四川省成都石室中学2025-2026学年下学期高三二诊模拟测试数学试卷

成都石室中学2025-2026学年度下期高2026届二诊模拟测试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1号，N={y1y=x2-l,x∈M,则M∩N=( A.{-1,0,1 B.{-1,0 C.{0,1 D.{-1,1} 2.已知命题P:“x≥0，e≥cosx”,则p为() A.x≥0，e'<cosx B.x≥0，e'≥cosx C.x≥0，e*2cosx D.3x≥0，e'<cosx 3.已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,3),则向量AB在AC上的投影向量为( 26 A而i0 B.(2,6) C. 13 1010 D 4在3x2-” 的二项展开式中，所有二项式系数之和为64， 则展开式的项数是( A.7 B.8 C.9 D.10 5.若点(a,0)是函数y=3sin 的图象的一个对称中心，则sin2a的值为( A.2 B. C. D.- 2 6.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F 点T(1,0)在x轴上(1>0)，若对C上任意一点M,都有 |MT≥1成立，则t的取值范围为( B.(0,3] D.(0,6] 7.已知不重合的两个圆C,C2都过点(-1,2)，且均与两坐标轴相切，则圆C,C2的公共弦长为() A.1 B.√2 C.22 D.32 8.美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图，将火锅抽象为乙图的两个同轴圆柱，大、小圆柱的 半径分别为25cm与5cm,圆柱的高为30cm.汤料只放在两圆柱之间的汤锅中，将汤勺视为一条线 段.若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间，若无论如何放置汤勺，汤料都不会将汤勺完全淹没， 则汤勺长度最短为( ）cm 25cm 甲 A.10W26 B.10W30 C.10W33 D.10W37 数学试题第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数据4,4,4，，g的平均数为M，中位数为N,方差为P，极差为Q,设 b=3a-2(i=1,2,3,…,8),得到新数据，b2,b,,b,则对于所得新数据，下列说法一定正确的是 (） A.平均数是3M B.中位数是3N-2C.方差是9P D.极差是3Q-2 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，已知M,N,P分别是棱 M CD,A4,BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB与直线DB的 A 夹角为30°，则() A.DB⊥平面PMN B.平面PMN截正方体所得的截面面积为3√5 C.点Q的轨迹长度为π D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度 忽略不计)的球的半径的最大值为3- 2 11.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足 sinB+sinC=2 sin Acos B,点D在线段AB的延长线上，则( A.a2-b2=bc B.若20=a+b,则eos∠0C-号 B C.A=2B D.若AB=3,BD=1,当点C运动时，CD-CA为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数z满足z(1-i)=2i,其中i为虚数单位，则= 13.已知4x2+y2-3xy-1=0,则y的最大值为 14.若函数f(x)=x4+4x3+ax(a∈R)的图象存在对称轴，则f(x)的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a=1,2Sn=a7+an,n∈N。 (1)求数列{a,}的通项公式： (2若么=士，求数列他的前顶和 数学试题第2页（共4页） 16.已知函数f)=x+1 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若直线y=1与曲线y=f(x)相切，求a的值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=L,BC=2,BD=2N2,PA⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC. (1)证明：AB⊥BC: (2)若PA=2N2,AC=AD,点G为△PCD的重心，求直线CG与平面PBC所成角的正弦值. 18如图，已知情图C兰+号1，点P,%在稍图上且%>0，P阳，R分别经过C的左、右焦点 3 R,F,且PE=EQ,PE=FR. (1)若元=2，求点P的坐标： (2)证明：元+4是定值，并求出九+4的值： B (3)求四边形FQRF面积最大值. A 数学试题第3页（共4页） 19.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满二进一”就是二进制：“满十进一” 就是十进制；“满十六进一”就是十六进制等.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数 的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式a,A-1…44o)，其中 a,a-1…,4∈f0,12,…k-l1，且an≠0，a.41…4ao=a,k0+ak-1+…+a4k+a6，如 22=2×32+1×3+1,所以22在三进制下可写为2113) (1)将五进制数211s转化成三进制数； （2)对于任意两个不同的n+1位二进制数a.4n1…44og,b,b1…bbo2,an=b,=1,记 X=∑a-bl. (i)若n=3,求随机变量X的分布列与数学期望： (甜证明：E(X)>号 数学试题第4页（共4页）数学答案 2 4 5 6 7 P 9 10 11 B D D A D B BC ABD ACD 12.√2：13.1；14.-4 15.(1)由题意，当n≥2时，2Sn-=a听-+ar-1,作差得到2(，-Sn-i)=2an=(a+an)-(aG+an-), 化简得(an+an-)(an-an-1-1)=0,n≥2. …3分 因{an}为正项数列，则an+an-1>0,因此an-an-1-1=0,即an=an-+l,n≥2， 又因a=1,则{an}为首项是1，公差为1的等差数列. 综上，an=n,n∈N. …6分 2)由题意，么=2生，则6)的前m项和工为： 2n …① 2”2*1，…② ,2,1,1,,1n+13n+3 0②，得27，=7+2+2++ 2”2时22H 则7n=3-n+3n 2”neN. …13分 16.(1)f()的定义域为R,f)=a- er, 当a≤0时，f'(x)<0,f(x)单调递减； …2分 当a>0时，令f'(x)=0,得x=-lna,则当xe(-o,-lna)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当 x∈(-lna,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. …5分 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减：当a>0时，f(x)在(-o,-lna)单调递减：在(-lna,+o) 单调递增 …7分 （2)由1知，了(=a日，设切点为k(6》,则7)=a-。=0,易知a>0,放=-na。 又因f,)=1,即a+=l,将为=-na代入，得a-alha-1=0. …10分 设h(x)=x-xlnx-1(x>0),则h(x)=-nx. 令h(x)=0,即-lnx=0,解得x=1,当x∈(0，)时，h(x)>0,h(x)单调递增，当xe(1,+o∞)时， h(x)<0,h(x)单调递减，所以h(x)≤h()=1-1×lnl-1=0. 由h(a)=0,则a=1. …15分 17.(1)如图，过点A作AE⊥PB于点E, ·平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AEC平面PAB, .AE⊥平面PBC. …2分 又BCc平面PBC,.AE⊥BC 又，PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.PA⊥BC …4分 数学参考答案第1页（共4页） PA,AEC平面PAB,PA∩AE=A,.BC⊥平面PAB. 又ABC平面PAB,.BC⊥AB. …6分 (2)由(1)知AB⊥BC,以点B为坐标原点，BC,BA所在的直线分别为x,y轴， 过点B且平行于PA的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则B(0,0,0),A(0,1,0),C(2,0,0),P(0,1,2V2) 设D(x,y,0),x>0y>0.,由BD=22,则x2+y2=8, E 又因AC=AD,则x2+y-1)2=5. A 联立两式，得x=2y=2,D(2,2,0). …8分 又P(0,12V2),且G为△PCD的重心， :.G …10分 nBP=0, 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c), nBC=0. ·BP=(0,1,2√2)，BC=(2,0,0) b+2V2c=0 2a=0 令c=1,则n=(0,-2V2,) …12分 设直线CG与平面PBC所成角为0，则sin8=CG_44五 ICG63 所以直线CG与平面PBC所成角的正弦值为42 …15分 63 18.4)设P,),而5(-10)，由P所=20，得0-b+3,为)， 2, 2 始+6=1 43 B 由于P,Q均在C上， x0+32 F O F 4 3 1 3 消去得(+3》-号=12，解得=2’%= …4分 4 ,则点P35) (2)证明：[方法一]设P(xo%),Q(:),R(2,y2), 由PE=FQ,则有 -1-x=元(x+1) -6=九乃 =-o 由P在x轴上方，可设直线PQ的方程为x=y-1, x=my-1 联立x2y2 /2径理可得3m+4y一6w-9=0 61m 9 则%+y=4+3m,64=4+3m, 又因为点P在直线上，则x=-1, 所以力+凸=-2m=-2.+1 、m= %33y% 数学参考答案第2页（共4页） 0=2一子，如。=-25 片36 所以1=-五=52 片3十方而，同理可得u=-业=§2 h336. …8分 所以+子+9即+u为定省 …10分 3 [方法二]设P(x%),Q(x1,),R(x2,y2), -1-x=(x+1) 1= 元+1+x0 由P灭=F0,则有 -%=元乃 43 又P,Q均在C上，则 2+1+x 解得= 3+36, …8分 52 同理可得“=33 52 所以+“=写号6 52=0,即元+“为定值0 336 3 …10分 (3)因为 S.POR_ IPOIPRIsi ZOPR SPFF 2 PFsin∠QPR 因此5w++s-(++Ff。= 2)+82x0-8。.x号-16 2x0+52x0-5 =Yo' 4 又因=41号 3坊-16 所以S.POR=y6· 4-4225=% +9 3-4 *27+ 117% …14分 16+27 16 因此 117y% 117611 117 135 S四边形5OR5=SPOR-S.PF5=%+ 16+27 16听+2716% 27s 6216%: 278, yo 当且仅当16%2，即为-35∈05]时取等，则四边形50R5面积最大值为1 …17分 % 4 P 19.(1)由题意得，将五进制数21l6转化为十进制数为2115=2×52+1×5+1=56， …2分 56=2×32+0×32+0×3+2,.56=2002) 因此五进制数211)转化成三进制数为2002)· …4分 (2)(i)若n=3,则n+1位的二进制数有10002,1112,1100a,10102,10012,1012,11012, 11102,共8个，从8个数中任选2个，共有C=28种情况. X=∑a,-b,·X的所有可能取值为12,3. 数学参考答案第3页（共4页） 当X=1时，若选择10002，可以从1002,10102)，11002中任选1个，共有3种情况， 若选择1112，可以从101l2,1101l2,11102中任选1个，共有3种情况， 若选择1100，可以从110,11102中任选1个，共有2种情况， 若选择10102，可以从11102,101l2中任选1个，共有2种情况， 若选择100l2,可以从110l2,1012中任选1个，共有2种情况， 有3+3+2+2+2=2种情况，故PX)名背 当X=3时，10002和1112,11002和1012,10102和11012,10012和11102满足要求， 共有4种情况，故P(X=3)=28 41 :.P(X=2)=1-777 313 则随机变量X的分布列为 …8分 X 1 2 3 1 P 3-7 3 7 7 3 3 112 “E(X)）=1x+2×号+3×7号 …9分 7 (i)由于n+1位二进制数anam-1…aao2)中an=1, 则根据二进制数中0的个数可得，n+1位二进制数一共有C9+C,+C+…+C=2”个， 且a-1+an-2+…+a+a≤n,则X的所有可能取值为l,2,3,,n. 当X=m(m=l,2,3,,n）时，二进制数aa-1…44a(2,b,b-1…bb(2有m位取值不同，剩余 n+1-m位取值相同， 除去an=bn=1,从剩余的n位中选择m位，二进制数ana-…a4o2,bbm-1…bb(2)在这m位上 数字不同，对其余的n-m位，两者均在同一位置数字相同， 由于X=∑口-6，故共有：2” i-0 A种情况，则 Cm.2” P(X=m)=-A Cm=1,23n)' …13分 2”-1 因此随机变量X的分布列为： X 1 2 3 … n P Ch C2 … C 2”-1 2”-1 2"-1 2”-1 mC%= m…nl ml(n-m)! m-川a-)-(m-叨C(meN,1sms, (n-1) =n …15分 ∴EK)=1xC+2xC++nx 2”-12”-1 Cn=1xCn+2×C+3xC+…+nC EX)>2 …17分 数学参考答案第4页（共4页）