘米。 【答案】16 【分析】把长方形纸板剪成边长相等且无剩余的小正方形，边长最长是长方形长和宽的最大公因数；求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数。据此解答。 【详解】48＝2×2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 48和32公有的质因数为4个2，它们的最大公因数是2×2×2×2＝16。 正方形边长最长可以是16厘米。 【练习2】将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 【答案】6个 【分析】要将饼干和苹果平均分给小朋友，且没有剩余，小朋友的人数必须是24和42的公因数。每个小朋友都要分到饼干和苹果，这要求小朋友的人数不能超过24和42的最小值，但由于公因数对应的分得数量均为整数且大于等于1，因此所有公因数均满足条件。要求最多的小朋友人数，即求24和42的最大公因数，即可解答。 【详解】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 24和42的公因数有：1、2、3、6。 最大公因数是6。 答：最多能分给6个小朋友。 题型三、用最小公倍数解决实际问题 【例题3】学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【分析】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【详解】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 【练习3】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【答案】72人 【分析】根据题意，不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排，说明总人数必须是8和9的公倍数。要求至少有多少人在观看“天宫课堂”，即求8和9的最小公倍数。可以用枚举法求8和9的最小公倍数。 【详解】8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72…… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81…… 8和9的最小公倍数是72。 答：至少有72人在观看“天宫课堂”。 专项训练 练习一、最大公因数与最小公倍数 1．14和7的最大公因数是（    ）。 A．1 B．2 C．7 D．14 【答案】C 【分析】存在倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数。据此解答。 【详解】14是7的倍数，14＞7，所以14和7的最大公因数是7。 故答案为：C 2．算式4×7＝28，下面说法正确的是（    ）。 A．4是因数 B．4和7的最小公倍数是28 C．4是28的倍数 D．4和7的最大公因数是7 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 公因数是一个能被若干个整数同时整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】A．由4×7＝28可知，4和7是28的因数，因数不是独立存在的，原说法错误； B．由4×7＝28可知，4和7的最小公倍数为28，原说法正确； C．由4×7＝28可知，28是4的倍数，原说法错误； D．由4×7＝28可知，4和7的最大公因数是1，原说法错误。 故答案为：B 3．若a÷b＝11，（a和b都是不为零的整数），则a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．11 D．ab 【答案】B 【分析】已知a÷b＝11（a和b都是不为零的整数），根据除法的意义，这表明a是b的11倍，即a和b是倍数关系。a是 b的倍数，b是 a的因数，同时 b也是 b本身的因数。因此当两个数为倍数关系时，最大公因数是较小的数。据此回答。 【详解】因为a是b的11倍，所以b是较小的数，那么a和b的最大公因数是b。 故答案为：B 4．如果a÷b＝7（a、b是非0自然数），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．0 【答案】A 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。如果两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。 因为a÷b＝7（a、b是非0自然数），所以a＝7×b即a是b的倍数，且a＞b，所以a和b的最小公倍数是a。 【详解】根据分析： 如果a÷b＝7（a、b是非0自然数），那么a和b的最小公倍数是a。 故答案为：A 5．12和18的最大公因数是( )，10和30的最小公倍数是( )。 【答案】 6 30 【分析】最大公因数是指两个数公共因数中最大的一个；最小公倍数是指两个数公共倍数中最小的一个。当两个数成倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数。 对于12和18，通过列举因数或短除法可找到最大公因数；对于10和30，由于30是10的倍数，最小公倍数就是较大数30。 【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12 18的因数有：1、2、3、6、9、18 12和18的公因数有：1、2、3、6 12和18的最大公因数是6 30是10的倍数，所以10和30的最小公倍数是30。 因此，12和18的最大公因数是6，10和30的最小公倍数是30。 6．如果a＝2×3，b＝2×2×3×3，a的因数有( )，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1、2、3、6 6 36 【分析】，，，由此得出6的所有因数，倍数关系的两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此得出答案。 【详解】， 因为，所以6的因数是：1、2、3、6 36是6的倍数，所以6和36的最大公因数是6，最小公倍数是36。 a的因数有1、2、3、6，a和b的最大公因数是6，最小公倍数是36。 7．一个数的最大因数是8，另一个数的最小倍数是6。这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 2 24 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，则这两个数分别是8和6，把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数，最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】分析可知，这两个数分别是8和6。 最大公因数：2 最小公倍数：2×4×3＝24 所以，这两个数的最大公因数是2，最小公倍数是24。 8．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60        54和72          27和72           44和77 【答案】36和60：最大公因数12，最小公倍数180；54和72：最大公因数18，最小公倍数216；27和72：最大公因数9，最小公倍数216；44和77：最大公因数11，最小公倍数308 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，可使用分解质因数法。先把每个数分解成若干个质数相乘的形式，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积；最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 36和60，分解质因数：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5。公有的质因数为2、2、3，36独有的质因数是3，60独有的质因数是5。 54和72，分解质因数：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3。公有的质因数为2、3、3，54独有的质因数是3，72独有的质因数是2、2。 27和72，分解质因数：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3。公有的质因数为3、3，27独有的质因数是3，72独有的质因数是2、2、2。 44和77，分解质因数：44＝2×2×11，77＝7×11。公有的质因数为11，44独有的质因数是2、2，77独有的质因数是7。 【详解】36和60：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×3×5＝180 54和72：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：2×3×3＝18 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 27和72：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：3×3＝9 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 44和77：44＝2×2×11，77＝7×11 最大公因数：11 最小公倍数：2×2×7×11＝308 36和60最大公因数12，最小公倍数180。 54和72最大公因数18，最小公倍数216。 27和72最大公因数9，最小公倍数216。 44和77最大公因数11，最小公倍数308。 练习二、用最大公因数解决实际问题 1．有一批鲜花订单，它需要把24枝百合花和32枝月季花，扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余。最多可以扎成( )束，每束里有( )枝月季花。 【答案】 8 4 【分析】将花扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余，则最多扎成的数量即为百合花的枝数和月季花枝数的最大公因数，用月季花的总枝数32枝除以最多扎成束数即可求出每束里有几枝月季花。 【详解】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 则24与32的最大公因数为2×2×2＝8； 32÷8＝4（枝） 即最多可以扎成8束，每束里有4枝月季花。 2．某非遗工坊要为文创广场铺设“青花瓷纹样”正方形地砖（边长是整分米数），场地长、宽、选用地砖的边长最大是( )。 【答案】6 【分析】要求正方形地砖边长是整分米数，且能正好铺满长42dm、宽30dm的场地，地砖的最大边长就是42和30的最大公因数。用分解质因数法找出42和30的公有质因数，再将公有质因数相乘，求出最大公因数。 【详解】42＝2×3×7 30＝2×3×5 因此42和30的最大公因数是2×3＝6， 所以选用地砖的边长最大是6dm。 3．有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【答案】 6米 【分析】公因数是一个能被若干个整数同时整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。可用短除法求最大公因数（短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。） 要求36米和30米能剪成同样长的短绳且最长，就是求36和30的最大公因数，用短除法求解即可。 【详解】 2×3＝6（米） 答：每根短绳最长6米。 4．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【答案】12个 【分析】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 5．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【分析】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【详解】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 6．动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【分析】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【详解】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【点睛】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 7．王老师买了32支笔和24本笔记本，平均奖励给班里的“三好学生”，刚好全部奖完。王老师班里最多有多少名“三好学生”？每人奖励几支笔和几本笔记本？ 【答案】8名；4支；3本 【分析】求出笔和笔记本数量的最大公因数，就是最多有多少名“三好学生”。再用笔和笔记本的总数分别除以人数，就是每人奖励几支笔和几本笔记本。 【详解】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 2×2×2＝8（名） 32÷8＝4（支） 24÷8＝3（本） 答：最多有8名“三好学生”。每人奖励4支笔和3本笔记本。 8．为了筹备艺术节活动，手工社团购买了一批长40厘米，宽24厘米的长方形卡纸（如图）。 （1）如果裁剪成同样大小的正方形卡片，且没有剩余。正方形卡片的边长最长是多少厘米？能裁剪成多少张这样的正方形卡片？ （2）如果用这种长方形卡纸拼一个稍大的正方形造型（如图），至少需要多少张这样的长方形卡纸？ 【答案】（1）8厘米；15张 （2）15张 【分析】（1）要裁剪成同样大小且无剩余的正方形卡片，正方形的边长应是40和24的最大公因数。利用分解质因数法计算，对40和24分解质因数：40＝2×2×2×5，24＝2×2×2×3。所以40和24的最大公因数是2×2×2＝8，即正方形卡片的边长最长是8厘米。长方形卡纸的长边可以剪40÷8＝5（张），宽边可以剪24÷8＝3（张）。总共能裁剪的数量是5×3＝15（张）。 （2）要拼一个稍大的正方形，正方形的边长应是40和24的最小公倍数。利用分解质因数法计算，40＝2×2×2×5，24＝2×2×2×3，所以40和24的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。则大正方形的边长为120厘米。长需要120÷40＝3（张），宽需要120÷24＝5（张）。总共需要3×5＝15（张）。 【详解】（1）40＝2×2×2×5 24＝2×2×2×3 2×2×2＝8（厘米） 40÷8＝5（张） 24÷8＝3（张） 5×3＝15（张） 答：正方形卡片的边长最长是8厘米，能裁剪成15张这样的正方形卡片。 （2）40＝2×2×2×5 24＝2×2×2×3 2×2×2×3×5＝120（厘米） 120÷40＝3（张） 120÷24＝5（张） 3×5＝15（张） 答：至少需要15张这样的长方形卡纸。 练习三、用最小公倍数解决实际问题 1．《孙子算经》中有这样一道题：今有三女，长女五日一归（“五日一归”即每5日回来一次），中女4日一归，小女三日一归。问：三女何日相会？三个女儿同一天离家后，至少再过( )天才能在家相遇。 【答案】60 【分析】根据题意，长女五日一归，中女4日一归，小女三日一归，三个女儿同一天离家后，要同时回到家的天数是5、4、3的公倍数；求出5、4、3的最小公倍数，就是她们至少再过几天才能在家相遇。 【详解】5、4、3的最小公倍数：5×4×3＝60 三个女儿同一天离家后，至少再过60天才能在家相遇。 2．在校运动会开幕式中，五（1）班学生进行队列表演（40~50人），如果每行12人或每行16人都正好排完，这个班的学生共有( )人。 【答案】48 【分析】由题意可知，每行12人或每行16人都正好排完，说明这个班的总人数既是12的倍数，也是16的倍数，用短除法求出12和16的最小公倍数，再找出40~50之间它们的公倍数，据此解答。 【详解】 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 48×2＝96，96＞50，不符合题意。 因为40＜48＜50，所以这个班的学生共有48人。 3．公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 【答案】30分钟 【分析】2路车每6分钟发车一次，那么2路车的发车间隔时间就是6的倍数；8路车每10分钟发车一次，那么8路车的发车间隔时间就是10的倍数；两辆车同时发车的间隔是6和10的公倍数，最少的间隔时间就是6和10的最小公倍数，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 6和10的最小公倍数是： 答：两车同时发车后至少再过30分钟又同时发车。 4．一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 【答案】91个 【分析】2个2个地拿剩1个，说明梨的个数是2的倍数多1；3个3个地拿剩1个，说明梨的个数是3的倍数多1；5个5个地拿剩1个，说明梨的个数是5的倍数多1；综合一起，梨的个数也就是2、3、5的公倍数多1，先算出2、3、5的最小公倍数，再找出100以内最大的公倍数，最后加1即可得到最多有多少个梨。 【详解】2、3、5的最小公倍数是：2×3×5 ＝6×5 ＝30 100以内，2、3、5的公倍数有：30，60，90，其中最大的是90。 90＋1＝91（个） 答：这筐梨最多有91个。 【点睛】这道题的关键是：从“2个、3个、5个拿都剩1个”，得出梨的数量是2、3、5的公倍数加1；先算出2、3、5的最小公倍数是30，再找100以内最大的公倍数90，最后加1得到最多有91个梨。 5．靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 【答案】24只 【分析】根据题意，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完，说明这群羊的总只数是6和8的公倍数；求至少养了多少只羊，就是求6和8的最小公倍数。 把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即至少养了24只羊。 答：小明家至少养了24只羊。 6．南丰蜜橘是江西省的特产，因营养丰富而享誉古今中外。一堆南丰蜜橘，3个3个地数或5个5个地数，都能正好数完。这堆蜜橘至少有多少个？ 【答案】15个 【分析】求最小公倍数的应用题，蜜橘“3个3个地数”“5个5个地数”都能正好数完，说明蜜橘总数是3和5的公倍数；要求“至少有多少个”，即求3和5的最小公倍数。 【详解】3和5是互质数（公因数只有1），因此它们的最小公倍数为两数的乘积：（个） 答：这堆蜜橘至少有15个。 7．适量补钙可以预防骨质疏松，有益骨骼健康。某制药厂新研制了一款补钙软胶囊并首批投入生产。用纸箱包装时，如果10盒装一箱、12盒装一箱或是15盒装一箱，都正好包装完。这个制药厂首批生产的补钙软胶囊至少有多少盒？ 【答案】60盒 【分析】根据题意，因为10盒、12盒或15盒装一箱都能正好包装完，说明总盒数是10、12和15的公倍数。求至少有多少盒，就是求10、12、15的最小公倍数，先列举出10、12、15的倍数，其中第一个相同的数就是它们的最小公倍数；据此解答。 【详解】10的倍数：10，20，30，40，50，60，70⋯⋯ 12的倍数：12，24，36，48，60，72⋯⋯ 15的倍数：15，30，45，60，75⋯⋯ 所以10、12、15的最小公倍数是60； 答：这个制药厂首批生产的补钙软胶囊至少有60盒。 8．学校计划制作一种长15厘米，宽10厘米的校园明信片，制作材料用正方形卡纸裁剪而成。 （1）采购下面哪种规格的正方形卡纸最合适？请说明理由。（制作时材料没有剩余） （2）李老师采购了80张②号卡纸，可制作多少张这种明信片？ 【答案】（1）②；理由见详解 （2）1920张 【分析】（1）要使制作材料没有剩余，正方形卡纸的边长应是明信片长15厘米和宽10厘米的公倍数。先对15和10分解质因数：15＝3×5，10＝2×5，所以15和10的最小公倍数是2×3×5＝30。因为1分米＝10厘米，所以30厘米为30÷10＝3分米。①号边长5分米（50厘米）、②号边长6分米（60厘米）、③号边长7分米（70厘米）。60是30的倍数，所以采购②号规格（边长6分米）的正方形卡纸最合适，这样能保证制作时材料没有剩余。 （2）②号卡纸边长为6分米，即60厘米。卡纸的长边可以剪60÷15＝4（张）。卡纸的宽边可以剪60÷10＝6（张）。一张②号卡纸可制作4×6＝24（张）明信片。采购了80张②号卡纸，可制作24×80＝1920（张）。 【详解】（1）15＝3×5 10＝2×5 2×3×5＝30（厘米） 1分米＝10厘米 30÷10＝3（分米） ②号边长6分米是3的倍数。 答：采购②号规格（边长6分米）的正方形卡纸最合适，这样能保证制作时材料没有剩余。 （2）6×10＝60（厘米） 60÷15＝4（张） 60÷10＝6（张） 4×6＝24（张） 24×80＝1920（张） 答：80张②号卡纸可制作1920张这种明信片。 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $