3.1图形的平移 同步培优讲义2025-2026学年八年级数学下册（北师大版）

3.1图形的平移 （6知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 生活中的平移现象】 1 【题型2 图形的平移】 3 【题型3 利用平移的性质求解】 4 【题型4 利用平移解决实际问题】 6 【题型5 平移（作图）】 8 【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 10 【题型7 由平移方式确定点的坐标】 12 【题型8 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 14 【题型9 已知图形的平移，求点的坐标】 15 【题型10 已知平移后的坐标求原坐标】 17 【题型11平移综合题（几何变换）】 18 【题型12 坐标系中的平移】 22 · 掌握核心概念：理解图形平移的定义、平移的两要素（平移方向、平移距离），能准确识别生活中的平移现象，区分平移与其他几何变换的差异。 · 吃透平移性质：熟练掌握图形平移的核心性质，能利用性质解决线段长度、角度、周长、面积计算类几何问题，规范推导解题过程。 · 精通平移作图：掌握图形平移的作图步骤，能根据给定的平移方向和距离，准确画出平移后的图形，规范作图痕迹，保证作图严谨性。 · 熟练坐标平移：牢记平面直角坐标系中点的平移规律，能根据平移方式求平移后坐标、原坐标，判断平移方式，解决坐标系内图形平移的综合题型。 · 强化应用能力：能利用平移的性质解决实际生活中的路径最短、面积计算、长度求和等问题，掌握几何变换的实际应用技巧。 03 知识•梳理 知识点1. 平移的定义 定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 平移的两要素（缺一不可）： ① 平移方向：图形移动的指向（如水平向右、竖直向上、沿某条射线方向）； ② 平移距离：图形移动的长度（对应点之间的线段长度）。 关键说明：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，平移前后的两个图形是全等形。 知识点2. 平移的相关概念 · 对应点：平移前后，互相重合的点叫做对应点； · 对应线段：平移前后，互相重合的线段叫做对应线段； · 对应角：平移前后，互相重合的角叫做对应角。 知识点3. 平移的核心性质（必记） 1. 平移前后的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等； 2. 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 对应角相等； 4. 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等（这条线段的长度就是平移距离）； 5. 图形的周长、面积在平移前后保持不变。 知识点4. 图形平移的作图步骤 1. 找关键点：找出原图形的所有关键点（顶点、端点、圆心等）； 2. 移关键点：根据平移方向和平移距离，分别画出每个关键点平移后的对应点； 3. 连对应点：按照原图形的形状，顺次连接平移后的对应点； 4. 标清图形：写出平移后图形的字母标识，完成作图。 知识点5. 平面直角坐标系中点的平移规律 设平面内任意一点，平移规律如下（口诀：右加左减，上加下减）： 平移方向与距离 平移后点的坐标 规律说明 向右平移个单位 横坐标加，纵坐标不变 向左平移个单位 横坐标减，纵坐标不变 向上平移个单位 纵坐标加，横坐标不变 向下平移个单位 纵坐标减，横坐标不变 先右移，再上移 横纵坐标同步变化 易错提示：平移方向是“向左/向下”时，坐标做减法，切勿混淆加减；图形平移与图形内点的平移方式完全一致。 知识点6. 平移的核心作用 · 转化线段：将分散的线段转化为共线或平行线段，方便长度求和； · 转化面积：通过平移割补，将不规则图形转化为规则图形，简化面积计算； · 解决最短路径：利用平移构造两点之间线段最短的模型，解决实际路径问题。 04 题型•汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题思路： 紧扣平移定义：判断物体运动是否是“沿固定方向、移动固定距离，形状大小不变、仅位置改变”，排除旋转、翻转、对称等其他运动，常见实例：电梯升降、汽车直行、抽屉推拉、传送带上物品移动等。 【典例1】．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 跟随训练1-1．如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据平移变换只改变图形位置，不改变大小和方向进行求解即可． 【详解】解：∵平移变换只改变位置，不改变大小和方向， ∴只有图③是可以经过平移得到的， 故选：B． 跟随训练1-2．传统建筑的窗棂设计样式繁多、精巧美观，体现了中国建筑设计的独特艺术表现力和文化内涵．下面四幅在福州三坊七巷窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的定义．根据平移变换的定义判断即可． 【详解】解：根据平移变换的定义可知选项C，可以由一个基本图案（图中红线框内部分）平移得到． 故选：C． 【题型2 图形的平移】 解题思路： 判断图形变换是否为平移，核心看两点：是否沿固定方向移动、是否移动固定距离，且平移后图形形状、大小完全不变，对应点连线平行且相等，区分于旋转、翻折变换。 【典例2】．如图所示的是一个镶边的模板．下列基本图形中，可通过一次平移得到该模板图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是理解平移的定义，找到组成整个图案的基本图形． 经过观察可得整个图案可由一组个图案平移次得到． 【详解】解：是由一组个图案平移得到的． 故选：B． 跟随训练2-1．图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】C 【分析】此题考查了图形的变化，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想解决此类问题． 先找出图形的变化部分，以及变化规律，再运用找出的规律解答问题即可． 【详解】解：如图，共有8种不同的放置方法． 故选：C． 跟随训练2-2．如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 【题型3 利用平移的性质求解】 解题思路： 核心利用平移的四大性质：对应线段相等、对应角相等、对应点连线平行且相等、周长面积不变，根据题目所求，找到对应边、对应角，代入数值计算，常考长度、角度、周长、面积求解。 【典例3】．若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的平移规律，解题的关键是掌握该规律． 根据点向右平移时横坐标增加、纵坐标不变的规律，结合平移后点的坐标列等式求解即可． 【详解】解：∵ 点向右平移3个单位长度后，新点坐标为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且， 解得 ， 故选：B． 跟随训练3-1．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由平移得到， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴其周长为， 故选C． 跟随训练3-2．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 【题型4 利用平移解决实际问题】 解题思路： 将实际问题转化为平移模型，利用平移“转化线段、割补面积”的特点，把不规则路径、不规则图形转化为规则图形，常见题型：小路面积计算、楼梯地毯长度、最短路径、围栏长度求和等。 【典例4】．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得：这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴， ∴这块草地的绿地面积是长为，宽为的长方形， 故， ∴这块草地的绿地面积是， 故选：A． 跟随训练4-1．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移在实际问题中的应用，解题的关键是理解台阶上铺地毯的长度与台阶水平方向总长度和垂直方向总长度的关系． 明确台阶的水平部分总长度等于底边的长度，垂直部分总长度等于高的长度；地毯的长度为水平部分总长度与垂直部分总长度之和，代入数值计算即可． 【详解】由题意可知，台阶的水平底边即所有台阶水平部分的总长度为台阶高即所有台阶垂直部分的总长度为． 在台阶上铺地毯，地毯的长度至少需要覆盖所有水平部分和垂直部分，因此地毯长度水平部分总长度垂直部分总长度． 故选：C． 跟随训练4-2．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 【题型5 平移（作图）】 解题思路： 严格按照“找关键点→移关键点→连对应点→标图形”的步骤作图，找准每个顶点的对应点，保证对应点连线平行且相等，作图用直尺，痕迹清晰，区分实线和虚线，标注平移方向和距离。 【典例5】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为___________． 【答案】 【分析】利用平移的性质画出图形，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，N′（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 跟随训练5-1．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形三个顶点的坐标分别为，，，三角形中任意一点，平移后的对应点为. (1)请画出平移后的三角形； (2)写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积. 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）由平移后的对应点为可得平移规律为：向右平移5个单位，再向上平移2个单位，据此分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据点的移动规律写出坐标即可； （3）利用分割法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所作； （2）解：由图形知，，； （3）解：． 跟随训练5-2．如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据点的坐标 画出点A，C，再根据点B的位置写出坐标； （2）画出，利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可． 【详解】（1）解：如图，点A，C即为所求，． （2）解：如图，，即为所求． 【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 解题思路： 牢记坐标平移口诀“右加左减，上加下减”，沿x轴（水平）平移只改变横坐标，沿y轴（竖直）平移只改变纵坐标，直接代入规律计算，注意方向对应的加减。 【典例6】．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 跟随训练6-1．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 跟随训练6-2．在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，关于轴对称的点的坐标特征． 点A向右平移3个单位长度，得到点，其横坐标增加3，纵坐标不变；点关于x轴对称，得到点，其横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度，得到点，横坐标变为，纵坐标不变，即； 作点关于轴的对称点，得到点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即． 故答案为：． 【题型7 由平移方式确定点的坐标】 解题思路： 先明确完整的平移方式（水平+竖直方向），再按照坐标平移规律，分步计算横坐标和纵坐标的变化，最终确定平移后点的坐标，复杂平移可拆分两步计算。 【典例7】．将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征，先根据平移规律得到的坐标，再利用y轴上点横坐标为0的性质列方程求出，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 跟随训练7-1．的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，沿x轴平移时纵坐标不变，横坐标遵循“右加左减”的规则，需分向右平移和向左平移两种情况计算． 【详解】解：点沿x轴平移时，纵坐标保持不变，横坐标右移加、左移减， 分两种情况： 当沿轴向右平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 当沿轴向左平移5个单位长度时，A点坐标变为，即； 综上，A点坐标变为或， 故选：C． 跟随训练7-2．已知在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)直接写出的面积． (2)将平移，使得点A与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． ①画出平移后的，并写出点E和点F的坐标； ②若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则______． 【答案】(1) (2)①见详解，；②3 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）①根据平移的性质作图，即可得出答案；②由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，则点的坐标为，即可得出的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：①如图所示： ∴； ②由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴． 【题型8 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 解题思路： 对比平移前后点的横、纵坐标变化：横坐标变大→向右平移，变小→向左平移；纵坐标变大→向上平移，变小→向下平移，变化量的绝对值就是平移距离，分水平、竖直两个方向描述。 【典例8】．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 跟随训练8-1．如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键． 根据对应点的平移得到平移中解析式的变化规律，可得出答案． 【详解】解：∵ 直线 平移后得到，且斜率不变， ∴ 平移是竖直方向的. 对于点在上，平移后对应点应满足， 即当 时，，平移后得到的点坐标为， ∵ 点 向下移动个单位到， ∴直线 向下平移 个单位得到 . 故选：B． 跟随训练8-2．点经过一次平移得到点，则点向__________平移了__________个单位长度． 【答案】 左 5 【分析】本题考查了坐标的平移，熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键． 比较点P和点的坐标，发现纵坐标相同，横坐标变化，从而确定平移方向为水平方向，通过计算横坐标差得出平移距离． 【详解】解：点P与点的纵坐标均为2，表明平移沿x轴方向进行; 横坐标从2变为，变化量为， 即向左平移5个单位长度． 故答案为：向左；5． 【题型9 已知图形的平移，求点的坐标】 解题思路： 图形平移与图形上所有点的平移方式完全一致，先根据图形上一个已知点的平移，确定整体平移方式，再按照坐标规律，求出目标点平移后的坐标。 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 跟随训练9-1．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键． 首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移3个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 跟随训练9-2．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 【题型10 已知平移后的坐标求原坐标】 解题思路： 属于平移的逆运算，平移规律反向使用：向右平移→原横坐标=现横坐标-平移距离，向上平移→原纵坐标=现纵坐标-平移距离，即“左加右减，下加上减”，反向推导原坐标。 【典例10】．如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 【详解】解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 跟随训练10-1．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【详解】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 跟随训练10-2．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 【题型11平移综合题（几何变换）】 解题思路： 结合几何图形（三角形、四边形、平行四边形），综合考查平移性质、坐标平移、线段长度、角度计算、周长面积求解，先根据平移确定对应关系，再结合几何定理（平行、全等）分步推导计算。 【典例11】．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴BE＝CF＝a， ∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4， ∴8＝a+4+a， ∴a＝2，故结论Ⅰ正确； ∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为22， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝22， ∴AB+BC+CF+AC+AD＝22， ∵三角形ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22， ∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确， ∴Ⅰ对Ⅱ不对， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 跟随训练11-1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】57 【分析】根据平移的性质易证：S阴影=S梯形ABEH，再利用梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：∵将沿点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴． 故答案是：57． 【点睛】本题考查了平移的性质，能够结合图形得到阴影部分的面积等于梯形的面积是解题关键． 跟随训练11-2．在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，画出相应的图形，并直接写出点的坐标________． (2)在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使（表示三角形的面积）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点在轴上，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)存在点，使，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与平移变换-平移，三角形的面积，一次函数与几何图形综合题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程或函数解决问题． （1）首先根据，点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）设点， 则，进而表示出， 再计算出，根据列式，解方程即可得解； （3）由于点在轴上，故设，根据，点的坐标找到点的平移方式，得到， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，令，得到点的坐标，最后根据列式，解方程即可得解． 【详解】（1）解：画出对应的图形如下： 点平移后的对应点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， 点平移后的对应点为，即． 故答案为：． （2）解：设点， 则， ， ，， ，即， 或， 或， 存在点，使，点的坐标为或． （3）解：点在轴上， 设， 点的对应点为，点的坐标为， 线段向左平移个单位，再向上或向下平移个单位， ， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点， 将点和点代入得： ，解得， ， 令，则， ， ， 令，则有：或， 解得或， 或， 点的坐标为或． 【题型12 坐标系中的平移】 解题思路： 属于坐标平移的综合题型，涵盖多个点、整个图形的平移，先确定每个关键点的平移后坐标，再连接成图形，可结合图形面积、顶点位置、平移路径综合考查，核心还是“右加左减，上加下减”的坐标规律。 【典例12】．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 跟随训练12-1．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 跟随训练12-2．如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． (1)求点A的坐标； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式求解及图形的对称和平移． （1）通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A的坐标； （2）先根据已知条件求出点B、C的坐标，进而求出直线的解析式，得到点E的坐标，从而求出的长； （3）根据全等三角形的性质，通过图形的对称和平移来找出符合条件的点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为F， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 即， ∴， ∴． （3）解：存在， 如图，作关于x轴对称的， ∴点C与点关于x轴对称，即， 设线段的函数表达式为， 将点和点代入， 得：，解得， ∴线段的函数表达式为，与x轴交点为， 即， 将线段平移得到线段，设线段的函数表达式为， 将点代入得：，解得， ∴线段的函数表达式为， 当时，则有，解得， ∴， ∴关于x轴的对称点， 综上所述，点P的坐标为或或． 05 过关•检测 1．如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是平行四边形，如图所示： 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】掌握平移时点的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，即可计算求解． 【详解】解：将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为，即． 3．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 4．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等． 由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到， ，，， 四边形的周长． 5．如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于， ∵直线交坐标轴于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴平移距离为， ∴平移后，点的坐标为． 6．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先根据“左减右加，上加下减”的平移规律求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征求出点C的坐标． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B关于x轴的对称点为C， ∴点C的坐标是． 8．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】平移变换与坐标的变化，平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先根据点及其对应点的坐标确定平移规律，再利用该规律求出点的对应点的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为， ∴横坐标的变化为，即横坐标减3，纵坐标的变化为，即纵坐标加2， ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 9．如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 【答案】8 【分析】根据重叠部分的面积为20，求出，即可求出． 【详解】解：∵重叠部分的面积为20，正方形边长为10， ∴， 即， ∴， ∴． 10．如图，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上． (1)过点C画线段的平行线； (2)过点C画线段的垂线段，垂足为E，此时比较大小： （填或或），并说出依据 ； (3)连接，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，，垂线段最短 (3) 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可，再根据垂线段最短即可解答； （3）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2）解：如图：线段即为所求，连接， 由垂线段最短得，， 故答案为：，垂线段最短； （3）解：如图，连接： 三角形的面积为：． 11．如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查作图平移变换，平移变换的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）设，结合三角形面积公式建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为， 则点的坐标为：； （3）解：设点． 则有， ， 点的坐标为或． 12．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)40，= (2) (3)448 【分析】本题考查了图形的平移，理解平移的性质是解题的关键． （1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 则平方米，平方米； ∴． （2）解：原长方形的长为a米，宽为b米，小路的宽度是1米， ∵原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为a米，宽为米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的耕地的面积是平方米． 13．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】(1)32（平方厘米） (2)22 (3)16 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． （2）解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； （3）解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1图形的平移 （6知识点+12大题型+过关检测） 【题型1 生活中的平移现象】 2 【题型2 图形的平移】 3 【题型3 利用平移的性质求解】 4 【题型4 利用平移解决实际问题】 5 【题型5 平移（作图）】 6 【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 7 【题型7 由平移方式确定点的坐标】 7 【题型8 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 8 【题型9 已知图形的平移，求点的坐标】 9 【题型10 已知平移后的坐标求原坐标】 9 【题型11平移综合题（几何变换）】 10 【题型12 坐标系中的平移】 11 · 掌握核心概念：理解图形平移的定义、平移的两要素（平移方向、平移距离），能准确识别生活中的平移现象，区分平移与其他几何变换的差异。 · 吃透平移性质：熟练掌握图形平移的核心性质，能利用性质解决线段长度、角度、周长、面积计算类几何问题，规范推导解题过程。 · 精通平移作图：掌握图形平移的作图步骤，能根据给定的平移方向和距离，准确画出平移后的图形，规范作图痕迹，保证作图严谨性。 · 熟练坐标平移：牢记平面直角坐标系中点的平移规律，能根据平移方式求平移后坐标、原坐标，判断平移方式，解决坐标系内图形平移的综合题型。 · 强化应用能力：能利用平移的性质解决实际生活中的路径最短、面积计算、长度求和等问题，掌握几何变换的实际应用技巧。 03 知识•梳理 知识点1. 平移的定义 定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 平移的两要素（缺一不可）： ① 平移方向：图形移动的指向（如水平向右、竖直向上、沿某条射线方向）； ② 平移距离：图形移动的长度（对应点之间的线段长度）。 关键说明：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，平移前后的两个图形是全等形。 知识点2. 平移的相关概念 · 对应点：平移前后，互相重合的点叫做对应点； · 对应线段：平移前后，互相重合的线段叫做对应线段； · 对应角：平移前后，互相重合的角叫做对应角。 知识点3. 平移的核心性质（必记） 1. 平移前后的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等； 2. 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 对应角相等； 4. 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等（这条线段的长度就是平移距离）； 5. 图形的周长、面积在平移前后保持不变。 知识点4. 图形平移的作图步骤 1. 找关键点：找出原图形的所有关键点（顶点、端点、圆心等）； 2. 移关键点：根据平移方向和平移距离，分别画出每个关键点平移后的对应点； 3. 连对应点：按照原图形的形状，顺次连接平移后的对应点； 4. 标清图形：写出平移后图形的字母标识，完成作图。 知识点5. 平面直角坐标系中点的平移规律 设平面内任意一点，平移规律如下（口诀：右加左减，上加下减）： 平移方向与距离 平移后点的坐标 规律说明 向右平移个单位 横坐标加，纵坐标不变 向左平移个单位 横坐标减，纵坐标不变 向上平移个单位 纵坐标加，横坐标不变 向下平移个单位 纵坐标减，横坐标不变 先右移，再上移 横纵坐标同步变化 易错提示：平移方向是“向左/向下”时，坐标做减法，切勿混淆加减；图形平移与图形内点的平移方式完全一致。 知识点6. 平移的核心作用 · 转化线段：将分散的线段转化为共线或平行线段，方便长度求和； · 转化面积：通过平移割补，将不规则图形转化为规则图形，简化面积计算； · 解决最短路径：利用平移构造两点之间线段最短的模型，解决实际路径问题。 04 题型•汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题思路： 紧扣平移定义：判断物体运动是否是“沿固定方向、移动固定距离，形状大小不变、仅位置改变”，排除旋转、翻转、对称等其他运动，常见实例：电梯升降、汽车直行、抽屉推拉、传送带上物品移动等。 【典例1】．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 跟随训练1-1．如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．传统建筑的窗棂设计样式繁多、精巧美观，体现了中国建筑设计的独特艺术表现力和文化内涵．下面四幅在福州三坊七巷窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 图形的平移】 解题思路： 判断图形变换是否为平移，核心看两点：是否沿固定方向移动、是否移动固定距离，且平移后图形形状、大小完全不变，对应点连线平行且相等，区分于旋转、翻折变换。 【典例2】．如图所示的是一个镶边的模板．下列基本图形中，可通过一次平移得到该模板图案的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 跟随训练2-2．如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【题型3 利用平移的性质求解】 解题思路： 核心利用平移的四大性质：对应线段相等、对应角相等、对应点连线平行且相等、周长面积不变，根据题目所求，找到对应边、对应角，代入数值计算，常考长度、角度、周长、面积求解。 【典例3】．若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【题型4 利用平移解决实际问题】 解题思路： 将实际问题转化为平移模型，利用平移“转化线段、割补面积”的特点，把不规则路径、不规则图形转化为规则图形，常见题型：小路面积计算、楼梯地毯长度、最短路径、围栏长度求和等。 【典例4】．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，其余部分为绿地，小路的左边线向右平移就是它的右边线，这块草地的绿地面积为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图是一个5级台阶侧面示意图，在台阶上铺地毯至少需（　） A． B． C． D． 跟随训练4-2．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【题型5 平移（作图）】 解题思路： 严格按照“找关键点→移关键点→连对应点→标图形”的步骤作图，找准每个顶点的对应点，保证对应点连线平行且相等，作图用直尺，痕迹清晰，区分实线和虚线，标注平移方向和距离。 【典例5】．如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为___________． 跟随训练5-1．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形三个顶点的坐标分别为，，，三角形中任意一点，平移后的对应点为. (1)请画出平移后的三角形； (2)写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积. 跟随训练5-2．如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【题型6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 解题思路： 牢记坐标平移口诀“右加左减，上加下减”，沿x轴（水平）平移只改变横坐标，沿y轴（竖直）平移只改变纵坐标，直接代入规律计算，注意方向对应的加减。 【典例6】．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是_____． 【题型7 由平移方式确定点的坐标】 解题思路： 先明确完整的平移方式（水平+竖直方向），再按照坐标平移规律，分步计算横坐标和纵坐标的变化，最终确定平移后点的坐标，复杂平移可拆分两步计算。 【典例7】．将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．的顶点A坐标为，若将沿轴平移5个单位长度，则A点坐标变为（    ） A． B．或 C．或 D．或 跟随训练7-2．已知在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)直接写出的面积． (2)将平移，使得点A与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． ①画出平移后的，并写出点E和点F的坐标； ②若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则______． 【题型8 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 解题思路： 对比平移前后点的横、纵坐标变化：横坐标变大→向右平移，变小→向左平移；纵坐标变大→向上平移，变小→向下平移，变化量的绝对值就是平移距离，分水平、竖直两个方向描述。 【典例8】．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 跟随训练8-1．如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 跟随训练8-2．点经过一次平移得到点，则点向__________平移了__________个单位长度． 【题型9 已知图形的平移，求点的坐标】 解题思路： 图形平移与图形上所有点的平移方式完全一致，先根据图形上一个已知点的平移，确定整体平移方式，再按照坐标规律，求出目标点平移后的坐标。 【典例9】．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【题型10 已知平移后的坐标求原坐标】 解题思路： 属于平移的逆运算，平移规律反向使用：向右平移→原横坐标=现横坐标-平移距离，向上平移→原纵坐标=现纵坐标-平移距离，即“左加右减，下加上减”，反向推导原坐标。 【典例10】．如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 跟随训练10-2．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【题型11平移综合题（几何变换）】 解题思路： 结合几何图形（三角形、四边形、平行四边形），综合考查平移性质、坐标平移、线段长度、角度计算、周长面积求解，先根据平移确定对应关系，再结合几何定理（平行、全等）分步推导计算。 【典例11】．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 跟随训练11-1．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为________． 跟随训练11-2．在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，画出相应的图形，并直接写出点的坐标________． (2)在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使（表示三角形的面积）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点在轴上，连接，，若，求点的坐标． 【题型12 坐标系中的平移】 解题思路： 属于坐标平移的综合题型，涵盖多个点、整个图形的平移，先确定每个关键点的平移后坐标，再连接成图形，可结合图形面积、顶点位置、平移路径综合考查，核心还是“右加左减，上加下减”的坐标规律。 【典例12】．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-1．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-2．如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． (1)求点A的坐标； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 05 过关•检测 1．如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 4．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 8．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________． 9．如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 10．如图，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上． (1)过点C画线段的平行线； (2)过点C画线段的垂线段，垂足为E，此时比较大小： （填或或），并说出依据 ； (3)连接，则的值为 ． 三角形的面积为：． 11．如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 12．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米． 13．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $