高一数学下学期第一次月考（北师大版必修第二册第一章：三角函数，高效培优·强化卷）

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知某扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 5．已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 6．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 8．定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．点的坐标是 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B．若，则的最小值为1 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为______. 13．函数的定义域为___________ 14．函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个极值点，.则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数．（13分） (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较与的大小． 16．已知函数.（15分） (1)求的值； (2)求函数的对称中心； (3)作出在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图） 0 17．函数（，）的部分图象如图所示，（15分）    (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 18．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.（17分） 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 19．知函数的部分图象如图所示.（17分） (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 强化卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B B D A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． / 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）解：函数， 所以最小正周期（2分） 由，， 解得，（5分） 单调递减区间为，．（7分） （2）解：因为，（9分） 又，函数在上单调递减，（11分） 所以，即（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为， 所以.（4分） （2）令，得， 所以函数的对称中心为.（8分） （3）表格如下图：（12分） 0 0 1 0 0 图象如下：（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意：， ，所以. 由 .（2分） 由，且，得.（4分） 所以.（5分） （2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得.（7分） 当时，，所以.（9分） 所以函数在区间的值域为.（10分） （ii）由 ，所以，.（13分） 所以不等式的解集为：，（15分） 18． 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系，（2分） 由数据和散点图可以得出，（4分） 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述．（5分） （2）①依题意，时就可以进出港，由，得，（7分） 则，解得，（9分） 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时．（11分） ②依题意，吃水深度，则要求为，（12分） 当，时，单调递增，（14分） 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由图可知，周期，故，（2分） 此时，代入，可得， 故，解得，（4分） 由于，故取，，；（6分） （2）由可得 ，（8分） 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则，（10分） 如图，要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根，（12分） 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故，（14分） 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故，（15分） 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第二册第一章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，角的终边经过点， 所以. 2．点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据角的终边所在象限判断三角函数值的符，得到点的坐标的符号进而判断出点所在的象限. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以点在平面直角坐标系中位于第四象限. 故选：D 3．已知某扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形中心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，弧长为，扇形面积为， 则，解得， 故选：B. 4．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】B 【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断. 【详解】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 5．已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 6．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由且，求得，再由正弦函数的性质，得到且， 求得，进而得到答案. 【详解】因为，函数在上单调递增， 则函数的周期满足，即，可得，可得， 令，解得， 因为函数在上单调递增，则满足， 可得且，解得， 又因为，当时，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：）满足（，）.已知当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点，则过山车启动时距地面（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式求出. 【详解】因为当时，过山车到达第一个最高点，当时，过山车到达第一个最低点， 所以，则，则， 又因为，则， 因为，所以当时，，所以， 当时，. 则过山车启动时距地面. 故选：C. 8．定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得周期为2，由时单调性得单调性，再根据偶函数得单调性，最后根据单调性判断选项正误. 【详解】当时, 则， 可知在内单调递增， 因为，可知的一个周期为2， 则在内单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数，则在内单调递减， 因为，，,， 所以，，，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对AB，作出相应函数的图象可判断；对CD，由三角函数周期性及单调性可判断. 【详解】对于A，作出函数的图象，如图， 最小正周期为，且在上单调递增，故A正确； 对于B，作出的图象，如图， 最小正周期为，且在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，不单调，故C错误； 对于D，的最小正周期为，且在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．点的坐标是 【答案】BD 【分析】根据正弦函数图象性质可得函数的周期，从而得的值；根据函数过结合正弦函数对称性可得的值；根据函数的周期性与对称性可得点的横坐标，即可得点的坐标；于是可得的值，从而得答案. 【详解】因为，所以相邻两对称轴间的距离为， 即最小正周期，所以，故A不正确； 又因为点在的图象上，所以，即， 结合图象可知，所以， 又，所以，故C不正确； 由图可得之间的对称轴为， 则点的横坐标为，故，故D正确； 所以，解得，故B正确. 故选：BD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若将图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B．若，则的最小值为1 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据图象平移重合、函数值相等、给定区间单调性等条件，利用三角函数性质建立关于的方程或不等式求解，再结合的取值确定的范围或最值判断各选项. 【详解】对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度， 所得的函数的原图象重合，故为最小正周期的整数倍， 所以，整理得，， 故的最小值为8，故A错误； 对于B选项，由于，， 所以， 即或， 所以或， 所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得， 整理得，， 当时，，当时，， 故的取值范围为，故C错误. 对于D选项，由于在内单调递减， 由于函数在内单调递减， 则满足，解得，， 当时，；故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为______. 【答案】/ 【详解】因为 所以 . 13．函数的定义域为___________ 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 14．函数的图像如图所示.已知直线与交于，，三点且，是的一个极值点，.则__________. 【答案】 【分析】根据点坐标推出函数表达式，再根据题意从到经过了的一个完整周期，其中，设，，带入即可得。 【详解】由图可知是“五点作图”的第一个最大值点， 所以且.. 显然，从到经过了的一个完整周期，其中. 则，, ,代入得. ... 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数．（13分） (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【答案】(1)，单调递减区间为，． (2) 【分析】（1）首先利用诱导公式将函数变形，再根据正切函数的性质计算可得； （2）根据函数的周期性及单调性判断即可； 【详解】（1）解：函数， 所以最小正周期 由，， 解得， 单调递减区间为，． （2）解：因为， 又，函数在上单调递减， 所以，即 16．已知函数.（15分） (1)求的值； (2)求函数的对称中心； (3)作出在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图） 0 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可； （2）整体代入法进行求解即可； （3）利用五点作图法填写表格作出图象即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）令，得， 所以函数的对称中心为. （3）表格如下图： 0 0 1 0 0 图象如下： 17．函数（，）的部分图象如图所示，（15分）    (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）， 【分析】（1）根据最大最小值，确定的值；再根据函数的周期求出，代入点，结合的取值范围确定的值，即可得函数的解析式. （2）（i）先根据函数的图象变换确定的解析式，再结合正弦函数图象求在给定区间上的值域. （ii）数形结合，解三角不等式. 【详解】（1）由题意：， ，所以. 由 . 由，且，得. 所以. （2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得. 当时，，所以. 所以函数在区间的值域为. （ii）由 ，所以，. 所以不等式的解集为：， 18．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.（17分） 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】(1) (2)①16个小时；②23时 【分析】（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 19．知函数的部分图象如图所示.（17分） (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，，再令，则，根据与的对应关系可知，在上有两个不相等的实数根，再参变分离，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $